221函数的概念（3知识点6题型巩固训练）

2.2.1函数的概念课程标准学习目标1.理解函数是描述变量之间的相互关系的数学模型，理解集合与对应语言刻画的函数概念2.掌握常见的三种函数的表示方法，会根据不同的需要选择恰当的方法(如列表法、解析法图像法)表示函数3.了解分段函数并能进行简单应用。1.掌握函数解析式的几种求法，理解并能表示分段函数2.求分段函数或复合函数的函数值;判断两个函数是否为同一函数知识点01函数的概念函数两集合A、B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A【即学即练1】（2425高一上·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的定义一一判定选项即可.【详解】根据函数的定义可知，E中的每一个元素在F中都有唯一的元素与之对应，显然A、B、C符合题意，而D选项中，E中的元素b在F中有两个元素对应，不符合函数的定义.故选：D【即学即练2】（2425高一上·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（

）A．A=[0,1]，B=[0,1]B．A=1,2,3,4，C．A=R，B=R，fD．A=Z，B=Z，f【答案】B【分析】利用函数的定义求解即可.【详解】对于A，x2+y2=1，一个x对于B，集合A中每一个x在集合B中都有唯一对应的y，符合函数的定义，故B正确；对于C，y=1x-2中，x≠2，而A=R，故集合A对于D，y=2x-1，所以x≥12，集合A故选：B知识点02函数的有关概念1.函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域．3.函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．【即学即练3】（2324高一下·广东韶关·阶段练习）函数fx=1x【答案】-∞【分析】根据二次根式有意义及分母不为0列不等式计算即可.【详解】由题意知，x2-4≠01-x所以函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,1].故答案为：(-∞,-2)∪(-2,1].【即学即练4】（2324高一上·陕西榆林·阶段练习）函数fx=xA．-2,2 B．-2,2 C．-2,2【答案】A【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到不等式组，解得即可.【详解】对于函数fx=x+22-所以函数fx=x故选：A知识点03同一个函数如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.【即学即练5】（2425高一上·山东济宁·阶段练习）在下列函数中，与函数y=x是同一个函数的是（A．y=x2 B．y=3x【答案】D【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解.【详解】解：对于A，y=x2=x（x对于B，y=3x3=x（对于C，y=x2x=x（对于D，y=x2=x（x故选：D．【即学即练6】（2324高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（

）.A．f(xB．f(xC．f(xD．f(x【答案】D【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得.【详解】对于A，函数g(x)的值域是R，而函数f对于B，函数f(x)中，x-1≥0x+1≥0函数g(x)中，x2-1≥0，解得x≤-1或x对于C，函数f(x)的值域为[0,+∞)，函数g(x对于D，f(x)=|3-x|+1=x-2,故选：D难点：分类讨论思想的运用示例1：（2425高一上·广东梅州·开学考试）已知函数f(x)=mx2+A．0<m≤4 B．0≤m<4 C．【答案】D【分析】函数f(x)=mx2+mx+1的定义域是R，等价于不等式mx2【详解】因为函数f(x)=所以不等式mx2+mx当m=0时，1>0，对任意x∈R当m≠0时，m>0Δ≤0，即m综上，实数m的取值范围是0≤m故选：D【题型1：函数的概念】例1．（2024高三·全国·专题练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义知，定义域内的任意的自变量x，只能有唯一的y与x对应，逐项判定，即可求解.【详解】根据函数的定义知，对于定义域内的任意的自变量x，只能有唯一的y与x对应，选项ABD中，每一个x都有唯一的y与x对应，满足函数的定义，可以表示函数；选项C中，出现一个x都有两个y与x对应，不满足函数的定义，不可以表示函数.故选：C.变式1．（2324高一上·广东韶关·阶段练习）设M=1，2，3,N=e,g,hA． B．C． D．【答案】C【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应.【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误;对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误;对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确;对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,故选:C.变式2．（2324高一上·广东佛山·期末）给定数集A=R,B=(0,+∞),x,A．f:A→C．f:A→【答案】B【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断.【详解】A选项，∀x∈R，当x=0时，y=B选项，∀x∈0,+∞，存在唯一确定的y∈RCD选项，对于∀y∈0,+∞，不妨设y=1，此时故不满足唯一确定的x与其对应，不满足要求，CD错误.故选：B变式3．（多选）（2425高一上·全国·课堂例题）下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是（

