新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆-课时分层练习题含解析

第一章直线与圆课时练习题1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系 -1-2、直线方程的点斜式 -6-3、直线方程的两点式直线方程的一般式 -11-4、两条直线的平行与垂直 -15-5、两条直线的交点坐标 -19-6、平面直角坐标系中的距离公式 -24-7、圆的标准方程 -29-8、圆的一般方程 -33-9、直线与圆的位置关系 -37-10、圆与圆的位置关系 -43-1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系一、选择题1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为()A．3B．－2C．2D．不存在B[由题意可得AB的斜率为k＝eq\f(2－4,1－0)＝－2．]2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4，1)与(－4，－1) B．(0，1)与(1，0)C．(1，4)与(－1，4) D．(－4，1)与(－4，－1)D[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．]3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°C[直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°．]4．直线l的倾斜角是斜率为eq\f(\r(3),3)的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为()A．1B．eq\r(3)C．eq\f(2\r(3),3)D．－eq\r(3)B[法一：设斜率为eq\f(\r(3),3)的直线的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(\r(3),3)，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴l的斜率k＝tan2α＝eq\r(3)．故选B．法二：设斜率为eq\f(\r(3),3)的直线的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(\r(3),3)，∴l的斜率k＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(\f(2\r(3),3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\r(3)．故选B．]5．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4A[∵kMN＝eq\f(m－4,－2－m)＝1，∴m＝1．]二、填空题6．已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是________．2[如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2]．故直线l的斜率k的最大值为2．]7．已知A(2，－3)，B(4，3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(m,2)))三点在同一条直线上，则实数m的值为________．12[因为A、B、C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即eq\f(3－－3,4－2)＝eq\f(\f(m,2)－－3,5－2)，解得m＝12．]8．若直线l的斜率k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(3)))，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))[当0≤k<eq\r(3)时，即0≤tanα<eq\r(3)，又α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))．]三、解答题9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α．(1)A(2，3)，B(4，5)；(2)C(－2，3)，D(2，－1)；(3)P(－3，1)，Q(－3，10)．[解](1)存在．直线AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°．(2)存在．直线CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2)＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°．(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°．10．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．(1)求eq\f(y＋3,x＋2)的最大值和最小值；(2)求eq\f(x＋y＋5,x＋2)的最大值和最小值．[解](1)如图，可知eq\f(y＋3,x＋2)表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k．由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)．易知kPA≤k≤kPB．由斜率公式得kPA＝eq\f(4,3)，kPB＝8，所以eq\f(4,3)≤k≤8．故eq\f(y＋3,x＋2)的最大值是8，最小值是eq\f(4,3)．(2)由(1)知，eq\f(y＋3,x＋2)的最大值是8，最小值是eq\f(4,3)．又eq\f(x＋y＋5,x＋2)＝eq\f(y＋3,x＋2)＋1，所以eq\f(x＋y＋5,x＋2)的最大值是9，最小值eq\f(7,3)．11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C[∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝eq\f(m2－1,1－2)>0，∴－1<m<1．]12．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则()A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1D[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．]13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是()A．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，k))是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率B．若直线l的斜率是k，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，k))是该直线的一个方向向量C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角[答案]ABC14．(一题两空)已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)．(1)直线AC的倾斜角为________；(2)若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为________．0(－∞，1)∪(1，＋∞)[因为kAC＝eq\f(1－1,8－3)＝eq\f(0,5)＝0．所以直线AC的倾斜角为0，又kAB＝eq\f(k－1,－2－3)＝eq\f(1－k,5)，要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴eq\f(1－k,5)≠0．∴k≠1．]15．把一块长和宽都是13dm的矩形纸片按图(1)裁好，问能否拼成图(2)所示的矩形，为什么？(1)(2)[解]不能，如图，以B为坐标原点建立直角坐标系，使得BE在y轴正半轴上，AB在x轴负半轴上．边AC所在直线的斜率为kAC＝eq\f(8,8－5)＝eq\f(8,3)，边EC所在直线的斜率为kEC＝eq\f(13,5)≠eq\f(8,3)，即kAC≠kEC，所以A、C、D、E四点不可能在同一条直线上．即不能拼成图(2)所示的矩形．2、直线方程的点斜式一、选择题1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示()A．任何一条直线B．不过原点的直线C．不与坐标轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线D[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．]2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是()A．y＋3＝4(x－2) B．y－3＝4(x－2)C．y－3＝4(x＋2) D．y＋3＝4(x＋2)[答案]A3．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－2D．2C[直线x－ay＝4可化为y＝eq\f(1,a)x－eq\f(4,a)，∴－eq\f(4,a)＝2，得a＝－2．]