高考2023人教A版高中数学变式题14 空间向量的应用

第一章空间向量与立体几何

L4空间向量的应用

L4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

例1如图147在长方体ABC。—A181GA中，AB=4,BC=3,CG=2,M是

AB的中点.以。为原点，DA,DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系.

(1)求平面BCC圈当的法向量；

(2)求平面MCA的法向量.

分析：(1)平面BCG片与)，轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA可以看成

由MC，M41，CA中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量

积运算求得法向量.

解：(1)因为)，轴垂直于平面BCC石，所以力=(0,1,0)是平面3CG四的一个法向量.

(2)因为A〃=4，8c=3,CG=2,M是的中点，所以M,C，A的坐标分别为

(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此

MC=(-3,2,0),%=(0,-2,2).

设%=(x,y,z)是平面MCA的法向量，则

%±MC，%±.

所以

nMC=-3x+2y=0,

<2

叼•=-2y+2z=0.

所以

[kZ.

取z=3,则x=2,y=3.于是%二（2,3,3）是平面MCA的一个法向量.

练习

1.空间中点、直线和平面的向量表示

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内打7'',错误的打“X”

（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（）

（2）若。是直线/的方向向量，则%<4ER）也是直线/的方向向量；（）

（3）在空间直角坐标系中，/=（0。1）是坐标平面Oxy的一个法向

量.（）

【答案】①②.x③Z

【解析】

【分析】根据零向量的方向不确定可判断（1）,由2=0可判断（2）,由平面。孙

可判断（3）.

【详解】（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，

正确；

（2）当2=0时，=0，所以R）不一定是直线/的方向向量，不正确；

（3）在空间直角坐标系中，；=（0,0,1）,平面。勺，所以j=（0,0,l）是坐标平

面Oxy的一个法向量，正确.

2.在平行六面体ABCD-AgCQ中，AB=afAD=b,AA）=cf。是BD1与

与。的交点.以｛兄。,c｝为空间的一个基底，求直线。4的一个方向向量.

1-1-1-

【答案】—a—b—c

222

【解析】

【分析】依题意就是用表示OA，根据空间向量的线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为A6=〃，AD=b，A4,=W,如图。4=08+84=3。力+84

=g(AA+A，+砌+BA

因为"A=_AZ)=_/?,AiA=—AA]=—Ct

所以OA=g(_Zj_c+4)_q=_g〃_；Zj_gc

所以直线04的一个方向向量为-

222

3.在长方体A8CO-A&GA中，4B=4,BC=3,CC1=2.以。为原点，以

。4；。。,；。与｝为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系。肛z,求

平面AC。的一个法向量.

【答案】(4,3,6)(答案不唯一)

【解析】

m-AC=0

【分析】求得ACA。坐标，设出法向量，根据，1…展。即可求解

【详解】由题可得C(0,4,0),A(3,0,0),〃(0,0,2),

则AC=(-3,4,0),AA=(-3,0,2),

设平面ACDi的一个法向量为机=(x,y,z),

mAC=-3x+4y=0人/口r/

则,令尤=4,得y=3,z=6,

m-AD1=-3x+2z=0

则平面AC。的一个法向量为(4,3,6).

2.空间中直线、平面的平行

例2证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平

行，则这两个平面平行.

已知：如图1411,au。,bu/3,af\b=Palia,blla.

f

求证：alIp.

分析：设平面。的法向量为〃，直线小心的方向向量分别为:，v，则由已知条件可得

由此可以证明〃与平面£内的任意一个向量垂直，即〃也是夕的法向

量.

证明：如图1.4-11,取平面a的法向量〃，直线小。的方向向量：，V.

因为a//a,blla»所以〃£=0，〃.j=o.

因为au/7,bup,aC\b=P,

所以对任意点Qw)，存在k,ywR,使得-Q=+

从而w-PQ=n(XM+yv)=xnu+ynv=0.

所以，向量〃也是平面月的法向量.故

倒3如图1.4-12,在长方体ABC。—44GA中，AB=4,BC=3,CC]=2.线段

上是否存在点P,使得弓尸〃平面AC"?

分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量4。，以

及平面AC。的法向量〃等都可以用坐标表示，如果点p存在，那么就有〃•AP=O,由

此通过向量的坐标运算可得结果.

解：以。为原点，DA,DC,。乌所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立如图1412所

示的空间直角坐标系.因为4C,R的坐标分别为(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),所以

AC=(-3,4,0),AD1=(-3,0,2).

1uuu-■

设〃=(x,y,z)是平面4cA的法向量，则九AC=0，〃-AR=0,即

一3x+4y=0,

-3x+2z=0.

