举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题5.14 三角函数的应用（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题5.14三角函数的应用（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一课时练习）简谐运动y=4sin5x−πA．5x−π3，π3 B．5x−3C．5x−3，−π3 D．42．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习）我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为y=sinx+12sinA．π B．2π C．23π 3．（3分）（2022·湖北·高一阶段练习）一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式y=Asinωx+φ+2，A>0，ω>0A．A=5，ω=3π10 B．A=5C．A=3，ω=2π15 D．A=34．（3分）（2022·江西·高三开学考试（文））时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式T=20−10sinπ8t−A．1.4h B．2.4h C．3.2h D．5.6h5．（3分）（2021·全国·高一专题练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（

）A．该质点的振动周期为0.7s B．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大 D．该质点在0.3s6．（3分）（2022·江西赣州·高三期中（文））在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20∘C，但当气温上升到31∘C时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时∼14时的气温T（单位：∘C）与时间t（单位：小时）近似满足函数关系式T=25+10sinπA．6.7时∼11.6时 B．6.7时∼12.2时C．8.7时∼11.6时 D．8.7时∼12.2时7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y=sinωt+φω>0,φ<π，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2A．13s B．23s C．8．（3分）（2022·福建泉州·一模（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y=Asin(ωx+ϕ)+K（A．5:00至5:30 B．5:30至6:00 C．6:00至6:30 D．6:30至7:00二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·湖北·模拟预测）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移scm和时间ts的函数关系式为s=2sinωt+φ，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1的相邻时刻差为π3A．2 B．3 C．4 D．610．（4分）（2021·全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是（

）A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14C．该函数的解析式是y＝10sin(π8x+D．这一天的函数关系式也适用于第二天11．（4分）（2022·全国·高一）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（

）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s12．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点P0位置）开始计时，则下列判断正确的有（

A．点P第一次到达最高点需要20秒B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021·全国·高一单元测试）如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是.14．（4分）（2021·全国·高一课时练习）下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式d=Asin(ωt+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2，则函数关系式为15．（4分）（2021·福建省高一阶段练习）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[π6(x−6)](A>0,x=1,2,3,⋯,12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28°C，12月份的月平均气温最低，为18°16．（4分）（2022·全国·高一课时练习）某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：℃），如图.根据图中提供的数据，试用y=Asinωx+φ+b近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系为四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·河南·高二阶段练习）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：ft(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．（6分）（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从4∼18时的温度变化曲线近似满足fx=Asinωx+φ+b，其中A>0(1)求A，b，ω，φ；(2)求这一天4∼12时的最大温差近似值.参考数据：2≈1.4，319．（8分）（2022·全国·高三专题练习）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：（1）写出这个简谐运动的振幅､周期与频率（2）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数表达式.20．（8分）（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间x(0⩽x⩽24，单位：时)随气温yoC变化的规隼可近似看成正弦函数（1）根据图中数据，试求y=Asinωx+φ+B（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23o21．（8分）（2022·上海市高一期中）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？22．（8分）（2022·广西·高一开学考试）某港口的水深y（单位：m)是时间t(0≤t≤24,ℎ)的函数，下面是该港口的水深数据：t03691215182124y10139.97101310.1710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：y=at+b，y=Asin(ωt+φ)，y=Asinωt+K，你认为哪个模型可以更好地刻画(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？专题5.14三角函数的应用（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一课时练习）简谐运动y=4sin5x−πA．5x−π3，π3 B．5x−3C．5x−3，−π3 D．4【解题思路】根据相位与初相的概念，直接求解即可.【解答过程】相位是5x−π3；当x=0时的相位为初相，即故选：C.2．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习）我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为y=sinx+12sinA．π B．2π C．23π 【解题思路】函数的周期主要由f(x+T)=f(x)验证【解答过程】由y=f(x)=对A：f(x+π)=≠f(x)，故A不正确对B：f(x+2π)==sin对C：f(x+≠f(x)，故C不正确；对D：f(x+≠f(x)，故D不正确；故选：B.3．（3分）（2022·湖北·高一阶段练习）一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式y=Asinωx+φ+2，A>0，ω>0A．A=5，ω=3π10 B．A=5C．A=3，ω=2π15 D．A=3【解题思路】根据题意可得周期，由ω=2πT可得ω，由最值可得【解答过程】因为水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，函数周期T=609由图知，点P到水面距离的最大值为7，所以A+2=7，得A=5.故选：A.4．（3分）（2022·江西·高三开学考试（文））时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式T=20−10sinπ8t−A．1.4h B．2.4h C．3.2h D．5.6h【解题思路】由函数关系式T=20−10sin【解答过程】设t1时开始开放，t2时开始闭合，则20−10sinπ8t1∴sinπ8t2−π故选：B.5．（3分）（2021·全国·高一专题练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（