4．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有()A．k1<k2且b1<b2 B．k1<k2且b1>b2C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b1<b2A[设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2．由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2．故选A．]5．若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是()A．a>1 B．0<a<1C．∅ D．0<a<1或a>1A[y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．∴当0<a≤1时，只有一个公共点；当a>1时，有两个公共点，故选A．]二、填空题6．直线y＝eq\f(4,3)x－4在y轴上的截距是________．－4[由y＝eq\f(4,3)x－4，令x＝0，得y＝－4．]7．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为________．(2，3)[将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，∴该直线过定点(2，3)．]8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))[由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤0，,3－2k≤0，))得k≥eq\f(3,2)．]三、解答题9．已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°．求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．[解](1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行．∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0．(2)∵∠A＝60°，∴kAC＝eq\r(3)，AC边所在直线方程为y－1＝eq\r(3)(x－1)，即eq\r(3)x－y＋1－eq\r(3)＝0．又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1．∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0．10．如图，直线l：y－2＝eq\r(3)(x－1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程．[解]设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y－2＝eq\r(3)(x－1)知，直线l的斜率为eq\r(3)，则倾斜角为60°．当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为eq\f(\r(3),3)，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)＋2．综上，所求直线l′的方程为x＝1或y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)＋2．11．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()ABCDD[对于A选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B选项，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D选项，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0．故选D．]12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是()A．方程k＝eq\f(y－2,x＋1)与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线B．直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0C．直线l过点P(x0，y0)，斜率为0，则其方程为y＝y0D．所有直线都有点斜式和斜截式方程BC[A中方程，k＝eq\f(y－2,x＋1)，x≠－1；D中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴AD错误，BC正确．]13．(一题两空)将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；再向右平移1个单位，所得到的直线为________．y＝－eq\f(1,3)xy＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(1,3)[将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－eq\f(1,3)x，再向右平移1个单位，所得到的直线为y＝－eq\f(1,3)(x－1)，即y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(1,3)．]14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1．(1)求证：直线l恒过一个定点；(2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．[解](1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－3≥0，,f3≥0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3k＋2k＋1≥0，,3k＋2k＋1≥0.))解得－eq\f(1,5)≤k≤1．所以，实数k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，1))．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列结论正确的是()A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点B．如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点C．直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数D．存在恰经过一个整点的直线AD[A正确，如直线y＝eq\r(2)x＋eq\f(1,2)，不经过任何整点(x＝0，y＝eq\f(1,2)；x≠0，y是无理数)B错误，直线y＝eq\r(2)x－eq\r(2)中k与b都是无理数，但直线经过整点(1，0)；C错误，当k＝0，b＝eq\f(1,2)时，直线y＝eq\f(1,2)不通过任何整点；D正确，比如直线y＝eq\r(2)x只经过一个整点(0，0)．]3、直线方程的两点式直线方程的一般式一、选择题1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式B[由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．]2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则()A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0D[通过直线的斜率和截距进行判断．]3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<cC[由已知直线表达式，得l1：y＝－eq\f(1,a)x－eq\f(b,a)，l2：y＝－eq\f(1,c)x－eq\f(d,c)，由题图知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)>－\f(1,c)>0,－\f(b,a)<0,－\f(d,c)>0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c<a<0,b<0,d>0.))]4．把直线x－y＋eq\r(3)－1＝0绕点(1，eq\r(3))逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是()A．y＝－eq\r(3)x B．y＝eq\r(3)xC．x－eq\r(3)y＋2＝0 D．x＋eq\r(3)y－2＝0B[如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°．∴直线l的斜率k＝tanα＝tan60°＝eq\r(3)，∴直线l的方程为y－eq\r(3)＝eq\r(3)(x－1)，即y＝eq\r(3)x．]5．若直线Ax＋By＋C＝0过坐标原点，则A，B，C满足的条件是()A．C＝0 B．AB≠0且C＝0C．A2＋B2≠0且C＝0 D．A＋B＝0C[A，B不能同时为0．]二、填空题6．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．