2

x=4z，

所以J；

尸产

取z=6,则x=4,y=3.所以，〃=(4,3,6)是平面4。9的一个法向量.

由A，C,用的坐标分别为(3,0,2),(0,4,0),(3,4,2),得人4=(0,4,0),

4d=(-3,0,-2).设点产满足&户啜丸1),则与尸=(一340,—2团，所以

AP=Ag+gP=(-32,4,-22).

令〃-AP=0,得一124+12-12/1=0,解得/l=g,这样的点P存在.

所以，当RA=；BC，即P为4。的中点时，4尸//平面4cA.

4

练习

4.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内

的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】先写出已知求证，再利用向量的数量积运算以及线面平行的定义即可证出.

【详解】已知：直线。,力，平面allb.

求证：alia.

证明：设直线b的方向向量分别为平面。的一个法向量为〃，

因为a//b,所以由于〃_Lu,所以〃”=0,即有〃•〃=/1〃•□=(),亦即

因为a(za,所以。//a.

5.如图，在四面体ABCQ中，E是BC的中点.直线A。上是否存在点F,使得

AEHCF2

【答案】不存在，证明见解析.

【解析】

【分析】把向量AH和CF都用同一组基底来表示，然后根据向量平行的条件来证明

不存在.

【详解】假设直线AD上存在点F使AE//CF,设A尸=/LAO(OK/lKl),

—1—1—1-1-

AB=a,AC=b,AD=c»因为E是BC的中点，所以AE=—AB+—AC=—a+—b,

2222

CF=AF-AC=AAD-AC=lc-b^若AE//CF,则斗£二£尸，

即+=/n(4c—8)，所以^^+^方二”沈^一相人，即

1.(\\-

—a+—+mb-mAc=0,

2【2)

所以＜g+，〃=0,此时显然不成立，所以不存在点F,使得4E//CF.

mA=0

6.如图，在正方体A5CO—ABGA中，E,尸分别是面A片,面AG的中心.求

【解析】

【分析】以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面ACR的一个法向量，利用向量

关系即可证明.

【详解】如图，以。为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则A(2,0,0),C(0,2,0)，A(0,0,2),E(2』』)/(l/,2),

则AC=(-2,2,0),AR=(-2,0,2)，所,

设平面ACD,的一个法向量为G=(x,y,z),

,fn-AC=0f-2x+2y=0

则sZ即,「A-令x=L贝何得〃=。』，1，

l〃AQ]=0[-2x+2z=0

EF-/?=0»EF±n，

EFZ平面ACR,，平面AC0.

例4如图1414,在平行六面体ABC。-AqGR中，AB=AD=AA,=｝f

^A,AB=ZA.AD=ZBAD=609,求证：直线A。，平面80〃耳.

图1.4-14

分析：根据条件，可以｛4B，AD，叫｝为基底，并用基向量表示4。和平面

BDDM,再通过向量运算证明4。是平面30A用的法向量即可.

证明：设=AD=b，A4j=c，则｛〃，b，C)为空间的一个基底，且

A1C=a+b—c>BD=b—a,BB、=c.

因为48=40=4^=1，幺48=幺A。=NBA。=60。，所以

222rrrrrri

a=b~=c=bab=bc=ca=—.

在平面上，取BO，BBi为基向量,则对于平面B。。用上任意一点p,存在唯

一的有序实数对(4〃)，使得

BP=ABD+RBB\.

所以，

AC8尸=44。BD+"4。阴

=4（。+/?-c）•（力-a）+〃（〃+〃-c）•c=0.

所以Ad是平面3。。内的法向量.

所以A0_L平面3。。中.

例5证明“平面与平面垂直的判定定理“：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面

垂直.

图1.4-15

已知：如图1415,/_La,lu°,

求证：aVp.

证明：取直线/的方向向量：，平面£的法向量G.

因为/J_a,所以：是平面a的法向量.

因为/u/7,而〃是平面尸的法向量，所以

所以尸.

练习

7.已知〃=（3,4+4。一城〃,北2是直线/的方向向量，〃=（1,2,3）是平面a的法

向量.

（1）若///a,求小〃的关系式；

（2）若/J.a,求m。的值.

153

【答案】（1）5a-Z?+3=0；（2）a=—,b=一一.

22

【解析】

【分析】（1）由〃/a得所以N•方=。，进而可得结果；

（2）由/，。得///济所以?=孚二",进而解得。，氏

123

【详解】(1)由〃/a得〃_L〃，所以"•”=(),即3xl+(a+/?)x2+(a—b)x3=0,

整理得5。-6+3=0；

(2)由Ua得〃//”，所以3=字=三2，解得a=孕，/>=4.

