《6.3 对数函数》导学案

《6.3对数函数》导学案#6.3对数函数导学案##一、学习目标1、理解对数函数的概念，能说出对数函数的定义和特点。2、掌握对数函数的图象和性质，会画对数函数的图象，并且能根据图象说出对数函数的单调性、定义域、值域等性质。3、能够运用对数函数的性质解决简单的数学问题，比如比较大小、求定义域等。##二、重点1、对数函数的概念、图象和性质。2、运用对数函数的性质解决相关问题。##三、难点1、对数函数图象和性质的理解与应用。2、底数对对数函数图象和性质的影响。##四、课前预习设计###（一）知识回顾1、什么是对数？如果a^x=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底，N的对数，记作x=log_aN。2、对数有哪些运算性质呢？比如说，log_a(MN)=log_aM+log_aN，log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN，log_aM^n=nlog_aM（这里要注意一下条件哦，比如a>0且a≠1，M>0，N>0）。###（二）预习自测1、函数y=log_2x的定义域是（）A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.RD.(0,1)2、计算log_39的值为（）A.2B.3C.4D.1###（三）我的疑惑[在这里写下你预习过程中遇到的不明白的地方，比如说对数函数图象的变化规律不太清楚，或者是对数函数在实际解题中怎么运用比较困惑之类的。]##五、课堂教学设计###（一）探究一：对数函数的概念1、首先呢，我们来看几个函数，y=log_2x，y=log_{0.5}x，y=log_{10}x。大家观察一下这些函数，它们有什么共同的特点呢？-提示：从函数的形式、自变量的位置、底数的要求等方面去思考哦。-经过大家的讨论，我们发现这些函数都是形如y=log_ax（a>0且a≠1，x>0）的函数，这就是对数函数的概念啦。2、那下面我们来做个小练习，判断一下这些函数是不是对数函数呢？-（1）y=2log_3x-（2）y=log_3(x+1)-（3）y=log_{π}x###（二）探究二：对数函数的图象1、我们现在来画一下对数函数y=log_2x的图象。-步骤：-（1）先列个表，选取一些x的值，比如说x=\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4等，然后计算出对应的y值。-（2）在平面直角坐标系中把这些点描出来，然后用平滑的曲线把它们连接起来。-大家可以自己动手画一下，然后和旁边的同学交流一下，看看你们画的有什么不一样的地方。2、再画一下y=log_{\frac{1}{2}}x的图象，画完之后对比一下这两个图象，有什么发现呢？-启发问题：-（1）图象是上升还是下降的呀？这和底数有什么关系呢？-（2）图象过哪些特殊的点呢？-经过对比我们发现，当底数a>1时，对数函数的图象是上升的；当0<a<1时，图象是下降的，而且对数函数的图象都过点(1,0)。###（三）探究三：对数函数的性质1、根据我们画的图象，一起来总结一下对数函数y=log_ax（a>0且a≠1）的性质吧。-（1）定义域：很明显是(0,+∞)，因为对数中的真数必须大于0。-（2）值域：是R，从图象上也能看出来。-（3）单调性：当a>1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0<a<1时，函数在(0,+∞)上单调递减。-（4）特殊点：图象恒过点(1,0)。2、那我们来做个小活动，分组讨论一下。如果给你一个对数函数，你怎么快速判断它的单调性、定义域和值域呢？###（四）拓展提升1、比较大小：-（1）log_23和log_25-（2）log_{0.5}2和log_{0.5}3-解题提示：根据对数函数的单调性来比较哦。2、求函数y=log_3(x-1)的定义域。-提示：对数函数的真数要大于0，所以只需要解不等式x-1>0就可以啦。###（五）当堂检测1、下列函数中，在(0,+∞)上为增函数的是（）A.y=log_{\frac{1}{2}}xB.y=log_2\frac{1}{x}C.y=log_3xD.y=log_{0.5}(x+1)2、函数y=log_5(2x-1)的定义域是____________。3、比较大小：log_{4}3和log_{3}4。##六、课后巩固设计###（一）基础巩固1、函数y=log_{a}(x-2)（a>0且a≠1）的图象过定点（）A.(2,0)B.(3,0)C.(2,1)D.(3,1)2、若log_a\frac{2}{3}<1（a>0且a≠1），则a的取值范围是（）A.(0,\frac{2}{3})B.(\frac{2}{3},1)C.(0,\frac{2}{3})\cup(1,+∞)D.(\frac{2}{3},+∞)###（二）能力提升1、已知对数函数y=f(x)的图象过点(4,2)，求f(8)的值。-解题思路：先根据已知条件求出对数函数的表达式，然后再求f(8)的值。2、讨论函数y=log_a(x^2-2x-3)（a>0且a≠1）的单调性。###（三）拓展探究1、若函数y=log_2(x^2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数，求a的取值范围。2、设f(x)=\begin{cases}log_2x,x>0\\log_{\frac{1}{2}}(-x),x<0\end{cases}，若f(a)>f(-a)，求a的取值范围。##七、答案1、课前预习设计-预习自测答案：-（1）A-（2）A2、课堂教学设计-探究一：-（1）不是，因为前面的系数不是1。-（2）不是，因为对数的真数是x+1，不是单纯的x。-（3）是。-拓展提升答案：-（1）因为函数y=log_2x在(0,+∞)上单调递增，且3<5，所以log_23<log_25。-（2）因为函数y=log_{0.5}x在(0,+∞)上单调递减，且2<3，所以log_{0.5}2>log_{0.5}3。-（2）由x-1>0，解得x>1，所以函数y=log_3(x-1)的定义域是(1,+∞)。-当堂检测答案：-（1）C-（2）由2x-1>0，解得x>\frac{1}{2}，所以定义域是(\frac{1}{2},+∞)。-（3）因为log_{4}3<log_{4}4=1，log_{3}4>log_{3}3=1，所以log_{4}3<log_{3}4。3、课后巩固设计-基础巩固答案：-（1）B-（2）C-能力提升答案：-（1）设对数函数为y=log_ax，因为图象过点(4,2)，所以log_a4=2，即a^2=4，又a>0且a≠1，所以a=2，则y=log_2x，所以f(8)=log_28=3。-（2）先求函数的定义域，由x^2-2x-3>0，即(x-3)(x+1)>0，解得x>3或x<-1。令t=x^2-2x-3=(x-1)^2-4，当a>1时，函数y=log_at在(0,+∞)上单调递增，t=(x-1)^2-4在(-∞,-1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，根据复合函数“同增异减”原则，函数y=log_a(x^2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增；当0<a<1时，函数y=log_at在(0,+∞)上单调递减，t=(x-1)^2-4在(-∞,-1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，根据复合函数“同增异减”原则，函数y=log_a(x^2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减。-拓展探究答案：-（1）令t=x^2-ax+3a，函数y=log_2t在(0,+∞)上是增函数，要使函数y=log_2(x^2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数，则函数t=x^2-ax+3a在[2,+∞)上是增函数，且t(2)>0。对于二次函数t=x^2-ax+3a，其对称轴为x=\frac{a}{2}，所以\frac{a}{2}\leq2，且4-2a+3a>0，解得-4<a\leq4。-（2）当a>0时，f(a)=log_2a，f(-a)=log_{\frac{1}{2}}a，由f(a)>f(-a)得log_2a>log_{\frac{1}{2}}a，即log_2a>-log_2a，2log_2a>0，log_2a