考研数学公式大全(考研,)

高等数学公式篇Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

•平方关系：cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

sinA2(a)+cosA2(a)=1tant=B/A

tanA2(a)+1=secA2(a)Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

cotA2(a)+1=cscA2(a)•倍角公式：

,积的关系：sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+cota)

sina=tana*cosacos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

cosa=cota*sinatan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

tana=sina*seca

cota=cosa*csca•三倍角公式：

seca=tana*cscasin(3a)=3sina-4sinA3(a)

csca=seca*cotacos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

・倒数关系：•半角公式：

tanacota=1sin(a/2)=±>/((1-cosa)/2)

sinacsca=1cos(a/2)=±^((1+cosa)/2)

cosaseca=1tan(a/2)=±A/((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

直角三角形ABC中，•降塞公式

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

余弦等于角A的邻边比斜边cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

正切等于对边比邻边，tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

•万能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

・三角函数恒等变形公式cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

•两角和与差的三角函数：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp•积化和差公式：

cos(a-p)=cosacosp+sina-sinpsinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

sin(a±p)=sinacosp±cosasinpcosa-sinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatanp)cosacosp=(1/2Xcos(a+p)+cos(a-p)]

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp)sinasinp=-(1/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

•三角和的三角函数：•和差化积公式：

sin(a+p+Y)=sinacospcosY+cosasinpcosY+cosacospsinY-sinasinpsina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

•sinysina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-|3)/2]

cos(a+p+Y)=cosacospcosY-cosasinpsinY-sinacospsinv-sinasinp-cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosycosa-cosP=-2sin[(a+P)/2]sin[(a-p)/2]

tan(a+P+Y)=(tana+tanp+tanY-tanatanptanY)/(1-tanatanp-tanptanY-t

anytana)•推导公式

tana+cota=2/sin2a

・辅助角公式：tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2acos(2n—a)=cosa

1-cos2a=2sinA2atan(2n—a)=~tana

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2cot(2TT—a)=—cota

•其他：公式六：

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n*3/n)+.......+sin[a+2n*(n-1)n/2±a及3n/2±a与a的：.角函数值之间的关系：

/n]=0sin(n/2+a)=cosa

cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+.......+cos[a+2n*(cos(n/2+a)=—sina

n-1)/n]=0以及tan(Ti/2+a)=—cota

sinA2(a)+sinA2(a-2n/3)+sinA2(a+2n/3)=3/2cot(n/2+a)=­tana

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=Osin(TT/2—a)=cosa

三角函数的角度换算cos(n/2—a)=sina

［编辑本段］tan(n/2—a)=cota

公式一：cot(n/2—a)=tana

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(3TT/2+。)=­cosa

sin(2krr+a)=sinacos(3n/2+a)=sina

cos(2E+a)=cosatan(3n/2+a)=—cota

tan(2kn+a)=tanacot(3n/24-a)=—tana

cot(2kir+a)=cotasin(3n/2—a)=—cosa

cos(3n/2—a)=—sina

公式二：tan(3n/2—a)=cota

设a为任意角，iT+a的：.角函数值与a的三角函数值之间的关系：cot(3TT/2—a)=tana

sin(n+a)=—sina(以上k£Z)

cos(n+a)=—cosa部分高等内容

tan(n+a)=tana［编辑本段］

cot(n+a)=cota•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=［eA(ix)-eA(-ix)］/(2i)cosx=［eA(ix)+e

公式三：tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

任意角aq-a的三角函数值之间的关系：泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=1-Fz/1!+zA2/2!+zA3/3!+zA4/4!

sin(—a)=—sina+...+zAn/n!+…

cos(-a)=cosa此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

tan(-a)=—tana•三角函数作为微分方程的解：

cot(—a)=—cota对于微分方程组y=-y";y=y"”，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

