《双曲线的简单几何性质》教学设计

3/23选修1-12.2.2双曲线的简单几何性质（张远建）一、教学目标1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数间的关系（3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题．（4）了解直线与双曲线的位置关系3.学习重点双曲线的几何性质．4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1预习教材，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些性质?如何研究这些性质?任务2完成的练习2.预习自测1.已知双曲线的一个焦点为，则此双曲线的实轴长为（）A． B． C． D．答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2..已知双曲线的离心率为，则（）A． B． C． D．答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆和双曲线有共同的焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．不能确定答案：B解析：考查双曲线简单几何性质.（二）课堂设计1.知识回顾1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程为，焦点，其中；2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程为，焦点其中.3.相交于两点,则：或2.问题探究问题探究一双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程研究它的性质1．（1）从形的角度看：双曲线位于直线和的外侧，即在不等式与所表示的平面区域内.（2）从数的角度看：利用方程研究，双曲线上点的坐标满足，故，即或；这说明双曲线在不等式或与所表示的平面区域内.2.（1）从形的角度看：双曲线与椭圆一样，既是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在双曲线方程中，以－x、－y代替x、y方程不变，因此双曲线是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图象；也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心叫做双曲线的中心.3．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点是，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于,同时在另一条对称轴上作点，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，a、b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．4.双曲线各支向外延伸时，与两条直线y＝±eq\f(b,a)x逐渐接近，但永不相交，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，方程为y＝±eq\f(b,a)x.5．双曲线的半焦距c与实半轴长a的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是．问题探究二能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题例1.求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【知识点：双曲线的几何性质】详解：，顶点，焦点，实轴长，虚轴长离心率，在方程中将1换成0，得，即．∴为双曲线的渐近线方程．变式引伸：已知双曲线的渐近线方程为，并且焦点都在圆上，求双曲线方程．解法一：（1）当焦点在轴上时，设双曲线方程为，因为渐近线方程为，则．又由焦点在圆上知，所以，可求得，．所求双曲线方程为．（2）当焦点在轴上时，设双曲线方程为．由题设得，解得：．焦点在轴上时，双曲线方程为．综上所述，所求双曲线方程为或．解法二：因为双曲线的渐近线方程为．设双曲线方程为．又焦点都在圆上，所以．则．解得．所求双曲线方程为．即：．点拔：双曲线与其渐近线的关系是：以为渐近线的双曲线系方程为；双曲线的渐近线方程为．例2.求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程．【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】详解：设所求双曲线方程为，由于双曲线过点，有：．故双曲线方程为，即：．点拔：与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为的形式．当的值为正时，焦点在轴上，为负时焦点在轴上．例3.设双曲线的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．解：由直线过两点，得的方程为．由点到的距离为，得．将代入，平方后整理得：．令，则：，解得或．由得，．故或．因为，故．所以应舍去．故所求离心率为．点拔：此题易得出错误答案或，其原因是未注意到题设条件，从而离心率，而，应舍去．问题探究三直线与双曲线的位置关系1.设直线方程为，双曲线，联立方程得消去y并化简①当，即时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点.②当，即时，直线与双曲线相交直线与双曲线有两个公共点；直线与双曲线相切直线与双曲线有且只有一个公共点直线与双曲线相离直线与双曲线无公共点2.弦长问题设直线方程为，双曲线于点两点，则同理可得3.双曲线的通径过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦称为双曲线的通径，通径长为.例4.过点的直线与双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解一：设A、B的坐标分别为、．则：①②①－②得：．∵Ｐ是线段AB的中点，∴．∴．∴直线AB的斜率为2．∴直线AB的方程为．即．详解二：设A，则B．∵A、B为双曲线上的点，∴①②①－②得．整理得．例5.已知曲线C：及直线：．（1）若与C有两个不同的交点，求实数的取值范围；（2）若与C交于A、B两点，O是原点，且△OAB的面积为，求实数的值．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解：(1)曲线Ｃ与直线有两个不同的交点．则方程组有两个不同的解，整理得：，此方程必有两个不等的实根、．∴．解得且时，曲线C与直线有两个不同的交点．(2)设交点A、B，直线与轴交于点D（0,－1）．∴．∵．∴，即．解得或．又∵且，∴或时，△OAB的面积为．3.课堂总结【知识梳理】椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下椭圆双曲线方程图形范围对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点对称轴：轴、轴对称中心：原点顶点轴长长轴长，短轴长实轴长虚轴长离心率渐近线无有两条，其方程为【重难点突破】1．双曲线的渐近线(1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲线时应先画出它的渐近线．(2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．(3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“”用“”替换得出的两条直线方程，即双曲线的渐近线方程为即；双曲线的渐近线方程为，即.