2025届高考数学统考一轮复习第六章6.2等差数列及其前n项和学案文含解析新人教版

PAGE其次节等差数列及其前n项和【学问重温】一、必记5个学问点1．等差数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于①____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的②________，一般用字母d表示；定义的表达式为：③______________(n∈N*)．2．等差数列的通项公式设等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝④________________.等差数列的通项公式是关于n的一次函数形的函数．3．等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝⑤________.4．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn＝⑥____________，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝⑦________________.等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数形的函数且无常数项．5．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am＝an＋(m－n)d或eq\f(am－an,m－n)＝d.(m、n∈N*)(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有ap＋aq＝⑧________，(p，q，m，n∈N*)．(3)d＞0⇔{an}是递增数列，Sn有最小值；d＜0⇔{an}是递减数列，Sn有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．(4)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为λd.(5)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an±bn}仍为等差数列．(6)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(7)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(8)S2n－1＝(2n－1)an.(9)若n为偶数，则S偶－S奇＝eq\f(n,2)d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．二、必明2个易误点1．要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分．【小题热身】一、推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}肯定是等差数列．()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()二、教材改编2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A．31B．32C．33D．343．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.三、易错易混4．一个等差数列的首项为eq\f(1,25)，从第10项起起先比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()A．d＞eq\f(8,75)B．d＜eq\f(3,25)C.eq\f(8,75)＜d＜eq\f(3,25)D.eq\f(8,75)＜d≤eq\f(3,25)5．若等差数列{an}满意a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．四、走进高考6．[2024·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2neq\x(考点一)等差数列的基本运算[自主练透型]1．[2024·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2则S10＝________.2．[2024·六校联盟联考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝()A．18B．16C．14D．123．[2024·河南部分重点中学联考]记等差数列{an}的前n项和为Sn.若3S5－5S3＝135，则数列{an}的公差d＝________.考点二等差数列的判定与证明[互动讲练型][例1][2024·湖北检测]已知数列{an}满意a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn＝eq\r(2an)－15，求数列{bn}的前n项和Sn.悟·技法等差数列的判定方法(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，an－an－1＝d(常数)(n≥2)；其次种是利用等差中项法，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式干脆判定．(3)若判定一个数列不是等差数列，则只须要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可.[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满意bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．考点三等差数列的性质[分层深化型]考向一：等差数列通项性质的应用[例2](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a2＝10，则S15＝()A．20B．75C．300D．150(2)设公差为－3的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2019＝2019，则a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝()A．－673B．－1346C．673D．1346考向二：等差数列前n项和性质的应用[例3](1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6，则S2020＝________.(2)[2024·太原模拟]一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32：27，求该数列的公差d.悟·技法应用等差数列的性质解题的三个留意点(1)假如{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝eq\f(1,2)(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．(2)要留意等差数列通项公式及前n项和公式的敏捷应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝eq\f(an－am,n－m)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(na2＋an－1,2)(n，m∈N*)等．(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇：S偶＝n：(n－1).[变式练]——(着眼于举一反三)2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．273．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最终6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为_______．考点四等差数列前n项和的最值问题[互动讲练型][例4](1)[2024·湖北襄阳四中联考]已知数列{an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝165，a2＋a3＋a4＝156，{an}的前n项和为Sn，则使Sn达到最大值的n的值是()A．19B．20C．21D．22(2)[2024·西安八校联考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5,则满意SnSn＋1＜0的正整数n的值为()A．10B．11C．12D．13悟·技法求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(b,2a)))2－eq\f(b2,4a)，求“二次函数”最值．