）A．A=-1,0,1，B=0,1B．A=0,1，B=-1,0,1C．A=Z，B=Q，f：AD．A=R，B=x|x≥0【答案】AD【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可【详解】对于A，因为(-1)2所以集合A中的任意元素都在集合B中对应着唯一的函数值，所以A正确，对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件，所以B错误，对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求，所以C错误，对于D，因为任意实数的绝对值都是非负的，且是唯一的，所以集合A中的任意元素都在集合B中对应着唯一的函数值，所以D正确，故选：AD变式4．（多选）（2324高一上·浙江湖州·阶段练习）下列对应关系f：A→B是集合A到集合B的函数关系的是（A．A={x|-2≤x≤2}，B．A=R，B=y|C．A=Z，B=Z，fD．A=x|x>0，【答案】AC【分析】根据函数的概念，结合对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，集合A={x|-2≤x≤2}所以f:对于B中，集合A=R,B=y|y>0，可得集合A对于C中，集合A=Z，B=Z，可得所以f:对于D中，集合A=x|x>0，B=R，可得集合A故选：AC.变式5．（2425高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是（填序号）．①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．【答案】②【分析】根据函数的定义，即可求解.【详解】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确；若函数y=0,定义域为R，但值域为0，故②定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确，由于对任意的x，有唯一的y与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确，故答案为：②变式6．（2324高一上·云南曲靖·期中）下列关于函数y=fx①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④fa表示当x=a【答案】①④【分析】根据函数的知识确定正确答案.【详解】对于函数y=y是x的函数，①正确，②错误.对于不同的x，y可能相同，③错误.fa是一个常数，④正确故答案为：①④【题型2：函数求值】例2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，∀a，b∈R，均满足fa+b=A．0 B．-9 C．-12 D【答案】D【分析】先赋值a=b=0求出f0，接着赋值a=1，b=-1求出f1，再赋值a=【详解】令a=b=0，得f令a=1，b=-1，得又f-1=3，所以f1=-4令a=1，b=2，得故选：D.变式1．（2324高一上·新疆·期中）已知函数fx=12xA．13 B．-1 C．1 D【答案】C【分析】代入解析式求值即可.【详解】由fx=1故选：C.变式2．（2324高一上·湖北孝感·期中）已知函数y=fx满足fx+2=2fA．16 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】分别取x=4,x=2代入fx+2=2f【详解】因为函数y=fx所以有f6=2f又f6=3f解得f4=4，则故选：A．变式3．（2324高一上·浙江杭州·期中）已知函数f(x)=x3+aA．2025 B．2017 C．-2029 D．【答案】C【分析】根据题意可得fx+f-【详解】因为fx则f2023+f-2023故选：C.变式4．（2324高二下·上海·期末）已知函数fx=2x2+【答案】21【分析】代入求值即可．【详解】由fx=2x故答案为：21.变式5．（2324高三上·湖北·期中）对于任意的实数x、y，函数f(x)满足关系式f(x【答案】0【分析】先令x=y，可得fx【详解】依题意，取x=y，有f(2x取x=2，则故答案为：0.变式6．（2324高一上·云南昆明·期中）已知函数f(1)求f2(2)求证：fx(3)求2f【答案】(1)5(2)证明见解析(3)10115【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解；（2）根据函数解析式列式运算可得证；（3）由（2）的结论，组合运算即可得解.【详解】（1）因为fx所以f2（2）证明：fx（3）由（2）可知，fx+f所以2==5×2023=10115．【题型3：同一个函数的判断】例3．（2324高一上·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数fx，gx表示同一函数的是（A．fx=x-2，gC．fx=x2，gx【答案】D【分析】根据定义域及对应关系判断是否是同一函数.【详解】选项A，fx=x选项B，fx=x选项C，fx=x选项D，fx=x=x故选:D．变式1．（2324高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A．fx=x2，gxC．fx=x2-4x【答案】B【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.【详解】对于A，fx和gx定义域均为R，故fx和gx定义域相同，对应关系不同，fx和g对于B，fx和gx定义域均为R，故fx和gx定义域相同，对应关系相同，fx和g对于C，fx定义域为x|x≠-2，故fx和gx定义域不相同，fx和g对于D，fx定义域为R，gx定义域为故fx和gx定义域不相同，fx和g故选：B.变式2．（1819高一上·湖南益阳·阶段练习）下列函数中与函数y=x相等的函数是（A．y=x2 B．y=3x【答案】B【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可.【详解】对A，y=x的定义域为R，而y=x2对B，y=3x3=x，其定义域为对C，y=x2x的定义域为x|x≠0对D，y=x2=x，与故选：B.变式3．（2324高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（

