2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课后提升训练：3.1.1-椭圆及其标准方程

第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.已知方程x2k-4+y210A.(4,10) B.(7,10) C.(4,7) D.(4,+∞)解析依题意有k-4>10-k>0,解得7<k<10.答案B2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为()A.x24+B.y24C.y216+D.x216解析(方法1)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.(方法2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),则16m=1,4n答案D3.已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=(A.3 B.5 C.3 D.5解析因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选答案D4.已知F1,F2分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△A.10 B.12 C.16 D.20解析由椭圆x225+y29=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.答案D5.(多选题)椭圆x2m+y28A.12 B.10C.6 D.4解析因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.故m=4或12.答案AD6.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为()A.x28+B.x216C.x28+D.x216解析∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,∴a=2c.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=2c,a2故椭圆的方程为x28+答案A7.过点(3,-5),且与椭圆y225+x2解析椭圆y225+x29设椭圆方程为y2a2+则有a2-b2=16,①再代入点(3,-5),得5a2+由①②解得a2=20,b2=4.则所求椭圆方程为y220+答案y2208.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F解析由题知|PF1|+|PF2|=2a,设椭圆方程为x2a2+y2连接MO,当P不在x轴上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a>|F1O|),所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆.答案椭圆9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)经过两点(2,-2),-1解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x由椭圆的定义知2a=(4-所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2所以椭圆的标准方程为y236+(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y2a2+x由题意得18a2所以椭圆的标准方程为y236+(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2+y由已知条件得4a2所以所求椭圆的标准方程为x28+同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为x28+(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-2),-1,得4A+2所以所求椭圆的标准方程为x28+能力提升练1.F1是椭圆x29+y25=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则A.9-2 B.6-2C.3+2 D.6+2解析如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P',连接P'F1,PF2.∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF1|=6-|PF2|,∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|).根据三角形两边之差小于第三边,当点P位于P'时,|PA|-|PF2|最小,其值为-|AF2|=-2,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-2.答案B2.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则A.2 B.3 C.6 D.8解析由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),设y02=3OP·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=当x0=2时,OP·FP取得最大值为答案C3.(2020·山东潍坊模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A.圆 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆解析由题意知,M,F关于CD对称,所以|PF|=|PM|,故|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=R>|FO|,可知点P的轨迹是椭圆.答案D4.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()A.x236+y216=1C.x249+y224=1解析由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为x249答案C5.已知椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1解析由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.在△PF1F2中,cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2答案2120°6.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点A.x245+y236=1 C.x227+y218=1解析设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,∴x①-②,得(x1即b2a2∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2.而y1-y2x∴b2又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为x218+y29答案D7.(2020·山东烟台检测)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥P解析∵F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2,∴|PF1|+|PF2|=2a12|PF1||PF2|=9,∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3答案38.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.解当焦点在x轴上时,设其标准方程为x2a2+由椭圆过点P(3,0),知9a2+又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=当焦点在y轴上时,设其标准方程为y2a2+x由椭圆过点P(3,0),知0a2+又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281+故椭圆的标准方程为y281+x29=1或素养培优练1.(2020·河南郑州一中月考)已知椭圆x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点A(0,23),当△APFA.114 B.11C.214 D.解析由椭圆方程x29+y25=1,得a=3,b=5,c=a则△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|,当且仅当A,P,F'三点共线,且P在AF'的延长线上时取等号.∵A(0,23),F'(-2,0),∴直线AF'的方程为x-2+y23=1,即3由3x-y+23=0,x29+y∴点P的纵坐标为-53∴当△APF的周长最大时,该三角形的面积为12|FF'|·|yA-yP|=2×2答案D2.如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=20>12∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62