2021年中考一轮复习九年级数学《解直角三角形的应用》自主复习达标测评（附答案）

2021春九年级数学中考一轮复习《解直角三角形的应用》自主复习达标测评（附答案）

1.如图，竖直放置的杆4B,在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CZ）的。处，而此时1

米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CO与地面成30°角，

则杆的高度AB为（）米.

A

A.6+4如B.10+4百C.8D.6

2.人字折叠梯完全打开后如图1所示，B,C是折叠梯的两个着地点，。是折叠梯最高级踏

板的固定点.图2是它的示意图，AB=AC,8£>=140c〃?，NBAC=40°,则点。离地面

的高度OE为（）

图1

A.140sin20°cm

C.140sin40°cmD.140cos40°cm

3.某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在

桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索8。与水平桥面的夹角是60°,两拉

索底端距离4。=20米，则立柱BC的高为（）

A.20加米B.10米C.10折eD.20米

4.如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了.出于对它的保护，需要测量它的高度，现

采取以下措施：在地面上选取一点C,测得NBC4=37°,AC=28米，NBAC=45°,

则这棵树的高A8约为（）（参考数据：sin37°tan37°七2,&=1.4）

A.14米B.B米C.17米D.18米

5.如图，一根电线杆尸。，地面垂足为。，并用两根斜拉线以，PB固定，使点P,

O,A,8在同一平面内，现测得/%0=66°,NPBO=54°,则居=（）

PB

tan66cos540

tan54cos660

sin66'sin540

sin54sin660

6.如图，将宽为lc机的纸条沿BC折叠，使NCAB=45°,则折叠后重叠部分的面积为（）

B.

7.如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.AD1DB,原传送带AB与地面。8的夹角

为30°,为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由30。改

为45°,原传送带4B长为8〃?.则新传送带4c的长度为（）

B.W2D.无法计算

8.我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中

项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为

“闪亮边”.例如：图1中的四边形A8CD中，4B=AC=A£>,则AC2=AB・A£>,所以四

边形A8C。是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB,A。是对应的闪亮边.如图2,已知

闪亮四边形ABC。中，AC是闪亮对角线，AD,C。是对应的闪亮边，且NABC=90°,

/。=60°,AB=4,BC=2,那么线段AO的长为.

9.如图是一个地铁站入口的双翼闸机.它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距

离为10cm,双翼的边缘AC=BO=54cm,且与闸机侧立面夹角NPCA=NBQQ=30°.当

双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm.

10.人字梯为现代家庭常用的工具（如图）.若A8,AC的长都为2m，当a=50°时，人字

梯顶端离地面的高度AD是m.（结果精确到0.1/72,参考依据：sin50°g0.77,

cos50°^0.64,tan50°"1.19)

11.如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点

A,B,C均为正六边形的顶点，A8与地面BC所成的锐角为仇则tan。的值是.

12.图2、图3是起重机平移物体示意图.在固定机架BAM中，AB=5m,tanZBAM=^.吊

3

杆BCE由伸缩杆BC与6m长的直杆CE组成,在机架BAM与直杆CE间有一根9in长的

支撑杆AO,且C£>=2m.假设起重机吊起物体准备平移时，点E、C、B恰好在同一水

平线上（图2）,在物体平移过程中始终保持（4M处在水平位置）.

（1）如图2,当准备平移物体时，伸缩杆BC=m.

（2）在物体沿EB方向平移过程中，当NAE>E=60°时，物体被平移的距离为m.

图1图2图3

13.如图，某景区门口的柱子上方挂着一块景点宣传牌C。，宣传牌的一侧用绳子AO和BC

牵引着两排小风车，经过测量得到如下数据：AM=2米，AB=4米，ZMAD=45°,Z

MBC=30°,则CD的长度约为米.（«仁1.73,结果精确到0.1米）

C

\3沁、

MAB

14.如图，两面平行墙之间的距离为19.1米，两边留出等宽的行车道，中间划出停车位，

每个停车位是长5.4米，宽2.2米的矩形，矩形的边与行车道边缘成45°角，则行车道宽

等于米.（A/2^1.4）

15.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米,

48=8米，NM4D=45°,NMBC=30°,则警示牌的高8为米（结果精确到

0.1,参考数据：&=1.41,73=1-73)