2x－y＋1＝0[由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0．]7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．－eq\f(3,2)[直线方程为eq\f(y－1,9－1)＝eq\f(x＋1,3＋1)，即y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(3,2)，∴在x轴上的截距为－eq\f(3,2)．]8．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是________．x＋2y－1＝0或x＋3y＝0[设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l的方程为eq\f(y,x)＝eq\f(－1,3)，所以x＋3y＝0；当a≠0时，a＝2b，此时直线l的方程为eq\f(x,2b)＋eq\f(y,b)＝1，代入(3，－1)，得x＋2y－1＝0．]三、解答题9．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，求直线在y轴上的截距．[解]由已知，直线过点(3，0)，所以3(a＋2)－2a＝0，即a＝－6．所以直线方程为－4x＋45y＋12＝0，即4x－45y－12＝0．令x＝0，得y＝－eq\f(4,15)．故直线在y轴上的截距为－eq\f(4,15)．10．求经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程．[解]由题意可知，所求直线的斜率为±1．又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0，或x＋y－7＝0．11．过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()A．2条B．3条C．4条D．无数多条B[当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－eq\f(1,3)x；当截距不为零时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(－1,b)＝1,|a|＝|b|，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝－4，))即直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,4)＋eq\f(y,－4)＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B．]12．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0A[∵点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0．由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．∵点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0．由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0．]13．(多选题)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足()A．ab>0 B．bc<0C．ab<0 D．bc>0AB[易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b)，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))所以ab>0，bc<0．]14．(一题两空)已知点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________；最小值为________．30[线段AB的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1(0≤x≤3)，所以xy＝4xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,3)))＝－eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋3，所以当x＝eq\f(3,2)时，xy的最大值为3；当x＝0或3时，xy的最小值为0．]15．已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．[解]根据题意，设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意，知a>2，b>1，∵l过点M(2，1)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，解得b＝eq\f(a,a－2)，∴△AOB的面积S＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)a·eq\f(a,a－2)，化简，得a2－2aS＋4S＝0．①∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去)．∴S的最小值为4，将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，∴b＝eq\f(a,a－2)＝2．∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.4、两条直线的平行与垂直一、选择题1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．ax－ay－a＝0B[显然B中直线与直线x－y－1＝0斜率相等但不重合．]2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．不确定B[∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．]3．下列直线中，与已知直线y＝－eq\f(4,3)x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是()A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0B[先看斜率，A、D选项中斜率为－eq\f(3,4)，排除掉；直线与y轴交点需在y轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．]4．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为()A．eq\f(1,a) B．aC．－eq\f(1,a) D．－eq\f(1,a)或不存在D[当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－eq\f(1,a)；当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，故直线l2的斜率不存在．∴直线l2的斜率为－eq\f(1,a)或不存在．]5．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形C[∵kAB＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC．]二、填空题6．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________．－eq\f(2,3)[－eq\f(2,m)＝3，∴m＝－eq\f(2,3)．]7．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为________．－5[l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，∴m＝－5．]8．已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为________．3x＋2y－11＝0[kBC＝eq\f(1－－1,2－－1)＝eq\f(2,3)，∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－eq\f(3,2)，∴所求直线方程为y－1＝－eq\f(3,2)(x－3)，即3x＋2y－11＝0．]三、解答题9．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M的坐标．[解]设M(x，0)∴M是以AB为直径的圆与x轴的交点，∴AM⊥BM，∴kAM·kBM＝－1，即eq\f(3－0,－1－x)×eq\f(2－0,4－x)＝－1，∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，∴M(1，0)或M(2，0)．10．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]∵A、B两点纵坐标不等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3．①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式kAB＝eq\f(4－2,－2m－4－－m－3)＝eq\f(2,－m＋1)，kCD＝eq\f(3m＋2－m,3－－m)＝eq\f(2m＋1,m＋3)．∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即eq\f(2,－m＋1)·eq\f(2m＋1,m＋3)＝－1，解得m＝1，综上m的值为1或－1．11．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件C[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．]12．若{(x，y)|ax＋2y＋2＝0}∩{(x，y)|3x－y－2＝0}＝∅，则系数a＝()A．6B．－6C．eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)B[由题意知，两直线平行，∴eq\f(a,3)＝eq\f(2,－1)，∴a＝－6．]13．(多选题)下列说法中，不正确的是()A．若两直线斜率相等，则两直线平行B．若l1∥l2，则k1＝k2C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行ABD[当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，A不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，B不正确；显然C正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，D不正确．]14．(一题两空)直线l1的斜率k1＝eq\f(3,4)，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)．(1)若l1∥l2，则a的值为________．(2)若l1⊥l2，则a的值为________．eq\f(10,3)eq\f(5,4)[直线l2的斜率k2＝eq\f(3－2,a－1－1)＝eq\f(1,a－2)，由l1∥l2，得k1＝k2，∴eq\f(1,a－2)＝eq\f(3,4)，∴a＝eq\f(10,3)．由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，∴eq\f(1,a－2)×eq\f(3,4)＝－1，∴a＝eq\f(5,4)．]15．已知O为坐标原点，点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P的坐标．(1)∠MOP＝∠OPN；(2)∠MPN是直角．[解]设P(x，0)，(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴MO∥PN，∴kOM＝kNP，又kOM＝eq\f(2－0,2－0)＝1，kNP＝eq\f(0－－2,x－5)＝eq\f(2,x－5)．∴eq\f(2,x－5)＝1，解得x＝7，即P(7，0)．(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，∴kMP·kNP＝－1，∵kMP＝eq\f(2,2－x)，kNP＝eq\f(2,x－5)，∴eq\f(2,2－x)×eq\f(2,x－5)＝－1，解得x＝1或x＝6．∴P(1，0)或(6，0)．5、两条直线的交点坐标一、选择题1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．不确定B[∵k1＝eq\f(3,2)，k2＝－eq\f(m2＋1,3)＜0，∴k1≠k2的两直线相交．]2．直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：4x－3y－eq\f(1,3)＝0的交点坐标为()A．(2，3)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，3))B[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0,4x－3y－\f(1,3)＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,3),y＝3))，本题也可代入选项验证．]3．两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是()A．{a|－2＜a＜2} B．{a|a＜－2}C．{a|a＞2} D．{a|a＜－2或a＞2}C[联立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－a＝0，,x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a＋2,2),y＝\f(a－2,2)))，由交点在第一象限，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)>0,\f(a－2,2)>0))，解得a＞2．所以实数a的取值范围是{a|a＞2}．]4．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝()A．－4B．20C．0D．24A[由两直线垂直得－eq\f(a,4)×eq\f(2,5)＝－1，∴a＝10，将垂足代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，∴a＋b＋c＝－4．]5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为()A．－9B．9C．－6D．6A[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9．]二、填空题6．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．－1[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝10,2x－y＝10))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－2))．将(4，－2)代入ax＋2y＋8＝0，得4a＋2×(－2)＋8＝0，∴a＝－1．]7．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－eq\f(1,4)x＋1的交点在x轴上，则k的值为________．eq\f(2,7)[直线y＝－eq\f(1,4)x＋1交x轴于点(4，0)．∵两条直线的交点在x轴上，∴直线y＝kx＋3k－2过点(4，0)．∴0＝4k＋3k－2．∴k＝eq\f(2,7)．]8．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．(－1，－2)[直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．]三、解答题9．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))∴点P的坐标是(－2，2)．又所求直线l与x－2y－1＝0垂直，可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0．把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2．∴所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0．(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝eq\f(1,2)×1×2＝1．10．已知△ABC的顶点A的坐标为(5，6)，两边AB、AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程．[解]∵AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0，∴可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0，把点A(5，6)坐标代入得25－24＋m＝0，∴m＝－1，即直线AB方程为5x－4y－1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－4y－1＝0,x－6y＋5＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))，即B(1，1)．同理可得C(6，0)，∴kBC＝eq\f(1－0,1－6)＝－eq\f(1,5)．∴直线BC的方程为y＝－eq\f(1,5)(x－6)，即x＋5y－6＝0．11．已知点P(－1，0)，Q(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是()A．[－2，2] B．[－1，1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．[0，2]A[点P，Q所在直线的方程为y＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋b，,y＝0，))得交点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0))，由－1≤eq\f(b,2)≤1，得－2≤b≤2．]12．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0D[设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0．故选D．]13．(多选题)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则()A．Ax0＋By0＋C≠0B．