专题06 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（考题猜想真题必刷14种题型）（解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题06函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性一．函数单调性的判断与证明（4题）1．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）下列说法正确的是（

）A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数【答案】BC【解析】对A：如，满足，但不是R上的增函数，所以A错误；对B：若函数在R上为减函数，则对于任意且，则定成立，则若，函数在R上不是减函数，故B正确；对C：若定义在R上的函数在区间上时增函数，在上也是增函数，则满足对于任意且，则定成立，则函数在R上是增函数，故C正确；对D：设函数是定义在R上的函数，且在区间上是增函数，在区间上也是增函数，而但，不符合增函数的定义，所以在R上不是增函数，故D错误；故选：BC．2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是．【答案】【解析】画出函数的图象，如下：故单调递减区间为.3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数(1)当时，判断的单调性并证明；(2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，证明见解析；(2)【解析】（1）在上单调递增，证明如下：任取且，因为，所以所以，即，所以在上单调递增；（2）因为是的充分条件，所以若，则为真，即在恒成立，所以在恒成立；由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增，所以，即4．（23-24高一上·江苏南京·期中）设函数(1)利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增：(2)当时，求函数的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：任取、，且，则，因为，所以，，，，故．所以在单调递增．（2），当且仅当，即当时取等号，所以最大值为．二．已知函数的单调性求参数（8题）1．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】开口向上，对称轴为，要想在区间上为单调增函数，则.故选：B2．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数在是单调增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，在R上单调递增，满足题意；当时，函数的对称轴为，由题意得，，解得，综上，.故选：C.3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由任意，都有，知在单调递减，要使在单调递减，则或，即或.故选：A.4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）“”是“函数是定义在上的增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若函数是定义在上的增函数，则，即，解得”，故“”是“函数是定义在上的增函数”的必要不充分条件，故选：B5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，为定义在R上的减函数，则要满足，解得故选：B.6．（23-24高一上·江苏苏州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】绘制出函数的图象，因为在上单调递增，由图可知在上单调递增.所以实数的取值范围是：.故选：D.7．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是．【答案】【解析】由题意得，，当时，，不符合题意；当时，，由，当时，开口向下，对称轴为，则在单调递增，在单调递减，由在单调递减得，，解得32≤a≤2当时，开口向上，对称轴为，则在单调递增，不存在单调递减区间；当时，，由，由，只需研究在区间的单调性，当时，开口向下，对称轴为，则在单调递增，在单调递减，则在单调递减恒成立.综上所述，a的取值范围是.故答案为：.8．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设是定义在上的函数，且对任意实数，有.(1)求函数的解析式；(2)若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，令，则，则，所以.（2）由，设，当，即时，恒成立，此时，对称轴为，则，即，所以；当，即或时，此时有或，解得或，所以或.综上所述，实数的取值范围为.三．已知函数的最值求参数（4题）1．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，，当时，开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，解得；当，即时，，则在上单调递增，所以在处取得最小值，，解得；当时，开口向下，则在上必存在比小的值，不满足题意；当时，，易得，不满足题意；综上，.故选：A.2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是.【答案】【解析】函数，当时，，当时，，而，即有，依题意，，即，又，则有，当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，于是，函数在上单调递增，则，有，因此，所以实数的取值范围是.故答案为：3．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数，若在区间上的最大值是，则实数的最大值是.【答案】【解析】由题易知，即，所以，又，所以；下证时，在上最大值为3.当时，，;当，若，即，则，满足题意;若，即，此时，而，满足题意;因此，符合题意.故答案为：4．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为.【答案】【解析】当时，，当且仅当时取等号，即取等号；此时函数的最小值为；当时，，当时，，要想函数的最小值为，只需，而，所以；当时，，显然，符合题意，综上所述：实数的取值范围为.四．函数奇偶性的定义与判断（5题）1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，对于A选项，，定义域为：，为非奇非偶函数；对于B选项，，定义域为：，为非奇非偶函数；对于C选项，，为非奇非偶函数；对于D选项，，为奇函数；故选：D.2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于B中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于C中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于D中，设，可得的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，符合题意.故选：D.3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先定义域必须关于0对称，C错；不是奇函数，D错；在定义域内不是增函数，B错；故选：A.4．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列四个函数中，在定义域上是偶函数且在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A，的定义域为，且，为偶函数，对称轴，开口向上，且在上单调递增，故A正确；对于B，，不是偶函数，故B错误；对于C，在时，为反比例函数的一支，在单调递减，故C错误；对于D，的定义域为，且，为偶函数；且由指数函数的性质可知在单调递增，故D正确；故选：AD5．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）设函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论一定正确的是（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是偶函数【答案】BD【解析】因为函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，对于A选项，设，则该函数的定义域为，，所以，函数不是奇函数，A错；对于B选项，令，则该函数的定义域为，，所以，函数是偶函数，B对；对于C选项，令，则该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，C错；对于D选项，令，则该函数的定义域为，，所以，是偶函数，D对.故选：BD.五．函数奇偶性求值求参求解析式（6题）1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设是定义在上的奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意是定义在上的奇函数，则由奇函数的性质可得，解得，所以，从而.故选：C.2．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数f(x)=log3(3xA． B． C． D．【答案】C【解析】定义域为，∵f(∴，即log3∴log33x即(-1-4k∵，∴-1-4k=0，得．故选：C3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】为奇函数，当时，，则当时，，.故选：D4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【解析】若，，则有，取，则有，即，是定义在上的偶函数，，则，解得：，则，取，则有，即，故选：A.5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则.【答案】【解析】因为奇函数满足当时，，所以.6．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则.【答案】-1【解析】由题意知函数为上的奇函数，，故，即.六．奇函数的对称性的应用（6题）1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，且，那么的值为（