）A．y=1B．y=|xC．y=xD．y=x【答案】C【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由函数y=1x函数y=x+1x两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意；对于B中，由函数y=|x+1|+|其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意；对于C中，函数y=x与所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意；对于D中，函数y=x的定义域为R，函数y=两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意.故选：C.变式4．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（

）①y1=x+3x-5x+3，y2=x-5；②A．①② B．②③ C．③ D．③④【答案】C【分析】根据题意，结合同一函数的概念，逐个判定，即可求解.【详解】对于①中，函数y1=x则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于②中，函数fx=x对于③中，函数hx=x可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于④中，函数f1x=可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数．综上，是同一函数的只有③．故选：C．变式5．（多选）（2324高一上·山西吕梁·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．函数y=xxB．若fx是一次函数，且ffC．函数fx的图象与y轴最多D．函数y=1x【答案】ABD【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数f(x)的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断【详解】A：函数y=xx的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，函数y所以这两个函数不表示同一个函数，故A符合题意；B：设f(x)=又f(f(x))=16x+5所以f(x)=4x+1C：由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点，故C不符合题意；D：函数y=1x+1在(-∞,-1),(-1,+∞)故选：ABD变式6．（多选）（2425高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）下列各组函数是同一个函数的是（

）A．fx=B．fx=C．fx=D．fx=【答案】AC【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可.【详解】对于选项A：fx=x2-2x定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；对于选项B：fx=-gx=x定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误；对于选项C：fx=xx的定义域x|定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；对于选项D：fx=x的定义域为R，g定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误.故选：AC.变式7．（多选）（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（

）A．f(xB．f(xC．f(xD．f(x【答案】AC【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数.【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；对B：因为函数f(x)的定义域为-∞,0∪0,+∞，函数g(x)对C：函数f(x)与g(x对D：函数f(x)=x+1⋅x-1的定义域是：故选：AC变式8．（多选）（2425高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（