(2)邻项变号法①当a1＞0，d＜0时，满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1＜0，d＞0时，满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[变式练]——(着眼于举一反三)4．[2024·北京高考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝____________，Sn的最小值为____________．5．[2024·南昌模拟]已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝()A．8B．9C．7或8D．8或9其次节等差数列及其前n项和【学问重温】①同一个常数②公差③an＋1－an＝d④a1＋(n－1)d⑤eq\f(a＋b,2)⑥eq\f(na1＋an,2)⑦na1＋eq\f(nn－1,2)d⑧2am【小题热身】1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．解析：由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝2，,5a1＋10d＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(26,3)，,d＝－\f(4,3)，))∴S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝32.答案：B3．解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.答案：1804．解析：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＞1，,a9≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d＞1，,\f(1,25)＋8d≤1，))所以eq\f(8,75)＜d≤eq\f(3,25).故选D.答案：D5．解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0.所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．答案：86．解析：设{an}的公差为d，依题意得，4a1＋eq\f(4×3,2)d＝0①，a1＋4d＝5②，联立①②，解得a1＝－3，d＝2.所以an＝2n－5，Sn＝n2－4n.故选A.答案：A课堂考点突破考点一1．解析：通解设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋eq\f(10×9,2)×1＝25.优解设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2,所以a4＝1，所以d＝eq\f(a4－a1,4－1)＝eq\f(1－－2,3)＝1，所以S10＝10×(－2)＋eq\f(10×9,2)×1＝25.答案：252．解析：设an的公差为d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋5a1＋\f(5×4,2)d＝2,7a1＋\f(7×6,2)d＝14))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a1＋13d＝2,a1＋3d＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4,d＝2))，所以a10＝－4＋9×2＝14.选C.答案：C3．解析：因为3S5－5S3＝135，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5a1＋\f(5×4,2)d))－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d))＝135，所以15d＝135，解得d＝9.答案：9考点二例1解析：(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，其公差为2，首项为2，∴eq\f(an,n)＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝eq\r(2an)－15＝2n－15，则数列{bn}前n项和Sn＝eq\f(n－13＋2n－15,2)＝n2－14n.变式练1．解析：证明：因为an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,an)))－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an,an－1)－eq\f(1,an－1)＝1.又b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2).所以数列{bn}是以－eq\f(5,2)为首项，1为公差的等差数列．考点三例2解法一设数列{an}的公差为d，由2a5－a2＝10，得2(a1＋4d)－(a1＋d)＝10，整理得a1＋7d＝10，S15＝15a1＋eq\f(15×14,2)d＝15(a1＋7d)＝15×10＝150.故选D.解法二由题意知，a2＋a8＝2a5，所以2a5－a2＝a8＝10，S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝eq\f(15×2a8,2)＝150.故选D.(2)解析：(1)解法一设等差数列{an}的首项为a1，则S2019＝2019a1＋eq\f(1,2)×2019×2018×(－3)＝2019，解得a1＝3028，所以a3＝3022，则a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝3022×673＋eq\f(1,2)×673×672×(－9)＝－1346.故选B.解法二S2019＝(a1＋a4＋a7＋…a2017)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a2018)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)＝(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－6)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－3)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)＝3(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－9)＝2019，解得a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝－1346.故选B.答案：(1)D(2)B例3解析：(1)由等差数列的性质可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列．设其公差为d，则eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6d＝6，∴d＝1.故eq\f(S2020,2020)＝eq\f(S1,1)＋2019d＝－2014＋2019＝5，∴S2020＝5×2020＝10100.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝354，,S偶S奇＝3227，))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S偶＝192，,S奇＝162.))又S偶－S奇＝6d，所以d＝eq\f(192－162,6)＝5.答案：(1)10100(2)见解析变式练2．解析：由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.答案：B3．解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝324，∴18n＝324，∴n＝18.答案：18考点四例4解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋a3)＝3d＝156－165＝－9，所以d＝－3.因为a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝3a1－9＝165，所以a1＝58.所以an＝a1＋(n－1)d＝58＋(n－1)·(－3)＝61－3n.令an＝61－3n＞0，得n＜eq\f(61,3).因为n∈N*，所以当n＝20时，Sn达到最大值．故选B.(2)由S6＞S7＞S5，得S7＝S6＋a7＜S6，S7＝S5＋a6＋a7＞S5，所以a7＜0，a6＋a7＞0，所以{an}为递减数列，又S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝13a7