）A．1 B．5 C． D．3【答案】B【解析】因为，则则，令，即，因为，所以.故选：B.2．（23-24高一上·江苏泰州·期中）函数，且，则（

）A． B．-2 C．0 D．2【答案】A【解析】因为，所以，则，令，得，又，所以.故选：A3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数且，则的值为.【答案】【解析】因为，则，所以，，所以，，则.故答案为：.4．（23-24高一上·江苏常州·期中），若，则.【答案】4【解析】令，则，为奇函数，由，解得，所以.所以.5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，令，函数定义域为R，∵，∴为奇函数，∴．则，．故答案为：-106．（23-24高一上·江苏扬州·期中）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为．【答案】8【解析】由，设，，则，所以函数在上为奇函数，所以，由题意，得，所以.七．利用单调性与奇偶性比较大小（5题）1．（22-23高一上·江苏泰州·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，∴，即，∴，故选：B.2．（22-23高一上·江苏南通·期中）若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，即，而在R上是增函数，则，故选：B3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是偶函数，所以，所以，，又时，是增函数，且，所以，即.故选：C4．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数是偶函数，对于，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于，当时，都有恒成立，则在上单调递增，有，又函数是偶函数，，，，所以.故选：A5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为定义域为的函数满足，所以函数的图象关于对称，所以，又因为当时，，所以函数在单调递增，则在单调递减，因为，所以，所以，即，故选:C,八．利用单调性与奇偶性解不等式（8题）1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，且，因为对任意的实数且，，则，即，所以在上是增函数，所以不等式，即为，即，所以，解得，即不等式的解集为.故选：B.2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）定义在上的函数满足（），且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】构造函数，任取，，由于，，所以，所以，所以在上递减.，，，，所以，所以不等式的解集为.故选：A3．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设，在上单调递增且，所以在、上，上，对于，当，即或，可得；当，即，可得；综上，解集为.故选：A4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知是定义在上的奇函数，，若且满足，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题设在上递增，又是定义在上的奇函数，所以在上递增，而，则，由，有或，则或，所以不等式解集为.故选：A5．（23-24高一上·江苏常州·期中）若函数满足，，且，，，若，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，，，所以在上单调递增，，，则函数图像关于对称，若，则，解得或.所以的取值范围是.6．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域为区间，且图象关于点中心对称.当时，，则满足的x的取值范围是.【答案】【解析】因为函数在上单调递增，所以当，单调递增，因为关于点中心对称，所以，且在上单调递增，不等式可整理为，即，则，解得，所以满足的x的取值范围是.7．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是上的奇函数，且，；定义域为的函数的图象如图所示，则不等式的解集为．【答案】【解析】，，所以在单调递减，又是上的奇函数，所以是上的减函数，且，或，即或，解得.故答案为：8．（22-23高一上·江苏镇江·期中）设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是．【答案】【解析】是定义域为，关于原点对称,又，所以是奇函数，因为，，设，则，所以，所以，令，则在上单调递增，又，所以在上为偶函数，所以在0,+∞上单调递减，，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，当x∈2,+∞时，，则，所以解集是.故答案为：九．函数对称性与周期性的应用（6题）1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则下列函数图象成中心对称的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于选项A，设的图象关于点成中心对称图形，则为奇函数，所以，所以，因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得，所以的对称中心为，符合题意；对于选项B，因为，所以关于直线对称，结合函数在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；对于选项C，设的图象关于点成中心对称图形，则为奇函数，所以，所以，因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得，所以的对称中心为，符合题意；对于选项D，设的图象关于点成中心对称图形，则为奇函数，所以，所以，化简得，因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得，所以的对称中心为，符合题意.