专题06等差数列的概念与前n项和（考点清单知识导图+2考点清单+9题型解读）（学生版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题06等差数列的概念与前n项和【清单01】等差数列的定义与前n项和一.等差数列的定义1.文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2.符号语言：若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列二.等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)三.等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq\f(a＋b,2).四.等差数列的证明1.定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列；2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．五.等差数列的性质1.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．2.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．3.若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．4.若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．【清单02】等差数列的前n项和一.数列的前n项和对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.二．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式SSn=n三．等差数列前n项和的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和：1.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).【考点题型一】等差数列基本量的计算方法总结：等差数列的基本运算：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，3aA．78 B．100 C．116 D．120【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn，若S6A．32 B．4 C．94 【变式1-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等差数列an中，若2a3A．36 B．24 C．18 D．9【变式1-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知an为等差数列，a2=8，a【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在等差数列an中，若a8=6,a11【考点题型二】等差数列的通项公式方法总结：等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．【例2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知an为等差数列，数列bn满足：a1+b1=2A．n22n−1 B．n C．【变式2-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列An的首项为2，公差为8，在An中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列an，数列an【变式2-2】（23-24高二上·江苏·期中）写出一个具有下列性质①②的数列an的通项公式an=．①2【变式2-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）设等差数列an,(1)求a3(2)若a1+a【变式2-4】（22-23高二上·江苏常州·期中）记Sn为数列an的前n项和，已知an(1)求a1，a(2)求数列an【考点题型三】等差数列的前n项和方法总结：求等差数列前n项和的方法:1.用倒序相加法求数列的前n项和。如果一个数列an2.用公式法求数列的前n项和(等差数列公式求和公式:Sn=n(a对等差数列，求前n项和Sn3、用裂项相消法求数列的前n项和。裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。4、用构造法求数列的前n项和。所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。【例3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，Sn【变式3-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）在等差数列an中，S4=21，an−3【变式3-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设Sn是等差数列an的前n(1)证明：数列bn(2)当a7=4，b15=5时，求数列bn【变式3-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列an的前n项和为Sn，an(1)求数列an(2)设bn=4Sn【变式3-4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）在等差数列{an}中，已知a(1)求{a(2)求数列{an}的前n【考点题型四】等差数列的证明方法总结：判断等差数列的方法1.定义法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.2.等差中项法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．3.通项公式法数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．【例4】（22-23高二下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列an满足an+1(1)求a2(2)证明：数列1an−2【变式4-1】（20-21高二上·江苏盐城·期中）已知数列{an}满足an+1=2anan（1）求证：数列{1an（2）解关于n的不等式：22【变式4-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设Sn是等差数列an的前n(1)证明：数列bn(2)当a7=4，b15=5时，求数列bn【变式4-3】（20-21高二上·江苏常州·期中）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足对任意n∈（1）求证：数列an（2）若bn=(−1)n2【变式4-4】（19-20高二上·江苏徐州·期中）已知等差数列an前n项和为Sn，且S2（1）求数列an（2）若bn=S【考点题型五】等差数列前n项和的性质方法总结：等差数列的前n项和常用的性质：1.等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列；2.数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列；3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)【例5】（23-24高二下·江苏盐城·期中）等差数列an中，Sn是其前n项和，S5A．12 B．1 C．2 【变式5-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn,Tn，A．3765 B．1119 C．919【变式5-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn，若S6A．32 B．4 C．94 【变式5-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设Sn是等差数列an的前n项和，若a2A．36 B．45 C．54 D．63【变式5-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列an，S3=7，S6【考点题型六】等差数列前n项和最值方法总结：1.项的符号法(邻项变号法)：①当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.2.二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.3.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．【例6】（多选）（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列an的公差d<0，且a12=a132，an前nA．6 B．7 C．12 D．13【变式6-1】（多选）（20-21高二下·辽宁大连·期中）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a15>0，A．a1>0 B．d<0C．前15项和S15最大 D．从第32项开始，S【变式6-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知Sn为数列an的前n项和，且an+1=an+d(1)数列an(2)Sn【变式6-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知在等差数列an中，a(1)求数列an(2)若数列an的前n项和Sn，则当n为何值时【变式6-4】（21-22高二上·江苏淮安·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，(1)求数列an(2)求Sn的最大值及相应的n【考点题型七】等差数列函绝对值的前n项和【例7】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn.已知a2(1)求an(2)当n为何值时，Sn【变式7-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求an(2)若cn=an，求cn【变式7-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知Sn是等差数列an的前n项和，且a7(1)求数列an的通项公式与前n项和S(2)若bn=an且数列bn的前n【变式7-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知等差数列an，前nn∈N∗(1)求数列an的通项公式a(2)设bn=9−an，求数列b【变式7-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知正项数列an的前n项和记为Sn，a1(1)求数列an(2)设bn=1+4Sn，数列bn的前n项和为Tn，定义x为不超过x的最大整数，例如0.1【考点题型八】恒成立问题【例8】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列an的前n项和Sn=n2+2nA．6 B．7 C．8 D．9【变式8-1】（23-24高二下·湖南·期中）已知an是正项数列，其前n项的和为Sn，且满足2Sn=an【变式8-2】（21-22高二下·北京·期中）已知等差数列an满足：a1=2(1)求数列an(2)记Sn为数列an的前n项和，求正整数n的范围，使得【变式8-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1(1)求数列an的通项公式a(2)设bn=an+22n(3)设数列cn的通项公式为cn=anan+t ，问:是否存在正整数【变式8-4】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项和Sn(1)求数列an(2)若不等式2n2−n−3<【考点题型九】等差数列中的其他问题【例题9】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，且Sn单调递增，若aA．0,53 B．0,107 C．【变式9-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列3n+1与数列4n−1，其中n