名II路葭

谨慎驾驶

D

30°

B

16.某飞机模型的机翼形状如图所示，其中A8〃OC,ZBAE=90Q,根据图中的数据计算

CD的长为丽（精确到1cm）（参考数据：sin37°^0.60,cos37°g0.80,tan37°

心0.75）

17.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两

支脚OC=O£>=10分米，展开角/CO£>=60°,晾衣臂。4=08=10分米，晾衣臂支架

HG=FE=6分米，且〃0=尸0=4分米.当NAOC=90°时，点A离地面的距离AM为

分米；当08从水平状态旋转到。在（在CO延长线上）时，点E绕点尸随之旋转至。8'

上的点E处，则B'E-BE为分米.

18.如图，一个钢结构支柱AB被钢缆C。固定于地面.已知AO=2米，QC=5米，sinN

DCB=2-,钢结构的顶端E距离A处2.6米，且NEAB=120°,则钢结构的顶端E距离

5

19.如图1为放置在水平桌面/上的台灯，底座的高AB为5cm,长度均为22c,”的连杆BC、

CD与AB始终在同一平面上.

(1)转动连杆BC,CQ,使/BCD成平角，ZABC=150°,如图2,求连杆端点。离

桌面/的高度DE.

(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3,当NBCD=

1500时台灯光线最佳.求此时连杆端点。离桌面/的高度比原来降低了多少厘米？

20.石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了

隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：

在桥上依次取8、C、。三点，再在桥外确定一点A,使得测得A8之间15米,

使得/4£)C=30°,NACB=60°.

(1)求CD的长(精确到0.1,V3^1.73,72^1-41).

(2)交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明

理由.

21.如图1,图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如

下信息：滑杆OE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即。E=BC=AB,点B、尸在线段

AC上，点C在DE上,支杆。F=30c〃?，CE-.CD=\-.3,ZDCF=45°,ZCDF=30°.

图1图2

请根据以上信息，解决下列问题；

（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆的距离（结果保留到1C7”）.

参考数据：72^1.41,«心1.73,遍产2.45.

22.如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密

性原则，使得边沿AO的长度是边沿3c长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测

员王刚参与了前期零件的基础设计，知道/A8C=45°,边沿CZ）所在直线与边沿8c所

在直线相交后所成的锐角为30°（即P在8c的延长线上，/。〃=30°）,经测量BC

的长度为7米，求零件的边沿C。的长.（结果保留根号）

23.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2

是其侧面结构示意图.量得托板长AB=\20mm,支撑板长。力=80叩”，底座长DE=

90/nw.托板A8固定在支撑板顶端点C处，且CB=40〃》n,托板A8可绕点C转动，支

撑板C。可绕点。转动.(结果保留小数点后一位)

(1)若NDCB=80°,ZCDE=60°,求点A到直线OE的距离；

(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把A8绕点C逆时针旋转10°后，再将C。绕

点。顺时针旋转，使点8落在直线。E上即可，求C£＞旋转的角度.(参考数据：sin40°

Q0.643,cos40°七0.766,tan400弋0.839,sin26.6°-0.448,cos26.6°弋0.894,tan26.6°

—0.500,1.732)

24.如图1是某工厂生产的多功能儿童滑板车示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的

长为lOOtrc,点。是AB的中点，前支撑板QE=50cm,支撑点E在水平线8C上，NB

=53°.(参考数据：sin53°七0.80,cos53°七0.60,lan53°F.33)

(1)求支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；

(2)根据需要，滑板车可变形为如图2所示的自行车，前支撑板。E变形为座板后与水

平面8c平行，后支撑板EC=60a〃，求变形后两轴心之间的距离BC的长.

图1图2

25.图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，己知跑步机的手柄AB平行于地面

且离地面的高度〃约为1.05m踏板C。与地面。E的夹角NCDE为10°,支架（线段

AC）的长为08”，NACD为82°.求跑步机踏板C。的长度（精确到0.1加）.

