5.1.2++弧度制 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.1.2弧度制教学目标

了解弧度制,明确1弧度的含义（重点、难点）01

能进行弧度与角度的互化（重点）02掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式（重点、难点）03

04弧度制学科素养

弧度制的概念

数学抽象区域角的表示直观想象

用弧度制表示角的集合逻辑推理角度制和弧度制的换算、运用已知条件处理扇形有关问题数学运算

数据分析

数学建模弧度制01知识回顾RetrospectiveKnowledge任意角角的扩充：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合象限角与轴线角：把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x轴的非负半轴重合.那么，角α的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如果角的终边落在坐标轴上,这个角称轴线角.02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．

不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的．这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．

如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．

设α=n°,OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为l

，由初中所学知识可知：(于是

如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l，l与r的比值是多少?我们能得出什么结论？探究【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．弧度制的定义：

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度．

我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位圆O中，AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角．(BAO1rad根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l的的弧所对的圆心角为αrad，那么有：

其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于－2π的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角．

一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．一般地，只需根据

两边同除以180两边同除以π就可以进行角度和弧度的换算了．【例1】

把67°30′化成弧度．

今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数，例如角α=2，就表示α是2rad的角；

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)；同样地，每个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这个实数).常见特殊角的角度与弧度对应表：【练习】把下列角度化成弧度．【练习】把下列弧度化成角度．(1)关键:抓住互化公式π

rad=180°是关键;(2)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;(3)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求,切不可进行近似计算,也不必将π化为小数;(4)注意角度制和弧度制不能混用.角度制与弧度制互化的关键与方法:其中R是圆的半径，α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．（1）

；

（2）

；

（3）

．【例2】利用弧度制证明下列关于扇形的公式：【练习】圆的一段弧长等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是

.

03拓展提升ExpansionAndPromotion【练习】如图，一扇形所在的圆的半径为1，且该扇形的周长为4，则这个扇形所含弓形（图中的阴影部分）的面积为

.

04归纳总结SumUp弧度制的定义

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.

两边同除以180两边同除以π角度制和弧度制换算弧度角公式：弧长公式：

扇形面积公式：05课后作业HomeworkAfterClass2.若一扇形的圆心角为72°，半径为20，则扇形的面积为