）A．y1=(x+3)(x-C．f(x)=|x|，g(【答案】BD【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同课判断.【详解】选项A：y1=(x+3)(选项B：y1=x+1x-1选项C：两个函数的定义域都是R，f(选项D：函数f1(x)=2x-故选：BD【方法技巧与总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数【题型4：函数的定义域】例4．（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数fx=-x2A．-1,4 B．C．-4,1 D．【答案】A【分析】根据题意求出g(x)的解析式，由二次根式内部的代数式大于等于0即可求解【详解】由题可得：g(x)=f(-则g(x)故选：A变式1．（2425高一上·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数y=x3A．x|-3≤x≤3 B．C．x|-3<x<3 D．【答案】C【分析】根据题意知3-x>0【详解】根据题意，要使函数有意义，需满足3-x>0，即x<3所以函数的定义域为x|-3<故选：C变式2．（2223高一上·全国·期中）已知函数f(x)的定义域是[-1,3]，则函数gA．-3,5 B．-3,0∪0,5 C．【答案】C【分析】整体代入法求函数y=f2x-1【详解】因为函数fx的定义域是-1,3，由-1≤2所以函数y=f2要使gx=f2x所以gx=f故选：C.变式3．（2223高一上·湖北·期中）若函数f(x-1)的定义域是[-1,3]，则函数A．[1,5] B．[0,4] C．[1,25] D．[0,16]【答案】D【分析】由已知求得x-1的取值范围，此范围也即为f(x-【详解】函数f(x-1)的定义域是[-1,3]，-1≤故对于函数f(x-2)，有从而函数f(x-故选：D.变式4．（2223高二下·山东滨州·期中）已知函数f2x-3的定义域为1,3，则【答案】-【分析】由题意，可得-1≤2x-3<3，即fx的定义域为【详解】因为函数f2x-3的定义域为所以-1≤2x-3<3，即所以-1≤1-3x<3所以函数f1-3x的定义域为故答案为：-2变式5．（2324高一上·江西赣州·阶段练习）若函数fx的定义域是2,5，则函数y=f【答案】3,4【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出f2x-3【详解】由题意得函数fx的定义域是2,5令t=2x-3，所以2≤t由x2-2x-所以函数y=f2故答案为：(3,4].变式6．（2324高一上·福建福州·阶段练习）已知函数y=x2-3x-4的定义域是A．0,4 B．32,4 C．32【答案】B【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】结合题意：函数y所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为x=所以f32=-由图可知,要使函数y=x2-3则m的取值范围是32故选：B.变式7．（2023高一·江苏·专题练习）函数f(x)=(a-2)x【答案】-【分析】根据函数值域，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】当a=2时，f当a≠2时，因为该函数的定义域为全体实数，值域为-∞所以a-2<0Δ故答案为：-2【方法技巧与总结】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)零次幂的底数不能为零；(6)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【题型5：函数解析式的求法】例5．（1617高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数f(x)=x2A．x2+x+2 B．x2+1【答案】D【分析】由函数f(x)的解析式，用x+1代换x【详解】因为函数f(x故选：D.变式1．（多选）（2425高一上·全国·课后作业）（多选）设fx=1+A．f-x=-fC．f-1x【答案】BD【分析】代入求解f1x【详解】fx=1+x21-所以f1x=-fx，f故选：BD变式2．（2425高一上·上海·随堂练习）已知y=fx是二次函数，且f0=1，f【答案】x【分析】由题意设fx=ax【详解】因为f0=1，y=又因为fx所以ax所以2a=2,a故答案为：x2变式3．（2324高一上·安徽淮北·期中）若函数fx-1x=x2+【答案】±【分析】先求出函数解析式，进而求解结论.【详解】∵函数fx-1x=∴f∴f(a)=8，可得故答案为：±6变式4．（2425高一上·上海·随堂练习）设fx=2x+3，gx=【答案】2【分析】直接由fx的定义即可代入x-【详解】由题意gx故答案为：2x变式5．（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数f(1)求函数fx(2)求关于x的不等式fx-2ax>【答案】(1)f(2)答案见解析.【分析】（1）令t=x+1，则f（2）将不等式转化为(x-a)(2x+1)>0【详解】（1）由题意，函数f(令t=则f(所以f(（2）由（1）知f(即不等式转化为2x则(x当a>-12时，不等式的解集为{当a<-12时，不等式的解集为{当a=-12综上所述，当a>-12时，不等式的解集为{当a<-12时，不等式的解集为{当a=-12变式6．（2425高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数fx满足fx=f-4-x(1)求fx(2)若x>0，求gx【答案】(1)f(2)2-【分析】（1）设出fx的解析式，然后利用待定系数法求得正确答案（2）利用基本不等式求得gx的最大值【详解】（1）设fx依题意f0=c由于fx=f整理得4a-b所以fx设方程fx=a则x1-x解得a=1，则b=4，所以（2）若x>0，则=4-2当且仅当x=3变式7．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数fx满足fx+1=fx-【答案】f【分析】设f(x)=a【详解】设二次函数f(因为f0=c由f(x+1)=得ax所以2a+b故f(变式8．（2324高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知fx是二次函数，且满足f0=1，f（2）已知fx+2f【答案】（1）fx=x2-【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即得.（2）根据给定条件，利用方程法求解即得.【详解】（1）由fx是二次函数，设f由f0=1，得c=1，由f化简并整理得2a-2x+所以fx（2）用-x替换fx+2f-由fx+2f所以fx【方法技巧与总结】函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．【题型6：新定义习题】例6．（2023高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合M=-1,1,2,4，N=1,2,4,16，给出下列四个对应法则：①y=1x，②y=x+1，③A．①③ B．①② C．③④ D．②④【答案】C【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可．【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，须满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应，对于①，y=1x，当x=2时，对于②，y=x+1，当x=-1时，对于③，y=x，当x=1时，y=1∈N当x=2时，y=2∈N，当x=4时，对于④，y=x2，当x当x=2时，y=4∈N，当x=4时，故选：C.变式1．（1819高一上·上海徐汇·期末）如果函数fx在其定义域内存在实数x0，使得fx0+1=fx0+f1成立，则称函数fxA．12,32 B．32,3【答案】B【分析】根据条件将问题转化为方程a2x0【详解】解：∵∴∵函数f(x)=lga∴存在实数x0，使lg∴方程a2x0即a=3(2∵x0∈R，∴a∴a的取值范围为：3故选B【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．变式2．（多选）（2021高一·全国·单元测试）对∀x∈R，x表示不超过x的最大整数，十八世纪，y=x被数学王子高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“A．