（参考数据：sinl0°=cos80°-0.17,sin720=cosl8°^0.95,tan72°-3.1）

26.如图1,一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B

在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得/A80为37°,NAOB为

45°,0B长为35厘米，求A5的长（参考数据：sin37°^0.6,cos37°-0.8,tan37°

-0.75）

参考答案

1.解：如图，延长AB交。T的延长线于E.

•••1米的杆影长恰好为1米，

：.AE=DE,

•..四边形BC7E是矩形，

.•.8C=ET=10米，BE=CT,

在RtZXCDT中，VZCTO=90°,CD=8米，ZCDT=30°,

：.DT=CD-cos30°=8X返=4百（米），CT=1JCD=4（米）,

22

：.AE=DE=ET+DT=（10+4^3）（米），BE=CT=4（米），

：.AB=AE-BE^（10+4V3）-4=（6+45/3）（米），

故选：A.

2.解：VZBAC=40°,AB=AC,

：.ZACB=ZABC=10°,

"：DEVBC,

AZDEB=90°,

；.NBDE=90°-70°=20°,

：.DE=BD-cos20°=140cos20°,

故选：B.

3.解：,：ZBDC^ZA+ZABD,/A=30°,ZBDC=60Q,

；.NABO=60°-30°=30°,

ZA=ZABD,

：.BD=AD=20^z,

：.BC=BD'sm600=10次（米）,

故选：c.

4.解：如图，作B”_LAC于

VZBC//=37°,NBHC=90°,

设BH=xm,

：.CH=——=去=丝，

tan37033

4

VZA=45°,

:.AH=BH=x,

；.x+_^x=28,

3

：.x=l2,

：.AB=yf2AH=yf2x12=17(m)

故选：C.

R

5.解：如图，在直角△外。中，NPOA=90°,ZPAO=66°,则以=—四——

sin660

如图，在直角△PBO中，NPOB=90°,NPBO=54°,则P8=—再工—.

sin540

P0

rr.PA_sin660_sin540

//TrkA——"r.•

PBPOsm66

sin540

6.解：如图，'：CE//AB,

：.ZECB=/ABC,

NECB=NACB,

：.ZACB=ZABC,

：.AC=AB,

作COJ_AB,垂足为。,

则CD=1.

VsinZA=^5.,

AC

；•AC==&=4B,

si.n4Lb

：.SMBC=^XABXCD=^,

22

折叠后重叠部分的面积为返O«2.

2

故选：D.

在RtZXAC。中，VZACZ)=45°,

.•.AC=&AC=4扬?,

故选：B.

8.解，如图，作CH_LAO于".

图2

：AC2=a4,OC时

'：DH=CD^cosZD,CH=CD，sinND,AH^AD-CD.cosZD,

：.AC2=AH2+CH2=(AD-CD'COSZD)2+(CD.sinZD)2

=AD2+CD2-2AD-CD'cosZD

=AD2+CD2-AD-CD,

"：AC2=AD-CD,

：.AD2-2AD'CD+CD2=Q,

：.(AD-CD)2=0,

：.AD=CD,

：N£>=60°,

/\ACD是等边三角形，

AD=AC=«AB?+BC2=722+42=2后

故答案为：

9.解：如图，连接AB,CD,过点A作AE_LC£）于E,过点8作B凡LC。于凡

闸机箱卜固机箱

,JAB//EF,AE//BF,

四边形ABFE是平行四边形，

VZAEF=90°,

二四边形AEFB是矩形，

：.EF=AB=\0(cm),

'：AE//PC,

.•./PC4=NC4E=30°,

，CE=4C・sin30°=27(cm),

同法可得OF=27(cm),

ACD=CE+EF+DF=27+10+27=64(CM),

故答案为64.

10.解:*：AB=AC=2m9AD1.BC,

：.ZADC=9Q°,

・・・AQ=AC・sin50°=2X0.77^1.5(机)，

故答案为1.5.

II.解：如图，作AT〃BC,过点B作B，_L4T于，，设正六边形的边长为m则正六边形

的半径为小边心距=西,.

2

观察图象可知：旦，AH=至返/,

22

'JAT//BC,

：.ZBAH=^,

19

Ta

15

a

2

故答案为型号.

