2005年高考.江西卷.文科数学试题精析详解

普通高等学校招生考试数学试题精析详解北大附中广州实验学校王生PAGEQQ：84024795E-mail:wangsheng@第1页（共12页）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江西文科卷）试题精析详解一、选择题（5分12=60分）1．设集合，则 （） A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}【思路点拨】本题考察集合的逻辑运算,可直接求得.【正确解答】，，.选D.【解后反思】集合主要有三种逻辑运算：交集,并集,补集,运算时要留意集合元素的性质,元素确定性,互异性,无序性,要注意补集的运算是离不开全集的,在化简集合时,经常用到两种工具：数轴和韦恩图.2．已知 （） A． B．－ C． D．－【思路点拨】本题涉及三角函数的有关公式.【正确解答】由二倍角公式可知，，选B【解后反思】教材已经给我们提供了一个好的问题情境，并通过“会话”、“协作”初步建构了二倍角公式的概念.我们完全有可能通过进一步的“会话”、协作”，深化对二倍角公式的意义建构，引导学生用学到的“活的思想”去诠释新教材中的新问题.如此去领会、贯彻新教材的构思.3．的展开式中，含x的正整数次幂的项共有 （） A．4项 B．3项 C．2项 D．1项【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.【正确解答】的展开式为，因此含x的正整数次幂的项共有3项.选B【解后反思】在二项式展开式中,要注意二项式定理的变形,要掌握二项展开式中的系数与二项式系数的区别.4．函数的定义域为 （） A．（1，2）∪（2，3） B． C．（1，3） D．[1，3]【思路点拨】本题涉及求函数定义域的若干知识.在本题中,求定义域要注意两个方面(1)因式有分母,注意分母不能为零,(2)因式有对数,要对数有意义.【正确解答】由题意可知，，选A【解后反思】本题是求定义域的一道常规题目,函数的定义域（或变量的允许取值范围）看似非常简单,然而在解决问题中若不加以注意,常常会误入歧途,导致失误.此外在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.5．设函数为 （） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，数小正周期为 D．非周期函数【思路点拨】本题考查三角函数的周期,首先应将f(x)化简,尽可能地化成形如然后再判断.【正确解答】，因此为周期函数，且最小正周期为.选B.【解后反思】本题也可根据三角函数周期定义进行检验,将A、B、C、D中的周期都代入,验证后,可得答案B,另外记住一些常用结论是必要的，例如的最小正周期,最小正周期.6．已知向量 （） A．30° B．60° C．120° D．150°【思路点拨】本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式.【正确解答】设，则，又，所以，得，，选C.【解后反思】设的夹角为,则,(1)当为锐角,有且(2)当为钝角,有且(3)当,共线且方向相同.(4)当时,.7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（） A．70 B．140 C．280 D．840【思路点拨】本题涉及组合的平均分组问题.【正确解答】要使甲、乙分在同一组，即将剩下的7人分成三组，其中两组有三个人，一组只有一个人，所以要求的概率为，选A【解后反思】对于平均分组问题,由于各组地位均等,所以平均分成几组,就一定要除以8．在△ABC中，设命题命题q:△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的 （） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【思路点拨】本题主要考查三角形形状的判断及充要条件.【正确解答】，由△ABC是等边三角形，则，显然成立.：由三角形的性质可知：，又已知，两式相除得：，令，则，所以，，得，因此，即△ABC是等边三角形.因此是的充分必要条件，选C【解后反思】判断三角形形状,主要根据正弦定理,余弦定理及三角形内角和为,化简有两个方向,(1)角化边,(2)边化角.9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B—AC—D，则四面体ABCD的外接球的体积为 （） A． B． C． D．【思路点拨】本题主要考查图形的翻折问题,利用球心到球面的距离均相等,找出球心是解本题的关健.【正确解答】连接矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，则AO＝BO＝CO＝DO，则O为四面体ABCD的外接球的圆心，因此四面体ABCD的外接球的半径为，体积为.选C.【解后反思】对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,另外,球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内接长方体问题.10．已知实数a、b满足等式下列五个关系式： ①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b 其中不可能成立的关系式有 （） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题涉及指数函数的若干知识.【正确解答】均大于零时，要满足等式，必有；均小于零时，要满足等式，必有；时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④，选B【解后反思】根据函数图形来解客观题,快速而且准确,这就要求对函数的图形要相当了解.11．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时， （） A． B． C． D．【思路点拨】运用图形,根据图形表示的面积,将实际问题转化成数学问题.【正确解答】当即时,面积最大.【解后反思】运用三角函数解决相应的实际问题，首先应根据题目的要求将面积的表达式写出来，然后在表达式中，根据自变量的取值范围，最终求出答案，所要注意的是，解决此类问题时不能仅凭函数的表达式，应考虑实际情况，例如，在函数的自变量中，可以取负数，而如果在实际题目中，自变量表示的是天数，那么这相自变量必须为正数，且为整数等等.12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a,b的值分别为（） A．0,27,78 B．0,27,83 C．2.7,78 D．2.7,83【思路点拨】本题涉及数理统计的若干知识.【正确解答】由图象可知，前4组的公比为3，最大频率，设后六组公差为，则，解得：，后四组公差为－0.05，所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）.