∃B．∃C．∀x、D．若∃t∈R，使得t3=1,t4=2,【答案】CD【分析】分x∈Z和x∉Z两种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用取整函数的基本性质可判断C【详解】解：对于AB选项，当x∈Z时，当x∉Z时，设k<x<综上，[x]≤x对于C选项，由上可知，[x]≤x<[x若0≤x+y若1≤x+y综上，∀x、y∈R对于D选项，由题意可得1≤t3<2∵64=32，若n≥6，则不存在只有当n≤5时，存在t∈53故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合不等式的性质，利用取整函数的定义，依次判断各选项求解.变式3．（1920高一上·山东潍坊·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a-1,a+1]，都有y∈[b-1,b+1]，则称这个函数是点A【答案】-【分析】对m分成m≤-1,-1<m<1,m≥1三种情况，结合∀x【详解】函数y=-12x2开口向下，对称轴为y轴.由于B在函数y=-12x2的图像上，所以n当m+1≤0，即m≤-1时，函数y=-12x2在[m-1,当m-1<0<m+1，即-1<m<1时，函数y=-12x点m-1≥0，即m≥1时，函数y=-12x2在[m-综上所述，m的取值范围是-1故答案为-【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式的解法，属于中档题.变式4．（1819高一上·上海徐汇·期末）已知x>0，定义fx表示不小于x的最小整数，若f3x+f【答案】4【分析】由题意可得6<3x+f(x【详解】解：∵f∴∴6<3x∴6-3当0<x⩽1时，f当x⩾2时，f(当1<x<2时，f(x)=2，∴故答案为43【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．变式5．（2021高一上·江苏无锡·阶段练习）对于函数fx，若fx0=x0，则称x0为fx的“不动点”，若ffx0=x0，则称x0为fx的“稳定点”，函数fx（1）求函数fx=3x-8的“不动点”（2）求证：A⊆（3）若fx=ax2【答案】（1）“不动点”为4，“稳定点”为4；（2）证明见解析；（3）-【解析】（1）由fx=3x-8=x即可求出“不动点”，求方程ff（2）若x∈A，有fx=x这是不动点的定义，此时得出f（3）先求出A≠∅即fx存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”【详解】（1）由fx=3x由ffx=x有所以函数fx=3x-8的“不动点”为4，“（2）证明：若A=∅，则A⊆若A≠∅，设t∈A，有f所以t∈B，故综上，A⊆（3）因为A≠∅，所以方程ax2所以a=0或a≠0Δ又由ffx=x得：由（1）知A⊆B，故方程*左边含有因式所以ax2-所以方程a2x2当方程a2x2+ax-a当方程a2x2+ax则有a2x2=ax+a将x=-12a代入方程ax综上：a的取值范围是-1【点睛】关键点睛：作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求fx=x；求稳定点，就去求ff变式6．（1920高一上·江西抚州·期中）若f(x)为定义域D上的单调函数,且存在区间a,b⊆D（其中a<b),使得当x∈a,b1函数f(x)=x是否为“优美函数”？若是,2若f(x)=x+t为“3若函数f(x)=m-x+3为【答案】（1）f(x)=x是（2）-1（3）-【分析】（1）由已知条件中“优美函数”的定义，说明函数f(x)=x在区间a,b的值域是（2）由题意知，函数fx=x+t为“优美函数”（3）函数f(x)=m-x+3为“优美函数”，可得m-a【详解】解：1因为函数fx=x在区间a∴a∵a∴a所以fx=x是“优美函数”,此时a2因为函数fx=要使fx在定义域区间上存在a,b,使得f则只需x+t由x+t=x得x2-x∴1+4t解得t∈3因为函数f(x)=由题意得m-得b+3∴b-可得b+3将上式代入方程组得m-a,b是方程令x+3=s,s∴解得m∈【点睛】本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键，其中将方程组化归为二次方程是第（3）问的关键，本题难度较大．变式7．（1920高一上·北京海淀·期中）已知x为实数，用x表示不超过x的最大整数.（1）若函数fx=x（2）若函数fx=x（3）若存在m∈R且m∉Z，使得fm=fm，则称函数fx是Ω【答案】（1）1，2；（2）{0，1}；（3）a>0且∀k∈【分析】（1）根据取整函数的定义直接计算；（2）考虑x+12与x2（3）对a进行分类讨论：a>0,a<0,a=0，利用单调性证明fm=fm在a=0,【详解】（1）f(1.2)=1,f(1.2)=2；（2）因为[x+12]=[x2]或[x所以若函数fx=x+1（3）当函数f（x）=x+ax是Ω若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．若a＜0，则fx所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，此时不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时f（x）=x+ax不是Ω当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+am=[m]+am，所以有a=m[m]，其中当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，当m＜0时，[m]＜0，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，记k=[m]，综上，我们可以得到：a＞0且∀k∈N•，a≠k2且a≠k（k+1）．【点睛】本题考查新定义背景下的取整函数问题，主要考查学生的运算和推理能力，难度较难.取整函数是一个比较常考的一个函数，它实际上可以看做是一个分段函数，其函数图象的每一段都是平行于x轴的.一、单选题1．（2324高一上·安徽淮北·期中）函数f(x)=A．[3,+∞) B．(-∞,-1)∪(-1,3] C．(-1,+∞) D．[-3,-1)∪(-1,+∞)【答案】A【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得.【详解】函数f(x)=x-所以原函数的定义域为[3,+∞).故选：A2．（2324高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数f(x)=2x-4，若fA．2 B．-2 C．±2 D．【答案】C【分析】根据给定的函数，代入解方程即得.【详解】函数f(x)=2x-4，由f(2所以a的值等于±2.故选：C3．（2425高一上·上海·随堂练习）函数y=2--x2+4A．-2,2 B．1,2 C．0,2 D．【答案】C【分析】由x∈0,4，得-【详解】由x∈0,4，得所以y=2-故选：C.4．（2324高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．y=|x|,    C．y=1,y=【答案】A【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断.【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A.5．（2223高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】A【分析】根据题意，求出y=-x【详解】y=-x2+4x故选：A.6．（2526高一上·全国·课前预习）已知集合M=-1,1,2,4，N=1,2,4，给出下列四个对应关系，其中能构成从MA．y=x2 B．y=x+1【答案】D【分析】根据函数定义判断.【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数x，通过对应关系在N中都有唯一的数y与之对应.A选项中，当x=4时，y=4B选项中，当x=-1时，y=-1+1=0∉NC选项中，当x=-1时，y=-1-1=-2∉ND选项中，当x=±1时，y=x=1∈N，当x=2时，y=x=2∈故选：D.7．（2425高一上·上海·随堂练习）据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车的存车费是每辆一次3元，普通车的存车费是每辆一次2元．若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（