）A．该质点的振动周期为0.7s B．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大 D．该质点在0.3s【解题思路】根据简谐运动的概念判断AB，运动曲线与速度的关系判断CD．【解答过程】由图象可知周期是0.8s，A错，振幅为5cm，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在0.1s和0.5s时振动速度为0，C错，质点在0.3故选：B．6．（3分）（2022·江西赣州·高三期中（文））在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20∘C，但当气温上升到31∘C时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时∼14时的气温T（单位：∘C）与时间t（单位：小时）近似满足函数关系式T=25+10sinπA．6.7时∼11.6时 B．6.7时∼12.2时C．8.7时∼11.6时 D．8.7时∼12.2时【解题思路】由三角函数的性质求解【解答过程】当t∈6,14时，π8t+3π4∈3π2,由T1=20，得sinπ由T2=31，得sinπ故在6时∼14时中，观花的最佳时段约为8.7时∼11.6时.故选：C.7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y=sinωt+φω>0,φ<π，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2A．13s B．23s C．【解题思路】由条件确定函数y=sinωt+φ的周期，再由周期公式求【解答过程】因为t1+t2所以T=4，又T=2πω，所以所以y=sin由y>0.5可得sinπ所以2kπ+π6<π2所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为43故选：D.8．（3分）（2022·福建泉州·一模（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y=Asin(ωx+ϕ)+K（A．5:00至5:30 B．5:30至6:00 C．6:00至6:30 D．6:30至7:00【解题思路】根据题意，求出函数的表达式为y=2.5sin【解答过程】由题意得，函数y=f(x)的周期为T=12，振幅A=2.5,B=5，所以w=2π又因为x=3⇒y=7.5达到最大值，所以由7.5=2.5sin(π所以φ=2kπ,k∈Z，所以函数的表达式为y=2.5sin令2.5sinπ6x+5≥5.5，解得故选C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·湖北·模拟预测）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移scm和时间ts的函数关系式为s=2sinωt+φ，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1的相邻时刻差为π3A．2 B．3 C．4 D．6【解题思路】令2sinωt+φ=1得t=2kπ+π6−φω或【解答过程】解：令2sinωt+φ=1得t=2kπ+π6−φω或当2π3ω=π当4π3ω=π故选：AC.10．（4分）（2021·全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是（

）A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14C．该函数的解析式是y＝10sin(π8x+D．这一天的函数关系式也适用于第二天【解题思路】根据图象得出该函数的周期，可判断A选项的正误；根据图象可知该函数在x=14取得最大值，可判断B选项的正误；结合图象求出该函数的解析式，可判断C选项的正误；第二天的函数关系与第一天的情况不一定一样，所以，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【解答过程】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为T=2×14−6对于B选项，该函数在x=14取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线x=14，B选项正确；对于C选项，由图象可得A+B=30−A+B=10，解得A=10B=20，∵图象经过点14,30，∴30=10sinπ8∵0<φ<π，∴7π4<7π4所以，函数解析式为y=10sin这一天的函数关系式不一定适用于第二天，要具体情况具体分析，所以，D选项错误.故选：AB.11．（4分）（2022·全国·高一）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（

）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s【解题思路】由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由该质点的振幅，可判定B正确；由简谐运动的特点，可判定C正确．【解答过程】由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8s，所以A错，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．故选：BCD.12．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点P0位置）开始计时，则下列判断正确的有（