公式四：补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一双曲函数，

利用公式二和公式三可以得到Ti-a与a的三角函数值之间的关系：其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

sin(TT—a)=sina特殊三角函数值

cos(n—a)=­cosaaO'30'45'60'90'

tan(TT-a)=­tanasina01/2<2/2，3/21

cot(IT—a)=­cotacosa143/2\*2/21/20

tana0«3/31寸3None

公式五：cotaNone431、3/30

利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系：

sin(2n—a)=­sina

导数公式:一些初等函数:两

2

(rgx)'=secx(arcsinx)=/—

J1-.x2

(cfgx)'=-csc2X

1

(arccosx)r=——『

(secx)=secx-tgxVi

(cscx)'=-escx-ctgx1

(arctgx)-

(*')'=aIna1+x-

1

(logax)'(arcctgx)=------

+x2

基本积分表：个重要极限：

^tgxdx=-ln|cosx|+Cfdxr_2j》

r_=secxdx=tgx+C

班士Jsinx1

^ctgxdx=ln|sin+名曲正弦：lim------=1

J->0x

esc2xdx=-ctgx+C

附公用吐+姗皆弦:向

lim(l+-ye=2.718281828459045…

JsecS"♦tgxdx=secx+CX—>8X

jcscxdx=ln|cscx-以gx|+C

§hxex-e~x

Cdx1犯正切：而=jvsc产cgdx}-escx+C

—：----7=—arctg—+C

JQ+xa

,cirshx=ln(x+—+c

*输打工±ln(x严

2ashxdx=chx+C

pdx

J-22chxdx=shx+C

Ja-x2aa-xJ

cdx.工「=In(x+7x2±a2)+C

2-x2a

n

2>n—\

“=jsinn

"xdx=\cosxdx=——In2

n

0o~

_____Q2---------------

+Q~4----ln(x+)+(7

2

2,______

2222Q[22

JVx-adx-^y/x-a-----Inx+7x-a+C

2

T・x厂

/J/一犬dx=^-x+—arcsin—+C

2a

三角函数的有理式积分：

.2w1-u2x,2du

，，

sinx=------7COSX=------27u=tg6—,dx=------r

1+/1+W2l+〃2

三角函数公式:

­诱导公式：

、^数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tg«-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

•和差角公式：.和

sina+sin夕=2sin°cos―—―

sin(a土夕)=sinacos0±cosasin/3

22

cos(a±0)=cosacos+sinasinp

..nca+B.a-0

sina-sin夕=2cos—sin-

tg(a±p)=詈5

1+tga-tg

。々。a+/?a—p

cosa+cos/二2cos-cos--^―

ctgft±ctgaa+/7.a-f3

cosa-cosp-2sin---sin---

差化积公式:

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos?a-sin2asin3a=3sintz-4sin3^

ctg2a-lcos3a=4cos3a_3cosa

ctgla

2ctgatg3a=*gaTfa

%gal-3tg2a

tg2a=l-fg2a

弧微分公式：ds=+其中)，=tga

•半角公式:

a平均啊稔蠢玲:从M点到M，点,切线斜率的倾角

sin—=±cos—=±

222

△a

a,1-COS6Z1-cosasinaaM八将aKl4Ho*

tg—=±^l-----------=------------=------------c吆耳=士aA“、，"C"ZAVrV,-；7a+y2）3'

21+COS6Zsina1+cosa-cosasinacosa

直线：K=0;

b

•正弦定理：——=2R・余半径为〃的圆：K=—.

sinAsin6sinCa

弦定理:2=a2+b2-2abcosC

c定积分的近似计算:

矩形法：']7(x)b-a、

反三角函数性质：X----（z%+必+…+加）

n

7171a

arcsinx-----arccosxarctgx=--arcctgx

hb-aA、,

2梯形法:J/(x)z

a一

b»_

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式:抛物线法：]7(x)«丁。(%+北)+2(为+%+…+K-2)+

〃

aJ3

k=0定积分应用相关公式：

=uMv+nu"I、'+〃（鼠—l）“（"-2）y〃+…+〃(〃-1)…幅气川声铲)+…十^(,0

2!k\

水压力：F=pA

中值定理与导数应用：引力:为引力系数

拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f'^)(b-a)_i〃

柯西中值定理:‘⑸二’.)=半^函数的平均值5=——[f（x）dx

b-aJ

F(b)—F(a)F'延)

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定哪方根:严⑴山

曲率:空间解析几何和向量代数:

空间2点的距图：d=\M]M2\=4区-2)-+(%-噌元由敢徼泌冷及应用

向量在轴上的投影:Prj“耗=^^cos/，9是而与“轴的夹角。36

.du,du.du

____金被分：dz=—d九+—dydu——axH---ayH---

Sxdxdy&

Prju(q+4)=PrM+Pr期/

=同•同cose=a、么++a力一,是一个数量，全微分的近似计算：Azdz=。(x,y)Ax+y)Ay

a-bIIIIxxyav)hvc4fv(x,

。也+。也+4何元复合函数的求导法:

两向量之间的夹角:cos。=-

+a：+a；•击/+行册C)#(f)]dzdudzdv

dtdtdvdt

k_dzdudzdv

，同=I如Wsina例：线速度:Z?瞰户，心,刈-

c=axh=axayadudxdvdx

bbb当〃=u(xy),v=v(x,y)时，

xy9

.du.du.d-dy

ayadu-——ax-\dy

IXdxdy

向量的混合积:[拓l]=(2xB)V=么b、,bcoscr,a为MU/角T3时,

攵的求导公式:

Xc”c

代表平行六面体的体积。隐函数F(x,y)=O,

dx~E

隐函数F(x,y,z)=O,包__乙dz

dxF.dy

平面的方程:

1、点法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中方={A,8,C}，M)(Xo，yo，Zo)

2、一般方程：Ax+8y+Cz+Q=0dF

F(x,y,w,v)=O」二

隐函数方程组:3(F,G)du

3、截距世方程:2+上+工=1G(x,y,w,v)=0S(w,v)dG

abc

du

平面外任意一点到该平面的距离：4=辰。；叱.+翕2+9|

a(F,G)dv1e(F,G)

5(%,v)dxJd(u,x)

x=^mt1d(F,G)

空间直线的方程:土a=匕比

y^^+ntj3(“,y)

mn

z=z0+pt

二次曲面:微分法在几何上的应用：

222

1、椭球面:二+=+1

ab"

抛物面:二+q=

2、Z,(p,q同号)

2P2q

3、双曲面:

222

单叶双曲面-云=1

222

双叶双曲面:二-'+0=1(马鞍面)

a~b-c

X=(p(t){x,y)dxdy-{rcos0,rsm9)rdrd0

%-Xo二y-Vo卧-Zo

空间曲线<y=以f)在点M(Xo，yo，Zo)处的切线方程：，，、，,、，,、

=八9优)少。°)

〔'一㈠曲面z=/(x,y)的面积Adxdy

在点M处的法平面方程：”%)(x-/)+/(幻"-%)+〃(%)([-Z0)=0

鲁则切向量1J}Jw(x，y)db

若空间曲线方程为:-M、

评面聊颂1;邛区y=­：

而JJp(x,y)dcrM

曲面/(尤,y,z)=0上一点Af(x0,y0,z0),则:D

1、过此点的法向量：方=｛工(工0，〉0,10)，4(》(),凡,用而二薄费嘴|藕物惯量：对于x轴/、.=JJy20(x,y)db,

2、过此点的切平面方程：工(/，加之心-加+胃筛哪例初喝萍砂融飘凝方融⑷您〉。/

3、过此点的法线方程:一口_=_匕%_=；%T7)xd(7_yj|p(x,y)yda

工(Xo，yo，Zo)Fv(Xo，为，Zo人粗3

D(x2+y2+a2)2D2222

方向导数与梯度:(x+y+a)

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向增露嘉盛骤+知”

其中夕为x轴到方向/的转角。x=rcos^

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：812(叶(兀>)=图？夕事了y-rsin^,y,z)dxdydz=jjjF(r,6>

dxdyz=z

它与方向导数的关系是：2=grad/(x,y)・。，其匚限4bo诉阮@励可〃rc的防响i超的)

dl「

x=rsincos

单位向量。

球面坐标，y=rsin^sin^,dv-rd(p-rsm(p-dO-dr

.,•■^■是8国4/(苍丁)在/上的投影。

z=rcos(p

dl

Inn

y,z)dxdydz=sin(pdrd(pdO=Jd。j

多元函数的极值及其求法:

Coo

询go，yo)=〃/，％)=。令：九(/。0)=4蜃机,加Z吉,jj强航^o)yG-L“卜时

AC-B2>0时『<0，(/，打)譬需

转动惯量：I=jjj(y2+z2)/xlv,

4>0,(乙,为)为极小值x=JU，+3)0

贝1乂4。一32<0时，无极值cQ

AC-1=0吐不确定

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：

设/Xx,y)在L上连续，L的参数方程为：[、=""),

重积分及其应用:(a<t

y=必。

P____________

J/(x,y)ds=⑴出(a<£)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为?=/),则：

(7=*)