Ax0＋By0＋C＝0C．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l垂直的直线D．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线AD[因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C．故选AD．]14．(一题两空)已知直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点．(1)若它们相交于一点，则a＝________；(2)若它们共有两个不同的交点，则a＝________．－11－1或eq\f(2,3)[因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(2,5)))，若它们相交于一点，则－eq\f(1,5)a＋eq\f(4,5)－3＝0，所以a＝－11．若要使三条直线共有两个不同交点，只需ax＋2y－3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－eq\f(a,2)＝eq\f(1,2)，解得a＝－1；当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，有－eq\f(a,2)＝－eq\f(1,3)，解得a＝eq\f(2,3)．]15．一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．[解]取直线2x－y＋2＝0上一点A(0，2)，设点A(0，2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b＋2,2)－5＝0，,\f(b－2,a)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5，))∴B(3，5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1，4)，∴反射光线在经过点B(3，5)和点P(1，4)的直线上，该直线的方程为y－4＝eq\f(4－5,1－3)(x－1)，整理得x－2y＋7＝0．故反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0.6、平面直角坐标系中的距离公式一、选择题1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\r(5)D．2eq\r(5)A[直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|2×1－2＋1|,\r(22＋－12))＝eq\f(\r(5),5)，故选A．]2．已知点(3，m)到直线x＋eq\r(3)y－4＝0的距离等于1，则m等于()A．eq\r(3)B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．eq\r(3)或－eq\f(\r(3),3)D[由eq\f(|3＋\r(3)m－4|,2)＝1，解得m＝eq\r(3)或－eq\f(\r(3),3)，故选D．]3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为()A．－6或eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)或1C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2) D．0或eq\f(1,2)A[eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋12))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋12))，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或eq\f(1,2)．]4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是()A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C．3x－4y＋16＝0D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0D[在直线3x－4y＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则eq\f(|3×1－4×1＋m|,\r(32＋－42))＝3，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0．]5．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是()A．y＝1B．2x＋y－1＝0C．y＝1或2x＋y－1＝0D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0C[∵kAB＝eq\f(3－－1,3－5)＝－2，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即2x＋y－1＝0，又AB的中点C(4，1)，∴PC的方程为y＝1．]二、填空题6．已知A(a，3)，B(－2，5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．3或－2[依题意及两点间的距离公式，得eq\r([a－－2]2＋3－5a2)＝13，整理得a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2．]7．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋eq\f(4,x)(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．4[由题意可设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，x0＋\f(4,x0)))(x0>0)，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋x0＋\f(4,x0))),\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(4,x0))),\r(2))≥eq\f(2\r(2x0·\f(4,x0)),\r(2))＝4，当且仅当2x0＝eq\f(4,x0)，即x0＝eq\r(2)时取等号．故所求最小值是4．]8．点A(－3，1)，C(1，y)关于点B(－1，－3)对称，则|AC|＝________．4eq\r(5)[由已知得eq\f(y＋1,2)＝－3，解得y＝－7，即C(1，－7)，∴|AC|＝eq\r([1－－3]2＋－7－12)＝4eq\r(5)．]三、解答题9．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－eq\f(3,4)．(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．[解](1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，整理得，所求直线方程为3x＋4y－14＝0．(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，由点到直线的距离公式得eq\f(|3×－2＋4×5＋C|,\r(32＋42))＝3，即eq\f(|14＋C|,5)＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为eq\r(5)，求直线l1的方程．[解]∵l1∥l2，∴eq\f(m,2)＝eq\f(8,m)≠eq\f(n,－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴eq\f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－22或n＝18．故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0．(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴eq\f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－18或n＝22．故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0．11．在直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．2eq\r(10)B．6C．3eq\r(3)D．2eq\r(5)A[如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4，2)，C(－2，0)，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|NP|＝|DM|＋|MN|＋|NC|．由对称性，D、M、N、C共线，∴|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|＝eq\r(40)＝2eq\r(10)．]12．若直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是()A．1B．2C．eq\f(1,2)D．