《6.3.1 平面向量基本定理》讲义

《6.3.1平面向量基本定理》讲义高中数学必修第二册：平面向量基本定理讲义一、知识引入同学们，我们之前已经学了不少关于向量的知识啦。今天呢，我们要进入一个新的部分，就是平面向量基本定理。想象一下，在一个平面里面，有好多向量在跑来跑去，就像一群小蚂蚁在一个平面的操场上活动一样。那我们怎么去用一种规律的方法来描述这些向量呢？这就引出了我们今天的主角——平面向量基本定理。二、知识讲解1、平面向量基本定理的内容平面向量基本定理是这样说的：如果两个向量\（＼vec{e_1}＼）、＼（＼vec{e_2}＼）不共线，那么对于这一平面内的任一向量\（＼vec{a}＼），有且只有一对实数\（＼lambda_1\）、＼（＼lambda_2\），使得\（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1}＋＼lambda_2\vec{e_2}＼）。这里的\（＼vec{e_1}＼）、＼（＼vec{e_2}＼）就像是两把特殊的尺子，我们可以用这两把尺子去测量这个平面里的任何一个向量\（＼vec{a}＼）。比如说，＼（＼vec{e_1}＼）就像是横着的尺子，＼（＼vec{e_2}＼）就像是斜着的尺子，而\（＼lambda_1\）和\（＼lambda_2\）就是用这两把尺子去量\（＼vec{a}＼）的时候，各自需要的刻度。重点：这个定理的重点就是要理解存在唯一的一对实数\（＼lambda_1\）、＼（＼lambda_2\）。这就好比每个人都有自己独特的身份证号码一样，每一个向量都能被这一对特殊的实数唯一确定。难点：那难点是什么呢？就是怎么去找到这一对实数\（＼lambda_1\）、＼（＼lambda_2\）。这就需要我们通过一些计算和分析啦。2、举例说明咱们来举个例子吧。假如在一个平面里，有向量\（＼vec{e_1}＝（1,0)＼），＼（＼vec{e_2}＝（0,1)＼），现在有一个向量\（＼vec{a}＝（3,4)＼）。那我们怎么找到对应的\（＼lambda_1\）和\（＼lambda_2\）呢？根据平面向量基本定理\（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1}＋＼lambda_2\vec{e_2}＼），也就是\（（3,4)＝＼lambda_1(1,0)＋＼lambda_2(0,1)＼）。展开来看呢，就得到\（（3,4)＝（＼lambda_1,0)＋（0,＼lambda_2)＝（＼lambda_1,＼lambda_2)＼）。所以很容易就看出来\（＼lambda_1＝3\），＼（＼lambda_2＝4\）。三、互动环节现在我来考考大家。我给大家一个向量\（＼vec{e_1}＝（2,0)＼），＼（＼vec{e_2}＝（0,2)＼），还有一个向量\（＼vec{a}＝（6,8)＼），大家来试着找一找\（＼lambda_1\）和\（＼lambda_2\）是多少呢？（给学生一点时间思考和计算，然后让学生回答）四、巩固练习1、已知向量\（＼vec{e_1}＝（1,1)＼），＼（＼vec{e_2}＝（1,－1)＼），向量\（＼vec{a}＝（2,0)＼），求\（＼lambda_1\）和\（＼lambda_2\），使得\（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1}＋＼lambda_2\vec{e_2}＼）。2、若\（＼vec{e_1}＼）、＼（＼vec{e_2}＼）是平面内一组基底，＼（＼vec{a}＝3\vec{e_1}－2\vec{e_2}＼），＼（＼vec{b}＝＼lambda\vec{e_1}＋＼vec{e_2}＼），且\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）共线，求\（＼lambda\）的值。（这里的“＿___________”就是让学生自己去计算的地方哦）五、答案1、因为\（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1}＋＼lambda_2\vec{e_2}＼），＼（＼vec{e_1}＝（1,1)＼），＼（＼vec{e_2}＝（1,－1)＼），＼（＼vec{a}＝（2,0)＼），所以\（（2,0)＝＼lambda_1(1,1)＋＼lambda_2(1,－1)＝（＼lambda_1+＼lambda_2,＼lambda_1＼lambda_2)＼）。则可得方程组\（＼begin{cases}＼lambda_1+＼lambda_2＝2\＼＼lambda_1＼lambda_2＝0\end{cases}＼），解这个方程组，两式相加得\（2\lambda_1＝2\），所以\（＼lambda_1＝1\），把\（＼lambda_1＝1\）代入\（＼lambda_1+＼lambda_2＝2\）得\（＼lambda_2＝1\）。2、因为\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）共线，所以存在实数\（k\），使得\（＼vec{a}＝k\vec{b}＼），即\（3\vec{e_1}－2\vec{e_2}＝k(＼lambda\vec{e_1}＋＼vec{e_2}）＝（k\lambda)＼vec{e_1}＋k\vec{e_2}＼）