15

12.解：（1）过点4作4G_LBC于G,如图1,

图1

在RtZXABG,ZXBG=ZBAM,AB=5,

・•・翳tan/ABG=tanNAB吟

设AG=4xm,则BG=3xm,

AB=7AG2+BG2=5X,

•-5x=5,

•・x=1,

**•AG=4/?2,BG=3m,

•**GD=VAD2-AG2~(-

ABC=BG+GD-CD=3+A/65-2=V65+1(w),

故答案为：(A/65+1)；

(2)连接BE,过4作A尸_LBE于R过E作EG_LA。于G,如图2,

・：BE〃AM,

：.NABF=NBAM,

tanNABF=tanZBAM=国，

3

设AF=4xm,则3/=3初z,

.\AB=5x=5,

•»x=1,

.\AF=4mfBF=3fn,

在Rt/XOEG中，DE=4m,ZEDG=60°,

二。G=/DE=2〃?，EG=^-X4=2V^n,

：.AG=AD-DG=9-2=7m,

:/AFH=NEGH=90°,NAHF=NEHG,

：./\AFH<^/\EGH,

•AFAHPnAH42

••疏海丽革77砺，

设AH=2y,则EH=My,

HG=VEH2-EG2T3y2-12,

：.AG=AH+GH=2y+^3y2_12=7,

解得，y=14-35/15，或产14+30^>7(舍)，

A£H=Va?=1473-975(M,AH=2y=2S-6^/15(加，

GH=AG-A//=6^/15-21,

△AFHsMGH,

•FHAF2

••~~~U">

GHEGV3

:.FH=2GH=12遥-14我,

77

BE=BF+FH+EH=3+12遥-14我+14a-照=3+3代,

,物体平移的距离为：（J茁+1+6）-（3+3娓）=倔+4-3娓.

故答案为：W65+4-3y[s）.

图2

13.解：在RtZ\AM£）中，ZMAD=45a,

：.DM=AMtan450=2（/??）,

在中，ZMBC=30°,

.\CA/=BMtan300,

BM=AM+AB=2+4=6（，〃），

；.CM=6X返七3.46（M,

3

：.CD=CM-DM=3.46-2«=1.5（米），

答:警示牌的高CO为1.5米.

14.解：由题意：△ACE,△SC尸都是等腰直角三角形.

•〃/〃/〃〃〃//〃〃〃〃/〃“

行车道

SJC<<SWXWXW<SWXXXXXXXW

VEC=5.4+2.2=7.6nz,

：.AC=AE=1±-X7.6七5.32m,

2

VCF=5.4,

BC=BF=返X5.4=3.78,“，

2

，AB=AC+BC=5.32+3.78=9.1,

.•.行车道宽=1"1=5m.

2

故答案为5.

15.解：由题意可得：,；AM=4米，ZMAD=45°,

：.DM=4m,

：AM=4米，AB=8米，

米，

VZA/BC=30°,

：.BC=2MC,

：.MC2+MB2^(2MC)2,

MC2+122=(2A/C)2,

；.MC=4«,

则DC=4百-4七2.9(米)，

故答案为：2.9.

16.解：作DW_LA8于M,如图所示：在RtZ\BCN中，BC=CN+cos37°=50+0.8=62.5

(cm),

：.BN=BC^in37°=62.5X0.80弋37.5(cm),

：.AN=AB+BN=34+37.5=11.5cm,

VZZ)AE=45°,ZBAE=90Q,

・・・ND4M=45°,

・・・△ADM是等腰直角三角形，

：.AM=DM=50cm,

：.CD=MN=AN-AM=7l,5-50^22(cm)；故答案为：22.

AE

17.解：如图，作OPJ_C。于P,OQ_LAM于Q,FK人OB于K,E/J_OC于人

VAMICD,

・・・NQMP=/MPO=NOQM=90。,

・・・四边形OQMP是矩形，

JQM=OP,

•・・OC=OO=10,NCOQ=60°，

•**/\COD是等边三角形，

OP工CD,

・・・NCOP=JLNCOO=30。,

2

・・・QM=。尸=OC・cos30°=5^3（分米），

VZAOC=ZQOP=9O0,

AZAOQ=ZCOP=30°，

.'.AQ=-^OA=5（分米），

2

：.AM=AQ+MQ=5+5y/3.