4B[∵eq\f(6,3)＝eq\f(m,4)≠eq\f(14,－3)，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝eq\f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2．]13．(多选题)已知直线l：xcosα＋ysinα＝2，则下列结论正确的是()A．原点到直线l距离等于2B．若点Peq(x0，y0)在直线l上，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)≥4C．点(1，1)到直线l距离d的最大值等于2＋eq\r(2)D．点(1，1)到直线l距离d的最小值等于2－eq\r(2)ABCD[由点到直线的距离公式知，A正确；由A正确得，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))≥2，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)≥4；因为d＝eq\f(|cosα＋sinα－2|,\r(cos2α＋sin2α))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－2))，所以d的最大值等于2＋eq\r(2)，最小值等于2－eq\r(2)．]14．(一题两空)在平面直角坐标系内，已知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为________，平面内到A，B，C，D的距离之和最小的点的坐标是________．2eq\r(5)(2，4)[设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|＝2eq\r(5)，当且仅当A，M，C共线，且M在A，C之间时取等号，同理，|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线，且M在B，D之间时取等号，连接AC，BD交于一点M(图略)，此时|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M即为所求．因为kAC＝eq\f(6－2,3－1)＝2，所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．①又因为kBD＝eq\f(5－－1,1－7)＝－1，所以直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0．②联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))所以M(2，4)．]15．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．[解]设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得正方形的中心坐标为P(－1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．又正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0．∵正方形中心到四条边的距离相等，∴eq\f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0．∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0．7、圆的标准方程一、选择题1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是()A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25C[r＝eq\r(3－02＋4－02)＝5，故选C．]2．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于()A．eq\f(6,5)B．eq\f(8,5)C．eq\f(24,5)D．eq\f(26,5)B[由已知得，C(－4，3)，则圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离d＝eq\f(|－16＋9－1|,\r(42＋32))＝eq\f(8,5)．]3．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，＋∞))A[由(a－1)2＋(a＋2)2<2a2，得a<－eq\f(5,2)．]4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2B[由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B．]5．方程|y|－1＝eq\r(1－x－12)表示的曲线是()A．半圆 B．圆C．两个圆 D．两个半圆D[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝eq\r(1－x－12)表示的曲线是两个半圆．故选D．]二、填空题6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．(x－2)2＋y2＝5[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]7．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则eq\r(x－12＋y－12)的最大值为________．eq\r(26)＋2[由eq\r(x－12＋y－12)的几何意义知：本题是求圆上一点到点(1，1)的最大值，其最大值为eq\r(0－12＋－4－12)＋2＝eq\r(26)＋2．]8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．1[∵|AB|＝2．∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为(2，2)，半径为1．所以此时C的坐标为(2，1)，S△ABC的最小值为1．]三、解答题9．求圆心C(8，－3)且过点P(5，1)的圆的标准方程．[解]法一：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，∵点P(5，1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2．∴r2＝25．∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25．法二：∵圆的半径为r＝|CP|＝eq\r(5－82＋1＋32)＝5，又圆心为C(8，－3)，∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25．10．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．[解](1)PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，且kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y－eq\f(1,2)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－y＝0．(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－a)2＋b2＝1,a2＋(1－b)2＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))，所以圆C的方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1．11．点P(8，m)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．与m取值有关A[因为d＝eq\r(8－02＋m－02)＝eq\r(64＋m2)>eq\r(24)＝r，所以点在圆外．]12．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．(－1，1) B．(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1A[因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1．]13．(多选题)一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程时()A．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)B．反射光线所在的直线方程是4x－3y＋1＝0C．光线的最短路程为4D．当光线的路程最短时，反射点的坐标为(－eq\f(1,4)，0)ABCD[圆C的圆心C的坐标为(2，3)，半径r＝1．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因为当反射光线是A′C时，光线的路程最短，所以最短距离为|A′C|－r，即eq\r([2－－1]2＋[3－－1]2)－1＝4，此时，反射光线为直线A′C，其方程是4x－3y＋1＝0，反射点为直线A′C与x轴的交点，其坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))．]14．(一题两空)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．