）A．y=x+8000B．y=x+12000C．y=-x+8000D．y=-x+12000【答案】D【分析】根据普通车存车数为x辆次，则变速车存车数为400-x【详解】根据题意可知，存车总收入y（元）与x的函数关系式是y=2x+4000-x故选：D.8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=ax2+2axA．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．1,+∞【答案】B【分析】转化为不等式ax2+2ax+1≥0对任意的x∈R恒【详解】由题意，不等式ax2+2ax当a=0时，1≥0恒成立，即a当a≠0时，则a>0Δ=4综上，a的取值范围是0,1．故选：B二、多选题9．（2324高一上·浙江·期中）若函数y=x2-2x-3的定义域为A．12 B．1 C．32 D【答案】BCD【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【详解】由y=x2当x=1时，函数取得最小值为-x=0或2时，函数值为-因为函数y=x2-2所以1≤t实数t的可能取值为1，32，故选：BCD.10．（2324高一上·湖北·期中）下列命题为真命题的是（

）A．∃n∈Z，B．∀a∈R，二次函数y=x2C．“a>b”是“aD．fx=x【答案】BC【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，当n是整数时，n2+B选项，二次函数y=x2+a的对称轴为C选项，当ac2>所以“a>b”是“ac2>D选项，fx的定义域是R，gx的定义域是所以不是同一函数，故为假命题.故选：BC11．（2324高一上·浙江·期中）已知函数fx是一次函数，满足ffx=4xA．fx=2xC．fx=2x【答案】AB【分析】设fx=kx+b，则由ff【详解】由题意设fx因为ff所以kf(即k2所以k2=4kb+b所以fx=2x故选：AB三、填空题12．（2324高一上·广东佛山·期中）已知函数fx-1=-x【答案】f【分析】利用换元法求函数解析式即可.【详解】函数fx设t=x-1，则所以ft=-t则fx故答案为：fx13．（2324高一上·河南开封·期末）已知函数fx=x-1x【答案】[-1,0)∪[1,+∞)（答案不唯一）【分析】解分式不等式得到x范围，写出符合题意的定义域即可.【详解】令x-1x≥0，解得则f(x)故答案为：[-1,0)∪[1,+∞)（答案不唯一）.14．（2223高一上·贵州贵阳·阶段练习）若函数y=ax2+4x+1【答案】0,4【分析】对a进行分类讨论，结合判别式求得a的取值范围.【详解】当a<0时，函数y则函数y=ax2当a=0时，y定义域是x|x≥-1当a>0时，函数y=a则a>0Δ=16-4a综上所述，a的取值范围是0,4.故答案为：0,4四、解答题15．（2223高一上·