福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷

福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃

3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（）A． B． C． D．4．对任意实数，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数的大致图象是（）A． B．C． D．6．已知函数，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知，则（）A． B． C． D．8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．的解集为10．已知函数，则（）A．与的图象有相同的对称中心B．与的图象关于轴对称C．与的图象关于轴对称D．的解集为11．已知函数的定义域为，且，若，则（）A． B．关于中心对称C． D．函数有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12．已知复数满足，则______．13．已知，则的最小值为______．14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数为上的奇函数．（1）求；（2）若函数，讨论的极值．16．（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．17．（15分）在三棱锥中，底面，分别为的中点，为线段上一点．（1）求证：平面；（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．18．（17分）已知函数，其中是实数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若恒成立，求的最小值．19．（17分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．（1）若函数是偶函数，求的最小值；（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；（3）设函数，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的“级周期函数”，周期为T．请探究是否存在非零实数，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题12345678ACDCCDBD8．解：，即，易知，又，当且仅当时，等号成立．．故选D．二、多选题91011ACDABDBD11．解：令，则，又，故A错误；令，则，又，，再令，的图象关于中心对称，故B正确；由B得，当时，，故C错误；由B得，在时取到最大值，故D正确．三、填空题12．1；13．；14．14．解：设，则，，得，当单调递增，当单调递减，当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象，由，即，则恒过点，如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，，则，所以，综上可知，．故答案为：四、解答题15．（1）因为函数为上的奇函数，由，此时，显然为奇函数．所以（2）由（1）得：定义域为，，由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，；无极小值16．（1）因为，由余弦定理得，由正弦定理得，又是锐角三角形，所以，所以，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，所以，所以线段长的取值范围为17．（1）解法一：连接交与点0，则，，故，从而，从而，底面底面，又，故平面（1）解法二：连接，由分别为的中点，所以，，又因为，所以，故，从而，底面底面，又，故平面（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，因为平面底面，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，可得，令可得，设二面角为，则，故二面角的正弦值为．18．（1）当时，，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减；（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．在为负，为正，所以在单调递减，单调递增，（1）若在定义域内恒成立，只需，即，（2）若在定义域内恒成立，时，，故该情况无解．综上：．（3）若恒成立，则，当时，，即，下证成立，由得，恒成立，即，记，故，而，则，解得，只需证恒成立，，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，又在上为正，在上为负，在上为负，在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立，最小值为．19．解：（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为的最小正周期为，又的图象过点．因为函数是偶函数．的最小值．（2）由可得设，由与图象可知在共有8个交点．，同理，．（3）假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，则，恒有成立，则，恒有成立，当时，，则，