■:OB//CD,

：.ZBOD=ZODC=6Q°

在Rt/XOFK中，K0=。＞cos60°=2（分米），FK=O尸sin600=2«（分米）,

在Rt△尸KE中，EK=加「2-尸1（2=2^6（分米）

.\BE=10-2-2V6=（8-2加）（分米），

在RtZXOE/中，OJ=OF・cos60°=2（分米），々=2料（分米）,

在RtZ\E/E'中，E'J=正-）2=2遥,

：.B'E'=10-（2代-2）=12-2返，

：.B'E'-BE=4.

故答案为5+5\/§,4.

18.解：在RtZYDCB中，

：sin/£）CB=^=3,

DC5

设。B=3x,则。C=5x,

由勾股定理，得C8=4x,

；OC=5x=5,

•・X=1.

:.DB=3.

如图，过点E作EELA8于点反

VZ£AB=120°,

：.ZEAF=60°,

AAF=AE*cosZE/1F=2.6XA=1.3（米），

2

AFB=AF+AD+DB^1.3+2+3=63（米）,

钢结构的顶端E距离地面6.3米.

故答案为：6.3.

VZOEA^ZBOE^ZBA£=90°,

・・・四边形A80E是矩形,

：.ZOBA=W°,

：.ZDBO=150°-90°=60°,

・・・00=30・sin600=22«(cm),

：.DE=OD+OE=OD+AB^(22伤5)cm,

答：连杆端点。离桌面/的高度。E为(22/左5)cm；

(2)过点。作。。1/于£：,过点C作CG_LBH于G,CKLDE于K,如图3所示：

由题意得：BC=CD=22cm,HE=AB=5cm,CG=KH,NCBG=NABC-ZABH=150°

=90°=60°,

在RtZXCGB中，sin/C8G=^=^=返，

BC222

:.CG=11M(cm),

VZBCG=90Q-60°=30°,

：.ZDCK=\50°-90°-30°=30°,

在RtADCK中，$皿/。。长=迈=地=工，

DC222

，QK=11(.cm),

：.(225/34-5)-(11+11731-5)=(I1V3-11)(cm),

答：连杆端点。离桌面/的高度比原来降低了厘米.

图3图2

20.解：(1)在RtZXABC中，NABC=90°,NACB=60°,AB=15米,

BC=—_=4L=5V3?K-

tan60V3

在RtZ\AB。中，ZAB£>=90°,NA£>B=30°,

二8。=扬8=15百米，

.•.CZ)=8。-BC=10百和17.3米，

.♦.CD的长为17.3X;

(2)V30千米/小时=30000+3600=空米/秒，

3

而10百+2-8.66＞空，

3

汽车超速.

21.解：(1)过尸作F〃_LDE于，.:.NFHC=/FHD=90°.

VZFDC=30°,DF=30,

-FH-|DF=15^DH=2y-DF=15V3,

VZFCH=45°,

；.CH=FH=15,

/.CD=CH+DH=15+15V3，

VCE：CD=1：3,

•*-DE-|€D=20+20V3,

o

:AB=BC=DE,

AAC=(40+40/3)cir；

(2)过4作AGJLE。交E£＞的延长线于G,

VZACG=45°,

，AG乎AC=20M+20V^=20X1.41+20X2.45=77*77(cm)

答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为Fem.

图2

22.解：如图，过点B作交D4的延长线于点M,过点。作。N_L8C,交BC的

延长线于点N,

'：BC//AD,

AZABC=ZMAB=45°,

又,..NM8A=90°-NABC=45°,

:.MA=MB=DN,

又：A£>=3BC,BC=7,

：.AD=2\,

在Rt^CCN中，NDCN=30°,

：.CD=2DN,CW=FDN,

由MD=BN得,ON+21=7+A/^DN,

解得，£W=7扬7,

：.CD=2DN=14^14(米)

23.ft?：(1)如图2,过A作AMLOE,交的延长线于点M,过点C作CFLAM,垂足

为F,过点C作CNJ_OE,垂足为N,

由题意可知，AC=80,CD=80,ZDCB=80°,ZCDE=6Q°,

在RtZXCDN中，CN=CD,stnNCDE=80xB-=4W^nm=FM,