P

Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy=j{P[(p(t),i//(t)](pXt)+。[夕(f),〃(/)]/«)}dt

La

两类曲线积分之间的关系:JPdx+Qdy=pFcosa+geos[3)ds,其中谢夕分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式:Jj(詈■-^-)dxdy=JPdx+Qdy格林公式：J，(篁^-^-)dxdy-jPdx+Qdy

当P=-y,Q=x,即:①■一旦'=2时，得到。的面积：A=[\dxdy=—<\xdy-ydx

dxdy-2/''

・平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且孚二色。注意奇点，如(0,0),应

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积：

在丝=无时，Pdx+Qfy才是二元函数“(x,y)的全微分，其中：

dx8y

*,y)

u(x,y)=jP(x,y)dx+Q{x,y)dy,通常设/=凡=0。

“0，%)

曲面积分:

对面积的曲面积分:JJ/(x,y,z)ds=y,z(x,y)]Ql+z；(x,y)+z；(x,y)dxdy

x%

对坐标的曲面积分:J]P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

z

y,z)dxdy=+y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;

工D“

j|p(x,y,z)dydz-±jj/3[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号;

]]Q(X,y,z)dzdx=士y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

2为

两类曲面积分之间的关系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=||(尸cosa+Qcosp+Rcos/)Ji

2z

高斯公式:

1、正项级数的审敛法—根植审敛法（柯西判别法）

fff(—4-+—)^Zv=(^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=妹尸cosa+Q序手/蚱大微筋喷^

Q&②dy&#设：溪limM，则夕>1时，级数发散

H—>00

高斯公式的物理意义——通量与散度:0=1时,不确定

散度：divv=—+—+—，即：单位体积内笳比里翦林质量，若div”0,则为消失…

dxdydz「<1时，级数收敛

通量:J。•nds=Jj(Pcosa+2cos/?锄?cp邛i加器,贝小夕>1时，级数发散

£2=1时，不确定

因此，高斯公式又可写成:JJJdivXdy=抒4〃的、定义法.

s“=〃]+M,+…+"“;lims“存在，则收敛；否则发散。

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：--

9tt,d品R一dQ益.,"叱,（,d莅P一d至R.族,,小（,菽8Q一dP诙.,",办麦微,麟_,绢_鞋,-…

（或—Wj+〃2-〃3+…，〃八〉0）的

dydzdzdxdxdy岁如巢斜昔缪।满足那么级数收敛且其和st

ddd

上式左端又可写成:“=1

dxdydzzdxdydz

PQRP绝对M敛与巍收敛：

dR_a。dPdR5QdP

空间曲线积分与路径无关的条件:在7痂计纵三年'"+…'其中％为任意实数；

dydz

⑵同+向+同+…+|+…

ik

dd如果（2）收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数；

旋度：rotA=

~dxdz如果（2）发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

PR

向量场Z沿有向闭曲线「的环流量：

r1

级数收敛;

常数项级数：

P<1时发散

P级数

等比数歹1」：1+4+才+…+01=三np>1时收敛

1一4

等差数列J+2+3+…+〃=四3寨级数:

2

调和级数：1+l+!+…+工是发散的

23n

级数审敛法:

/100a00

八x|<l时，收敛于;~/(o=4+yA.sin(H(y?+(pn)=-^-+Y(atlcosox+bnsinn

l+x+x~+x+…+X+3{1—Xn=l2〃=[

时，发散其中，劭=44，％=4万11夕“，bnAncos(pn,cot=x。

对于级数⑶%++•••+%x"+…，如果诩建较鹿原茶般敛§山闻卒是在全sin〃x,cos〃x…任意两，

l\x\<R时收敛上的积分=0。

数轴上都收敛，则必存在R,使(|x|〉R时发散,

$邺重曾中敛半径。

\忖=R时不定

as

f(x)=—+(ancosnx+bnsinnx\周期=24

2n=\p手0时，R=一

1，p

求收敛半径的方法：设lim4包=夕，其中a”，a“+i是(3的是攀J硼)泮邳翊R，羯01,2…)

28a„其中v:、0=+8时，R=0

bn=—^f(x)^mnxdx(n=1,2,3…)

、一点

乃2

函数展开成幕级数:1+门+.111工(相加