12322

8.已知正方体ABCO-AqG。的棱长为1，以。为原点，｛。儿力COR｝为单位正

交基底建立空间直角坐标系.求证：A。，8G.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】用基底表示出向量AGBG,证明ACBG=O.

【详解】由题意，A.C=DC-DA.=DC-DA-DD^

BC｝=DC/DB=DD「DA,

所以ACBq=DCDD「DD\DA-DD：-DADC+DX+DADD,=0

所以

9.如图，在长方体48co—4片Gj中，AB=2,BC-CC.-1,E是CZ)的中

点，了是8c的中点.求证：平面平面

PiG

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证

明即可；

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则E(OJO),A(l,0,0),D,(0,0,1),

呜，2,0),AE=(-1,1,O),ED；=(O,-U),济=设面以口的法向量

nAE=O1Iy'令E’则…=1，所以〃=(山)；

为〃=(x,y,z),则，,即,

〃皿=0

3。即,—x+y=0&…

设面EF。的法向量为m=(x,),,z),贝小2,令x=2,则

m・ED]=0

-y+z=O

y=z=-\,所以〃7=(2,；

因为〃加=2乂1+1x(-1)+1入(-1)=0,所以〃_L团

所以平面EAR1平面EFDi.

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

例6如图1418在棱长为1的正方体ABC。-A4GA中，E为线段A片的中点，尸为

线段A8的中点.

图1.4-18

(1)求点B到直线AG的距离；

(2)求直线尸C到平面的距离.

分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法

向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离.

解：以。I为原点，RA，Dg,力］。所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-18

所示的空间直角坐标系，则4L0」)，仇1,1,1),C(0,l,l),C,(0,1,0),

尸(1，,1),所以

AB=(0,1,0),AC1=(-1,1,-1),=f0,—1j,

所以，点8到直线AC；的距离为

一(〃.〃)2=半.

(2)因为FC=EC1=(-1，,0卜所以尸C//EG，所以小〃平面AEC一所以点尸

到平面AEQ的距离即为直线FC到平面AEQ的距离.

设平面AEG的法向量为〃=«y，z)，则

小AE=O,

V

n-EC\=0.

所以

；y-z=0,

-x+—y=0.

2

所以

x=z,

y=2z.

取z=l，则x=l，y=2,所以，〃二(1,2,1)是平面AEG的一个法向量•

又因为AF=fo,1,OL所以点尸到平面AE&的距离为

•川二「2'二…

||限6

即直线R7到平面AEG的距离为渔.

6

练习

10.在棱长为1的正方体ABC。-ABCiA中，点4到平面8。的距离等于

：直线0c到平面八四的距离等于；平面到平面的距

离等于.

【答案】①.1②.1③.1

【解析】

【分析】根据点面距、线面距、面面距的定义及正方体的性质计算可得；

【详解】解：在棱长为1的正方体45CO-A旦CQ中，ABJL面BC，所以|A3|即

为点A到平面&C的距离，故点A到平面用。的距离为1,因为。C7/AB,ABi面

4A,面与A,所以面4A,所以即为直线OC到平面A片的距离,

故直线OC到平面A片的距离为1,又平面0A〃平面C4,所以平面到平面

的距离为1

故答案为：1,1,1

11.如图，在棱长为1的正方体旦GA中，E为线段。A的中点，F为线

段5胃的中点.

（1）求点A到直线的距离；

（2）求直线FG到直线从七的距离；

（3）求点A到平面A&E的距离；

（4）求直线尸G到平面的距离.

【答案】（1）好；（2）叵；（3）］；（4）i

3533

【解析】

【分析】（1）建立坐标系，求出向量A瓦在单位向量〃=1;上的投影，结合勾股

定理可得点A到直线与七的距离；

（2）先证明AE〃/G，再转化为点尸到直线AE的距离求解；

（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；

（4）把直线尸G到平面AgE的距离转化为G到平面A5避的距离，利用法向量进

行求解.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A。,0,1）,四（1,1,1）,E（o,0,1）,F（l,1,g）,G（0,1,1）,A。,0,0）.

（1）

iRF22]

因为与£=（—1,一1,一不）,〃=苔=（—£,一£,一£）,Ag二（0,1,0）,

2\B}E\533

-----2

所以44・〃=一§.

所以点A到直线的距离为JAB：_（A4・〃）2==乎.

（2）因为A£=（T,0，）,尸C=（—l,0,；）,所以A左〃”t；，即AE〃F£,

所以点F到直线AE的距离即为直线FC,到直线AE的距离.

