陕西省汉中市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学

汉中市普通高中二年级新高考适应性考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，若，则（）A.9 B.1 C.1 D.94.函数的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.5.设函数,则的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.36.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（）A5 B.6 C.7 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列选项错误的是（）A.这30名学生测试得分的中位数为6B.这30名学生测试得分众数与中位数相等C.这30名学生测试得分的极差为8D.这30名学生测试得分的平均数比中位数大10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是的一个周期 B.的图象关于点对称C.为奇函数 D.在区间上最大值为311.若，则（）A. B.C.中，最大 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为________．13.椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为________.14.已知函数满足，若，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.16已知函数.（1）求的单调区间及极值点；（2）若方程有三个不同的根，求整数的值.17.某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书人数为，求的分布列与期望．18.如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点．（1）证明：平面．（2）若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角．19.已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．汉中市普通高中二年级新高考适应性考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合，，所以.故选：C2.在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限考点：复数运算3.已知向量，，若，则（）A.9 B.1 C.1 D.9【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解，即得答案.【详解】因为，所以，得.故选：D4.函数的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义结合题意直接求解即可.【详解】因为，所以.因为，所以所求切线方程为，即.故选：B5.设函数,则的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】分别判断函数在时以及时的零点个数，即得答案.【详解】当时，令或，有2个零点；当时，令，即，结合函数的图象可知二者在时有1个交点，即此时有1个零点.综合可知，的零点个数为3.故选：D6.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中点，则，所以为与所成的角，由题可得，则，求出代入计算即可求解.【详解】取的中点，连接，，在中，为中位线，所以，所以为与所成角.，，，在中，，，在正三棱柱中，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，所以.故选：.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为，所以.故选：D8.已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离.【详解】如图所示：设切点为Q，则，则，设，则由两点间距离公式得到，解得，因为，所以，因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列选项错误的是（）A.这30名学生测试得分的中位数为6B.这30名学生测试得分的众数与中位数相等C.这30名学生测试得分的极差为8D.这30名学生测试得分的平均数比中位数大【答案】ABC【解析】【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的定义，分别求出对应的值即可得到答案.【详解】这30名学生测试得分的中位数为，故A错误；这30名学生测试得分的众数为5，故B错误；分数最高为10，最低为3，所以极差为7，故C错误；这30名学生测试得分的平均数为:，故D正确.故选：ABC.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是的一个周期 B.的图象关于点对称C.为奇函数 D.在区间上的最大值为3【答案】BD【解析】【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可.【详解】对于A：函数的最小正周期为，故A错误；对于B：因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C：不是奇函数，故C错误；对于D：当时，，所以当，即时，取得最大值3，故D正确.故选：BD11.若，则（）A. B.C.中，最大 D.【答案】BD【解析】【分析】利用赋值法计算判断ABD；求出偶数项的系数判断C.【详解】对于A，令，得，A错误；对于B，显然均为正数，均为负数，取，得，因此，B正确；对于C，，，，，，因此最大，C错误；对于D，由，得，则，因此，D正确.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及二项式展开式系数和的问题，对变量赋以适当的值即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为________．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可求解.【详解】依题意，，得，设外接圆的半径为，所以外接圆的面积为.故答案为：13.椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为________.【答案】14【解析】【分析】根据椭圆的方程求出，然后根据椭圆的定义可求出的周长.【详解】因为，，所以，故的周长为.故答案为：1414.已知函数满足，若，则________.【答案】99【解析】【分析】根据题意结合诱导公式可得，即可得结果.【详解】由题可知：，令，可得，即，所以.故答案为：99.【点睛】关键点点睛：利用诱导公式证明，即可得结果.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据是等比数列求出通项可得答案；（2）利用错位相减求和可得答案.【小问1详解】设，则，，则，所以是首项为，公比也为的等比数列，所以，则；【小问2详解】，则，则，所以，故16已知函数.（1）求的单调区间及极值点；（2）若方程有三个不同的根，求整数的值.【答案】（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值点为1，极小值点为3；（2）.【解析】【分析】（1）对已知函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间与极值点；（2）利用（1）中结论，方程有三个不同的根，满足，可求出答案.【小问1详解】因为，所以.令，得或，令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减.故的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值点为1，极小值点为3.【小问2详解】由（1）知在，上单调递增，在上单调递减.因为，，当时，，当时，，且方程有三个不同的根，所以所以的取值范围是.因为，所以，故整数的值为.17.某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得.（2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出分布列及期望.【小问1详解】甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，概率，所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.【小问2详解】由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，X的可能取0，1，2，3，显然，，，，，所以的分布列为：0123期望.18.如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点．（1）证明：平面．（2）若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，利用线面平行的判定推理即得.（2）利用锥体体积计算判断菱形的形状，再建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而求出面面夹角.【小问1详解】连接，交于点，连接，由是菱形，得为中点，而E为的中点，则，平面，平面，所以平面.【小问2详解】由底面，得，则，即，于是菱形为正方形，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，由，得，则，，设平面的法向量为，，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，显然，所以平面与平面的夹角为.19.已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程.（2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线