选A.【解后反思】本题是一道数理统计图象题,关于统计一般可分为三步,第一步抽样,第二步根据抽样所得结果,画成图形,第三步根据图形,分析结论.本题是统计的第二步,在此类问题中,可画成两种图形,一个是频率分布直方图,另一个是频率分布条形图,两者有很大的不同,前者是以面积表示频数,频率分布条形图是以高度表示频数.二、填空题（4分4=16分）13．若函数是奇函数，则a=.【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性,由函数的奇偶性的定义可求得.【正确解答】解法1：由题意可知，，即，因此，.解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以,得即推出答案【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.若函数f(x)为奇函数的图象关于原点对称.若函数f(x)为偶函数的图象关于y轴对称.14．设实数x,y满足.【思路点拨】本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最值.【正确解答】表示两点(0,0),A(x,y)的斜率【解后反思】解题的关键是理解目标函数的几何意义,类似的你知道的几何意义吗？15．如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=BC，且，则PA与底面ABC所成角为.【思路点拨】本题主要考查直线与平面所成的角的求法,关键是确定点P在底面的射影O的位置.【正确解答】过P作，交底面于O，连结AO并延长交BC于D，连结PD，则PD、AD均垂直于BC，所以AB＝AC，PA与底面ABC所成角为，设AC＝1，则PA=PB=PC=BC＝，，，，所以.【解后反思】熟练掌握三角形的“四心”是快速解该题的关键.外心:三角形三条中垂线的交点,性质外心到三角顶点距离相等,内心:内角平分线的交点,性质是内心到三边距离相等,垂心:三条高线的交点,重心:三条中线的交点,另外记住一些结论也是大有裨益的,比如在三棱锥P-ABC中(1)若P到三个顶点的距离相等,则P在底面的射影是ABC的外心,(2)若P到三边的距离相等,则P在底面的射影是的内心,(3)若则且P在底面的射影是的垂心.16．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线； ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线有相同的焦点. 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）【思路点拨】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e的关系求得【正确解答】双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数2a,且,那么P点的轨迹为双曲线,故①错，由,得P为弦AB的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【解后反思】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e的相互关系.三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x的不等式；.【思路点拨】本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法.【正确解答】（1）将得（2）不等式即为即①当②当③.【解后反思】解不等式的过程实质上就是转化的过程,分式不等式转化成整式不等式,解分式不等式一般情况下是移项,通分,然后转化成整式不等式,对于高次不等式,借助数轴法,则简单,快捷,另外,18．（本小题满分12分）已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.【思路点拨】本题主要考查向量与三角函数的综合题，正确求出f（x）是解该题的关键.【正确解答】=.所以，最小正周期为上单调增加，上单调减少.【解后反思】这是一道向量与三角函数的综合题,向量虽然是近年高中数学出现的新知识,但向量知识却很重要.因为向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在学习过程中,同学将会了解向量丰富的实际背景,逐渐理解平面向量及其运算的意义,一定能要用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展数学运算能力和解决数学实际问题的能力.19．（本小题满分12分）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.【思路点拨】本题涉及随机事件的有关概率.【正确解答】设表示游戏终止时掷硬币的次数，设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：【解后反思】这是一道比较复杂的概率题目,首先我们应理解随机变量及其概率分布的概念,掌握分布函数F(x)=P{X≤x}的概念及性质;才能会计算与随机变量相关的事件的概率.同时我们在解决的过程中,也适当对此类解题的流程也要有一个清晰的了解,这样才能保证此类题目得高分和全分.20．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动（1）证明：D1E⊥A1D;（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC－D的大小为.【思路点拨】本题涉及立体几何线面关系的有关知识,【正确解答】解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，∴由令b=1,∴c=2,a=2－x，∴依题意∴（不合，舍去），.∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.【解后反思】立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.21．（本小题满分12分）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.【思路点拨】本题涉及抛物线与直线相交的有关知识.【正确解答】（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)则直线MF的斜率为－k，消所以直线EF的斜率为定值（2）同理可得设重心G（x,y），则有【解后反思】这是一道重要的数学问题,它属于解析几何范畴,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要”大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条