A．点P第一次到达最高点需要20秒B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米【解题思路】结合周期性以及角度判断出正确答案.【解答过程】设水面为P0过O作直径P1P4依题意OA=1.8米，所以∠AOP0=60°P第一次到达最高点P1需要的时间为120根据对称性可知，P由P0运动到P3，需要时间当水轮转动95秒时，位置与95−60=35秒时相同，35秒转过的角度为3560如图中P2的位置，其中OP1⊥OP当水轮转动50秒时，位于P4的位置，距离水面3.6−1.8=1.8故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021·全国·高一单元测试）如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是y＝2sin(52【解题思路】根据题意，进行求解即可.【解答过程】A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝2π0.8＝5π∴y＝2sin(5π2x+φ)，将(0.1,2)代入得：5π2×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π故答案为：y＝2sin(5π14．（4分）（2021·全国·高一课时练习）下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式d=Asin(ωt+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2，则函数关系式为【解题思路】先阅读题意，再求出A,ω,φ即可得解.【解答过程】解：∵水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，∴A=2.又∵水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，∴T=15=2πω，顺时针旋转∵t=0时，ωt+φ=2kπ−π∴φ=2kπ−π∵|φ|<π2，∴d=2sin故答案为：d=2sin15．（4分）（2021·福建省高一阶段练习）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[π6(x−6)](A>0,x=1,2,3,⋯,12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28°C，12月份的月平均气温最低，为18°C，则【解题思路】由最低与最高气温可得a=23，A=5，进而可得函数解析式，令x=10，可得解.【解答过程】依题意知，a=28+182=23所以y=23+5cos当x=10时，y=23+5cos故答案为：20.5.16．（4分）（2022·全国·高一课时练习）某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：℃），如图.根据图中提供的数据，试用y=Asinωx+φ+b近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系为y=6sin【解题思路】从气温曲线找到最高气温：27、最低气温:15求A，由周期T=2(8−1)=14求ω，利用最高点、最低点坐标求φ、b，得函数解析式.【解答过程】若以1月份为最低气温，8月份为最高气温，则可得A=27−152=6,T=2(8−1)=14ω=2πT=π7,当x=6,8π故答案为：y=6四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·河南·高二阶段练习）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：ft(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．【解题思路】（1）由题意，将8代入三角函数中，可得答案；（2）根据辅助角公式，化简三角函数，结合正弦函数的性质，可得答案.【解答过程】（1）f8=10-3cos8故实验室上午8时的温度为10℃．（2）ft=10-3cosπ因为0≤t<24，所以π3当t=2时，sinπ12t+故ft∈8,12，于是f故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．18．（6分）（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从4∼18时的温度变化曲线近似满足fx=Asinωx+φ+b，其中A>0(1)求A，b，ω，φ；(2)求这一天4∼12时的最大温差近似值.参考数据：2≈1.4，3【解题思路】（1）由图象可确定fx的最值和最小正周期，由此可得A,b,ω；根据f14=30（2）根据单调性可知fxmin=f【解答过程】(1)由图象可知：fxmax=30，fxmin∴A=fxmax−fx∵f14=10sin∴7π4+φ=又0<φ<π，∴φ=3π(2)由图象可知：fx在4,6上单调递减，在6,12∴fxmin=f∴fx即这一天4∼12时的最大温差近似值为17.19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：（1）写出这个简谐运动的振幅､周期与频率（2）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数表达式.【解题思路】(1)从图像中可以直接得到振幅、计算周期和频率；(2)从图像中可以看出；(3)设这个简诺动的函数解析式为y=Asinωx+φ,x∈【解答过程】(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm，周期为0.8s,频率为10.8(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；(3)设这个简谐运动的函数解析式为y=Asinωx+φ,x∈0,+∞,由图像可知：A=2，φ=0所以所求简谐运动的函数解析式为y=2sin20．（8分）（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间x(0⩽x⩽24，单位：时)随气温yoC变化的规隼可近似看成正弦函数（1）根据图中数据，试求y=Asinωx+φ+B（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23o【解题思路】（1）首先求出A、B，再根据函数的周期求出ω，最后根据函数过点3,14求出φ，即可得到函数解析式；（2）依题意令y≥23，再根据正弦函数的性质解不等式，即可得解；【解答过程】解：（1）依题意可得A+B=26−A+B=14解得A=6B=20，又T2=15−3即T=24=2πω，解得ω=π12，所以y=6sinπ12x+φ+20，又函数过点3,14，所以6（2）依题意令6sinπ所以π解得11+24k≤x≤19+24k,k∈Z因为0⩽x⩽24所以11≤x≤19，又19−11=8即老张可在11:00∼19:00外出活动，活动时长