江西省安福二中、吉安县三中2025届高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

江西省安福二中、吉安县三中2025届高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数区间上有（）A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值2．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）A. B.C. D.3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B.C.1 D.4．平行六面体中，若，则（）A. B.1C. D.5．如图，在三棱锥中，点E在上，满足，点F为的中点，记分别为，则（）A. B.C. D.6．设，分别是双曲线：的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，，为坐标原点，则双曲线的离心率为（）A. B.2C. D.7．直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.不确定8．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A B.C.3 D.9．对于公差为1的等差数列，；公比为2的等比数列，，则下列说法不正确的是（）A.B.C.数列为等差数列D.数列的前项和为10．若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（）A30° B.45°C.60° D.90°11．已知直线过点且与直线平行，则直线方程为（）A. B.C. D.12．将的展开式按x的降幂排列，第二项不大于第三项，若，且，则实数x的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与直线互相垂直，则___________.14．已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____15．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n个图案中所有着色的正方形的面积之和为，则数列的通项公式______16．将集合且中所有的元素从小到大排列得到的数列记为，则___________（填数值）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围18．（12分）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于A、B两点，求所得弦长的值.19．（12分）已知平面内两点.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求线段的垂直平分线方程.20．（12分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，为等边三角形，，，.（1）证明：平面PAD；（2）若M是BP的中点，求二面角的余弦值.21．（12分）如图，在直三棱柱中，，E、F分别是、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面22．（10分）已知，：，：.（1）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】求出得出的单调区间，从而可得答案.【详解】当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.故选：B2、D【解析】由欧拉公式的定义和复数的概念进行求解.【详解】由题意，得，则复数的虚部为.故选：D.3、B【解析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为,由点到直线的距离公式可得.故选：B4、D【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.【详解】在平行六面体中，有，故由题意可知：，即，所以，故选：D.5、B【解析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱锥用表示出即可.【详解】由题设，，，，.故选：B6、D【解析】先求过右焦点且与渐近线垂直的直线方程，与渐近线方程联立求点P的坐标，再用两点间的距离公式，结合已知条件，得到关于a，c的关系式.【详解】双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，过与这条渐近线垂直的直线方程为，由，得到点P的坐标为，又因为，所以，所以，所以.故选：D7、A【解析】首先求出直线过定点，再判断点在圆内，即可判断；【详解】解：直线恒过定点，又，即点在圆内部，所以直线与圆相交；故选：A8、C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因为，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C9、B【解析】由等差数列的通项公式判定选项A正确；利用等比数列的通项公式求出，即判定选项B错误；利用对数的运算和等差数列的定义判定选项C正确；利用错位相减法求和，即判定选项D正确.【详解】对于A:由条件可得，，即选项A正确；对于B：由条件可得，，即选项B错误；对于C：因为，所以，则，即数列是首项和公差均为的等差数列，即选项C正确；对于D：，设数列的前项和为，则，，上面两式相减可得，所以，即选项D正确.故选：B.10、C【解析】直接由公式，计算两直线的方向向量的夹角，进而得出直线与所成角的大小【详解】因为，，所以，所以，所以直线与所成角的大小为故选：C11、C【解析】由题意，直线的斜率为，利用点斜式即可得答案.【详解】解：因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即，故选：C.12、A【解析】按照二项展开式展开表示出第二项第三项，解不等式即可.【详解】由二项展开式，第二项为：，第三项为：，依题意，两边约去得到，即，由知，则，同时约去得到.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】由直线垂直的性质求解即可.【详解】由题意得，解得.故答案为：14、【解析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论【详解】解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，所以，当且仅当x时，的最小值为，此时，故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题15、【解析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前项和公式，即可求得的通项公式.【详解】结合已知条件，归纳总结如下：第一个图案中，着色正方形的面积即；第二个图案中，新着色的正方形面积是，故着色正方形的面积即；第三个图案中，新着色的正方形面积是，故着色正方形的面积即；第个图案中，新着色的正方形面积是，故着色正方形的面积即.故.故答案为：.16、992【解析】列举数列的前几项，观察特征，可得出.详解】由题意得观察规律可得中，以为被减数的项共有个，因为，所以是中的第5项，所以.故答案为：992.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）把题意转化为：存在，使得不等式成立，构造新函数，对m进行分类讨论，利用导数求，解不等式，即可求出m的范围.【小问1详解】当时，,定义域为R，.所以，.所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，即.【小问2详解】不等式可化为：，即存在，使得不等式成立.构造函数，则.①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.综上所述：m的取值范围为：.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据条件可以确定圆心坐标和半径，写出圆的方程；（2）先求圆心到直线的距离，结合勾股定理可求弦长.【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为；(2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.【点睛】圆的方程求解方法：（1）直接法：确定圆心，求出半径，写出方程；（2）待定系数法：设出圆的方程，可以是标准方程也可以是一般式方程，根据条件列出方程，求解系数即可.19、（1）（2）【解析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出线段的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程.试题解析：（1）∵点∴∴由点斜式得直线的方程（2）∵点∴线段的中点坐标为∵∴线段的垂直平分线的斜率为∴由点斜式得线段的垂直平分线的方程为20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据条件先证明，再根据线面平行的判定定理证明平面PAD；（2）确定坐标原点，建立空间直角坐标系，从而求出相关的点的坐标，进而求得相关向量的坐标，再求相关平面的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.【小问1详解】证明：由已知为等边三角形，且，所以又因为，,在中，，又，所以在底面中，，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：取的中点，连接，则，由（1）知，所以，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，所以，由已知可知平面ABCD的一个法向量设平面的一个法向量为，由，即，得，令，则，所以，由图形可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接，交于点M，连接ME，则M为中点．根据三角形的中位线定理和平行四边形的判断和性质可证得，再由线面平行的判定定理可得证；（2）由线面垂直的性质和判定可得证.【详解】证明：（1）连接，交于点M，连接ME，则M为中点因为E、F分别是与的中点，所以，则，从而为平行四边形，则又因为平面平面，所以平面（2）由平面，因为平面，所以而，M为的中点，所以因为，所以平面，