(5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为的双曲线方程可设为：如果两条渐近线的方程为那么双曲线的方程可设为与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为2．双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足称为双曲线的特征三角形．(2)焦点过作渐近线的垂线，垂足为，则|亦是直角三角形，满足也称为双曲线的特征三角形．3．学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；(2)双曲线只有两个顶点，离心率；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中的等量关系与椭圆中的不同．4.随堂检测1.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（）A． B． C． D．答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2.已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3.已知双曲线的焦点、顶点恰好分别是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】4.过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于A、B两点，若，则这样的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条．答案：C解析：【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的标准方程及几何性位置】5.已知分别为双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距，且方程无实根，则双曲线离心率的取值范围是()A． B．C． D．答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】由已知.（三）课后作业基础型自在突破1.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.B.3C.4D.2答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质】4．中心在原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（）A． B．C． D．答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】5.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A. B.C. D.答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，圆的几何性质】6．双曲线的两焦点分别为，以为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为()A．1＋eq\r(3) B．4＋2eq\r(3)C．2eq\r(3)－2 D．2eq\r(3)＋2解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】答案：A能力型师生共研7．设分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为()A． B． C． D．答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】8.双曲线与直线没有公共点，则的取值范围是______________．答案：解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】9.设，则双曲线的离心率的取值范围是_________.答案：解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】10.求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为，由于双曲线过点，有：．故双曲线方程为，即：．探究型多维突破11.已知F1和F2是双曲线的左，右焦点，P在双曲线右支上，且，求双曲线的离心率的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】点在双曲线右支上，故有所以当且仅当三点共线时取等号．所以即，双曲线的离心率.所以双曲线离心率的取值范围为.12.设双曲线：（）与直线：相交于不同的两点、．(1)求双曲线的离心率的取值范围；(2)设直线与轴的交点为，且．求的值．答案：见解析解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】(1)由与直线相交于不同的两点、得方程：有两个不同的实数解．消去并整理得．①所以解得且．双曲线的离心率．∵且，∴且．(2)设，，．∵，∴由此得．由于、是方程①的两根，且，所以，．消去得，由得．(四)自助餐1．双曲线的渐近线方程是（）A． B．C． D．答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．已知点在双曲线上，则到双曲线焦点距离的最小值是（）A．9 B．3 C．2 D．无最大值和最小值答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条答案：A解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】4.若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为（）A． B． C． D．答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】5.双曲线的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是（）A． B． C． D．答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】6．已知双曲线的离心率，A与F分别是左顶点和右焦点，B点的坐标为，则∠ABF等于（）A． B． C． D．答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】7.若过双曲线的右焦点，作直线与双曲线的两支都相交，则直线的倾斜角的取值范围是______________.答案：解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】8.双曲线上有点，、是双曲线的焦点，且，则△的面积是__________．答案：解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】9．已知为过双曲线的一个焦点且垂直于实轴的弦，是另一个焦点，若，则双曲线的离心率为__________．答案：解析：【知识点：双曲线的几何性质】10.若双曲线的渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的标准方程.答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为分讨论，焦点在轴上双曲线标准方程为，焦点在轴上双曲线标准方程为11．已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为，且过点．（1