专题8.6 双曲线（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题8.6双曲线【十一大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1双曲线的定义及其应用】 4【题型2双曲线的标准方程】 5【题型3曲线方程与双曲线】 5【题型4求双曲线的轨迹方程】 6【题型5双曲线中焦点三角形问题】 7【题型6双曲线上点到焦点的距离及最值问题】 7【题型7双曲线中线段和、差的最值问题】 8【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】 8【题型9双曲线的简单几何性质问题】 9【题型10双曲线的实际应用问题】 10【题型11椭圆与双曲线综合】 111、双曲线考点要求真题统计考情分析(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程(2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)(3)了解双曲线的简单应用2023年新高考I卷：第16题，5分2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分2023年北京卷：第12题，5分2023年天津卷：第9题，5分2024年新高考I卷：第12题，5分2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.【知识点1双曲线及其性质】1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系3．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形标准方程范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b离心率渐近线方程4．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.【知识点2双曲线方程的求解方法】1．双曲线方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.【知识点3双曲线的焦点三角形的相关结论】1．双曲线的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用结论

若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为.【知识点4双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】1．求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【知识点5双曲线中的最值问题的解题策略】1．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【方法技巧与总结】1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0).【题型1双曲线的定义及其应用】【例1】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：x216−y29=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则“PF1=8”是“PF2A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，F1A．3c−a B．3c+a C．2c−a D．2c+a【变式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线C:x2a2−y216=1的左右焦点依次为F1，A．−6 B．6 C．8 D．10【变式1-3】（2024·四川达州·二模）设F1，F2是双曲线C：x24−y23=1的左、右焦点，过F2的直线与A．5 B．6 C．8 D．12【题型2双曲线的标准方程】【例2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线C经过点0,1，离心率为2，则C的标准方程为（

）A．x2−yC．y2−x【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A．x24−y2=1 B．x【变式2-2】（2024·湖南岳阳·一模）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（A．x2−yC．x23−【变式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A．x29−C．x26−【题型3曲线方程与双曲线】【例3】（2024·四川南充·二模）已知m，n是实数，则“mn<0”是“曲线mx2+ny2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-1】（23-24高二上·上海·期末）当ab<0时，方程ax2−aA．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线【变式3-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线C:x24+y2m=1(m≠0)，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“m>1”是“方程x2m−1−A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆F1:(x+4)2+A．x2−yC．x215−【变式4-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1F2=6，动点P满足A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所A,B，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是320m/s，在A哨所听到的爆炸声的时间比在B哨所听到时迟4s．若以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为A．x2435600−C．x2435600+【变式4-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：x+32+y2=1，圆N：x−32+y2A．x2−yC．x2−y【题型5双曲线中焦点三角形问题】【例5】（2024·四川成都·三模）设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的左，右焦点，点PA．43 B．37 C．4552【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知点A−2,0，A′2,0，动点P满足4kAP⋅kA′P=1，圆E：x2+y2=5与点A．5+6 C．5+26 【变式5-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）设F1，F2是双曲线C：x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点A．2 B．4 C．8 D．16【变式5-3】（2024·广西南宁·一模）设F1、F2是双曲线C:x28−y210=1的左、右两个焦点，A．5 B．8 C．10 D．12【题型6双曲线上点到焦点的距离及最值问题】【例6】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F，动点M在直线l:x=32上，线段FM交C于P点，过PA．62 B．33 C．63【变式6-1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知F1，F2为双曲线C:x24−y22A．16 B．18 C．8+42 D．【变式6-2】（2024·河南郑州·一模）设F1，F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点A．3−2 B．3+2 C．【变式6-3】（2024·山东日照·一模）过双曲线x24−y212=1的右支上一点P，分别向⊙C1:(x+4)A．28 B．29 C．30 D．32【题型7\t"/gzsx/zj165992/_blank"\o"利用定义求双曲线中线段和、差的最值"双曲线中线段和、差的最值问题】【例7】（2024·河南郑州·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y=±A．8 B．9 C．10 D．11【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设双曲线C：x2−y224=1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A．5 B．6 C．7 D．8【变式7-2】（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为F1，焦距为4，点A的坐标为(2,1)，P为双曲线右支上一动点，则PA．22 B．17 C．22+1【变式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点M1,2，点P是双曲线C：x24−y212=1左支上的动点，N是圆A．5−10 B．10−5 C．13−3【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】【例8】（2024·安徽·模拟预测）双曲线x2a2−yA．3 B．2 C．23 D．【变式8-1】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,A分别为E的右焦点和左顶点，点M−2,3A．3 B．2 C．62 D．【变式8-2】（2024·四川雅安·三模）设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点MA．3+12 B．3+1 C．2【变式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0上存在关于原点中心对称的两点A．2,+∞ B．3,+∞ C．【题型9双曲线的简单几何性质问题】【例9】（2024·福建福州·模拟预测）以y=±3x为渐近线的双曲线可以是（

）A．x23−C．y23−【变式9-1】（2024·湖南·三模）双曲线C:y2a2−x2A．−4 B．4 C．−2 D．2【变式9-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知双曲线方程为2x2−y2=λ（A．顶点坐标 B．焦距 C．离心率 D．渐近线方程【变式9-3】（2024·河北·模拟预测）双曲线Γ:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两焦点分别为F1,F2，过F2的直线与其一支交于A，B两点，点B在第四象限.以FA．y=±6x C．y=±63x【题型10双曲线的实际应用问题】【例10】（2024·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F

A．2 B．2 C．72 D．【变式10-1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB=205米，若水面上升5米，则水面宽为（

A．102米 B．152米 C．123【变式10-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（

）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离3403m B．东偏南45°方向，距离3403mC．西偏北45°方向，距离1703m D．东偏南45°方向，距离1703m【变式10-3】（23-24高二上·河南·阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为5022m，楼顶直径为506m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（A．350m B．375m C．400m D．450m【题型11椭圆与双曲线综合】【例11】（2024·四川乐山·三模）设双曲线C1:x2a2−y2=1(a>0)，椭圆A．28 B．24 C．22【变式11-1】（2024·山西太原·一模）设双曲线x2a2−y2b2=1（a、bA．37 B．713 C．32【变式11-2】（2024·山东菏泽·二模）已知e1,e2分别为椭圆x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)与双曲线C2:xA．2+34 B．2+32 C．一、单选题1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·陕西榆林·模拟预测）设F1，F2是双曲线C:x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点A．2 B．4 C．8 D．163．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为2,0，以线段FP为直径的圆与圆O:x2+y2A．x24−y23=1 B．4．（2024·天津南开·二模）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2A．x23−C．x29−5．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过坐标原点O的直线与双曲线C交于M,N两点，且点M在第一象限，满足OM=OF.若点A．52 B．102 C．226．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，点M在C上且MF⊥x轴，直线MA1，MA2A．y=±26x B．y=±210x C．7．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为0,−6，若动点P位于y轴右侧，且到两定点F1−3,0，F23,0的距离之差为定值4，则A．3+45 B．3+65 C．4+458．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：x22−y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上的一点，C在点P①直线F1P的斜率的取值范围是②点P到C的两条渐近线的距离之积为12③|PO|④PM=其中所有正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知曲线C的方程为x2a+A．当a<0时，曲线CB．当0<a<3时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆C．当a=3时，曲线C表示圆D．当a>3时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆10．（20