则eq\f(y,x)的最大值是________；最小值________．eq\r(3)－eq\r(3)[原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx．当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)．所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3)．]15．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6] B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝eq\r(2)，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2eq\r(2)，可得dmax＝2eq\r(2)＋r＝3eq\r(2)，dmin＝2eq\r(2)－r＝eq\r(2)．由已知条件可得|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP面积的最大值为eq\f(1,2)|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为eq\f(1,2)|AB|·dmin＝2．综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．故选A．]8、圆的一般方程一、选择题1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点 B．一个圆C．一条直线 D．不存在A[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()A．8B．－4C．6D．无法确定C[圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，即－eq\f(m,2)＋3＝0，∴m＝6．]3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(\r(2),2)，则a的值为()A．－2或2B．eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0D．－2或0C[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝2或0，故选C．]4．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为()A．2或1B．－2或－1C．2D．1C[∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，∴m＞1．又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2．]5．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个C[∵圆心(－1，－2)，r＝eq\f(1,2)eq\r(4＋16＋12)＝2eq\r(2)，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)．∴共有3个点．]二、填空题6．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．(x－1)2＋y2＝1[以(0，0)，(1，1)，(2，0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1．]7．若l是经过点P(－1，0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．－1[圆心C(－2，1)，则直线l的斜率k＝eq\f(1－0,－2＋1)＝－1，所以直线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，所以l在y轴上的截距是－1．]8．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________．x＋2y＋1＝0[由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0．]三、解答题9．求经过点A(6，5)，B(0，1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．[解]设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(62＋52＋6D＋5E＋F＝0，,02＋12＋0×D＋1×E＋F＝0，,3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋10·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＋9＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6D＋5E＋F＝－61，,E＋F＝－1，,3D＋10E＝18，))解得eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－14，,E＝6，,F＝－7.))因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0．10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解](1)据题意知，D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq\f(1,5)，故m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))．(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq\r(1－5m)．11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆D[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径长的圆．]12．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16B[设M(x，y)，则M满足eq\r(x－82＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理得x2＋y2＝16．]13．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是()A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2C．a＋b＝1D．ab的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))ABCD[原方程可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2))2＝4，故其圆心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，半径是2．由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，所以a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，所以ab的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))，故选ABCD．]14．(一题两空)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________．x2＋(y＋1)2＝1π[将圆的方程配方，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝－eq\f(3,4)k2＋1，∵r2＝1－eq\f(3,4)k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0．故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π．]15．已知线段AB的端点B的坐标为(8，6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[解]设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8，6)，且P为线段AB的中点，∴x＝eq\f(x0＋8,2)，y＝eq\f(y0＋6,2)，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6．∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋4x0＝0，∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1，∴点P的轨迹是以(3，3)为圆心，1为半径长的圆．9、直线与圆的位置关系一、选择题1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8B[将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝eq\r(2－a)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－1＋1＋2|,