故选：ACD.2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因为，所以，即，又所以，所以，A正确；因为，所以，B正确；在中，令，得，即，解得，C正确；，D错误.故选：ABC3．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为R，且，都有.若，，则.【答案】【解析】因为，都有所以，所以，所以是以6为周期的函数，所以，因为，所以，即.故答案为：.4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）有同学发现：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是.根据以上结论，则函数的对称中心是；若为正整数，则.【答案】【解析】设函数的对称中心是，则，因为，所以有，整理得：，即，所以，则，故函数的对称中心是；因为的对称中心是，依题意有，则.故答案为：，.5．（23-24高一上·江苏常州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为；的值为．【答案】【解析】令因为为奇函数，所以，即，解得.所以函数图象的对称中心为；所以f1-即，所以.故答案为：；.6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知奇函数满足，且当时，．(1)证明：；(2)求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：因为奇函数满足，所以，所以，所以，即；（2）由（1）可知4为的周期，因为，所以，得，所以，所以.十．函数基本性质的综合应用（5题）1．（22-23高一上·江苏苏州·期中）（多选）若的定义域为，且满足为偶函数，关于成中心对称，则下列说法正确的是（

）A．的一个周期为 B．的一条对称轴为C． D．【答案】BCD【解析】因为为偶函数，则，令，可得，因为函数关于点对称，设，则，即，所以，，则，故，即，故，所以，.对于A选项，的一个周期为，A错；对于B选项，，故函数的一条对称轴为，B对；对于C选项，因为，则函数的图象关于点对称，又因为函数的定义域为，则，则，C对；对于D选项，，，，因此，，D对.故选：BCD.2．（23-24高一上·江苏南通·期中）（多选）已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中一定正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．的图像关于直线对称【答案】AD【解析】因为是定义在上的函数，且为奇函数，所以，故A正确；因为是定义在上的函数，且的图像关于直线对称，所以，不一定为0，故B错误；因为，故C错误；因为，则，所以的图像关于直线对称，故D正确.故选：AD3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)①用定义证明函数在上是单调递减函数；②判断函数在上的单调性，请直接写出结果；(3)根据你对该函数的理解，在坐标系中直接作出函数的图象.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②在上单调递增；(3)图像见解析【解析】（1）因为当时，，所以当时，，则，又是定义在上的奇函数，所以，且，所以.（2）①设，则，，所以，因为，所以，且，则，所以，即，故在上是单调递减函数．②在上单调递增，理由如下：当时，，，则，所以在上单调递增.（3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，且，又是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以的图象如图，.4．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为偶函数，函数的定义域为.(1)判断并用定义证明在区间上的单调性；(2)解不等式；(3)若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析；(2)；(3)【解析】（1）函数在上单调递减，函数为偶函数，故对称轴为，得，，，不妨设，则，因为，所以，，即，，，即，所以函数在上单调递减，（2），，，函数为奇函数，故函数在上单调递减.，即，即，因为函数在和上单调递减，所以，或，或，解得，故不等式的解集为.（3）函数在上单调递减，所以在上的值域为，由题意得，，化简得，所以，为方程的两个实数根，因为要存在实数，，所以方程有两个大于1的不相等的实数根，法1：，或，解得，所以实数的取值范围为法2：由条件，，所以，故，解得，所以实数的取值范围为.5．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解关于的不等式.【答案】(1)；(2)单调递减；证明见解析；(3)【解析】（1）由基函数的性质可知，，所以，即，因为，所以，即.（2）函数在上单调递减.证明：任取，则，因为，则，，则，即，所以函数在上单调递减.（3）由（2）可知，函数在上单调递减，且为奇函数，则，所以，解得，则不等式的解集为.十一．抽象函数的性质及应用（6题）1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（

）A．或x>1 B．或x>2C． D．【答案】B【解析】因为，令，则，令，则，令，且，则，整理得，因为，则，可得，所以，即，可知在定义域在上单调递增，又因为，即，可得，即，结合在定义域在上单调递增，可得，解得或，所以不等式的解集为或x>2.故选：B.2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数满足对任意恒成立，则（

）A． B．C． D．函数的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】对于A：令，得，则，所以A正确；对于B：令，则，令，得，即，所以B错误；对于C：令，得，即，所以为偶函数，令，得，令，得，又为偶函数，所以，C正确；对于D：由C可知为偶函数，所以fx-3为向右平移3个单位得到，此时关于直线对称，D正确，故选：ACD3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（多选）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（

）A． B．C．为R上的减函数 D．为奇函数【答案】ABD【解析】因为，则令，可得，即，解得，故A正确；令，，可得，即，解得，再令，可得，即，故B正确；因为，所以，令，不妨设，可得，即，因为，则，则，可得，即，所以为R上的增函数，故C错误；令，可得，即，整理得，所以为奇函数，故D正确.故选：ABD．4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（

）A． B． C．为奇函数 D．为偶函数【答案】D【解析】令，则，，，选项A错误；令，，则，即，则，选项B错误；，不是奇函数，选项C错误；令，则，即，故，为偶函数，选项D正确；故选：D．5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，．(1)求；(2)证明：函数在为增函数；(3)如果，解不等式．【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3)【解析】（1）∵，令，则，∴；（2）由，可得，则得，，设，由，因时，有，依题意，，即，所以函数在为增函数；（3）因，∴，又由，则，由可得，即，即，因函数在为增函数故可得，，解得，即不等式的解集为.63．（22-23高一上·江苏南通·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当，．(1)求证：函数是奇函数；(2)求证：在上是减函数；(3)解不等式：；(4)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)；(4)证明见解析【解析】（1）令，则，解得：；令，则，为定义在上的奇函数.（2）设，则，；，，，；又，，又当，，，，即，在上是减函数.（3）由得：；定义域为且在上是减函数，，解得：，不等式的解集为.（4）；，，，；，，，.十二．二次函数的最值问题（5题）1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数，且的最大值是，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为函数的对称轴为，开口向上，所以，要使在处取得最大值，只需，解得，即实数的取值范围是.故答案为：2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数，当时，函数取得最小值2，且.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间的最小值为11，求.【答案】(1)；(2)或5【解析】（1）由题知，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）知，函数的图象开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，当，即时，，解得或（舍去）；当，即时，，不满足题意；当时，，解得（舍去）或.综上，的值为或5.3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数(1)当时，求函数的值域；(2)当在上是单调函数时，求实数的取值范围；(3)求函数的最小值.【答案】(1)；(2)或；(3)答案详见解析【解析】（1）因为，所以，且对称轴，所以，所以函数的值域为.（2）因为函数fx对称轴为，且函数在上是单调函数，所以，或.（3）由二次函数的性质得：当时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，在上单调递减，所以．综上，当时，，当时，，当时，．4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设函数，其中.(1)若，解关于的不等式；(2)当时，的最大值记为，最小值记为，求的解析式.【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】（1）若，则，所以可化为，方程的解为，所以，当时不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为.（2）函数图象的对称轴为，①当，即时，在区间上单调递增，所以，此时；②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，此时；③当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，此时；④当，即时，在区间上单调递减，所以，此时；综上所述，.5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数．(1)当时，直接写出函数的单调区间（不需证明）；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)当时，若函数在上既有最大值又有最小值，求证：恒成立．【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为；(3)证明见解析【解析】（1）当时，.当时，有，根据二次函数的性质，可知在单调递减；当时，有，根据二次函数的性质，可知在单调递减.又，所以，的单调递减区间为．（2）当时，.当时，，根据二次函数的性质，可知在区间上单调递减，最小值为，最大值为；当时，，根据二次函数的性质，可知在区间上单调递减，在上单调递增.且，，当时，有，所以，最小值为，无最大值.综上所述，在区间上，最小值为，最大值为.（3）当时，.当时，，根据二次函数的性质，可知在上单调递减，在单调递增；当时，，根据二次函数的性质，可知在上单调递减.又函数在上既有最大值又有最小值，所以函数的最值只能在或处取得，且最大值，最小值．又当时，应满足时，即有，解得，故.当，应满足时，由，解得，故.所以，.又，，恒成立．十三．函数不等式恒成立问题（5题）1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，当时，不等式恒成立，因为函数在上为单调递增函数，所以，当时，，所以，即实数的取值范围是.故选：D.2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为．(1)求的值，并证明在上单调递增；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，证明见解析；(2)【解析】（1）函数的定义域为，因为，所以，即，解得，，此时，，成立，所以的值为1，任设，则，因为，所以，所以，所以，可证得在上单调递增；（2）由，可得，因为，由（1）知，令，所以，恒成立①当时，恒成立，满足题意，②当时，二次函数的图象开口向上，对称轴方程为所以当时，，解得，③当时，二次函数的图象开口向下，所以，解得，

综上：实数的取值范围是．3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数．(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）若方程的两根分别是，得，得又由韦达定理得，因为所以所以，解得；（2）若对，都存在，使得对任意恒成立，则对任意恒成立，对于，，，对称轴，则，对于，，又，当且仅当时等号成立，所以，所以在时恒成立，所以又，当取最小值，且最小值为所以，解得.4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，函数．(1)若,求不等式的解集；(2)求函数在上的最小值；(3)若对任意,均存在,使得成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）由题意得，，当时，，解得，即；当时，，无解，所以原不等式的解集为.（2）因为，所以当时，.当时，，所以当时，，则在和上单调递增，在上单调递减；当时，，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，因为，所以当时，在上单调增，；当时，又因为，结合时的单调性，故，，综上，.（3），又因为，所以当时，；当时，，结合⑵得：当时，由得，所以；当时，由得，所以；当时，由得，所以，综上，的取值范围是.5．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数.(1)当，时，解方程；(2)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2)；(3)答案见解析【解析】（1）当，时，，所以，即或，解得或，即或；（2）当时，，所以不等式在上恒成立，即为不等式在上恒成立，当时，不等式恒成立，即，当时，不等式可转化为，即在上恒成立，又函数在上单调递增，所以，所以，解得，即的取值范围为；（3）在区间上有解，即方程在上有解，设，当时，在上单调递增，所以，，则当时，原方程有解，即；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调增；①当，即时，，，则当时，原方程有解，即；②当，即时，，，则当时，原方程有解，则；③当时，，，，当，即时，，则当时，原方程有解，即；当，即时，，则当时，原方程有解，即；综上所述：当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为.十四．函数的新定义问题（5题）1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由题意知函数为“平方差减函数”，则满足对，当时，不等式恒成立，即，而，则，令，则，即在上单调递减，对于A，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为，在上单调递减，故为“平方差减函数”，A正确；对于B，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，则不是“平方