AE_z2有旧、—rni1\

u=-----=(1,n。,A产二°5，

\AE\

-25-

A4F=-,AF-u=

410

所以直线FC、到直线AE的距离为

(3)设平面的一个法向量为〃=(x,y,z),

A百=(0,1,1),AE=(一1,0,g),A4,=(0,0,1).

n-AB{=y+z=0,

由《1

n-AE=-x+—z=0,

2

令z=2,则>=-2,尢=1,即〃=(1,一2,2).

设点A到平面ABIE的距离为d,

IM-/?I22

则1=匚3=即点A到平面AqE的距离为1.

W33

(4)因为AE〃尸C，所以尸G〃平面4片E,

所以直线FC,到平面AB.E的距离等于G到平面ABE的距离.

C禺=(1,0,0),由(3)得平而ABE的一个法向量为〃=(1,一2,2),

所以C到平面AB避的距离为

3

所以直线FC,到平面AB.E的距离为g.

12.如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面RC用的

距离.

【答案】3

3

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为再由

\DCn\

d=可得解.

【详解】

如图所示建立空间直角坐标系,

A(1,0,1),3(1,1,0),0(0,0,0),C(0,l,0),

DA=(1,0,1),DB=(1,1,0),DC=(0,1,0)

设平面的法向量为〃=a），,z）,

n-DA.=x+z=0.4人….

则,不妨令x=l,则y=-l,z=-l,

n-DB=x+y=0

所以—,

所以平面AOB与平面RCM间的距离d=此二1=-^=—

同63

例7如图1.4-19,在校长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCO中，M,N分别

为BC,AO的中点，求直线A"和CN夹角的余弦值.

图1.4-19

分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化向量MA与CN的余弦值.为此需要把

向量MA，CN用适当的基底表示出来，进而求得向量MA，CN夹角的余弦值.

解：

化为向量问题

如图1.4-19,以｛CA，CB，C。｝作为基底.则

MA=CA-CM=CA--CB,CN=-(CA+CD).

22

设向量CN与MA夹角为。，则直线AM和CN夹角的余弦值等于Icos91.

进行向量运算

CN.M4=；(CA+CO).(CA_；C8)

1-2111

=-CA——CACB+-CDCA——CDCB

2424

又eABC和A4CD均为等边三角形，所以|MA|=|CN|=N2.

—x—

22

回到圆形问题

2

所以直线AM和CN夹角余弦值为§.

例8图1422,在直三棱柱ABC-AgG中，AC=CB=2,M=3,N4CB=90。,

产为8c的中点，点。，R分别在棱A4，8与上，AiQ=2AQ,BR=2RB、.求平面

PQR与平面A4G夹角的余弦值•

图1.4-22

分析：因为平面PQR与平面ABG的夹角可以转化为平面PQR与平面AB©的法向量

的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可.

解：化为向量问题

以G为原点，GA，G4，所在直线为％轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空

UUU

间直角坐标系.设平面的法向量为％,平面PQR的法向量为％，则平面PQR与

UUU

平面A4G的夹角就是々与〃2的夹角或其补角.

进行向量运算

因为C.C1平面AB©,所以平面AB£的一个法向量为q=(0,0,1).

根据所建立的空间直角坐标系，可知尸(0,1,3),0(2,0,2),/?(0,2,1).所以

Pg=(2,-1,-1),P/?=(0,l,-2).设%=(x,y,z),则

辰PQ=0,

[n2PR=^

2x-y-z=0,

y-2z=0,

3

x=­z,

所以J2

y=2z.

取”=(3,4,2),则

/y%(0,0,1)・[3,4,2)二2万

cos(晨Q=

匐.同一~lx标~

回到图形问题

设平面PQR与平面A4G的夹角为。，则

25/29

cos0=cos

29

即平面P0R与平面AqG的夹角的余弦值为汉区.

29

练习

13.在直三棱柱AiBiG-ABC中,NBCA直三,Di,B分别是A曲,AiCi的中点,

BC=CA=CCi,贝ijBDi与AFi所成角的余弦值是（）

Ax/30R£「同n屏

A.--------D.l?・--------U・--------

1021510

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设3C=C4=CG=1,

则A(l,0,1),B(0,1,1),尸/J,。,。

IZZ7IZ

八

••・皿（\让-1丁卜

46=卜；，0，-1），

/.|cos<BDeAFx>|=

3

4闻

故选：A.

14.附，PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60。，那么直线

PC与平面附8所成角的余弦值是（）.

2/3

BTDT

【答案】C

【解析】

【分析】过PC上一点。作平面AM,则NDPO就是直线M与平面以A所

成的角.能证明点。在NAP8的平分线上，通过解直角三角形PE。、DOP,求出直

线PC与平面办8所成角的余弦值.

【详解】解：在PC上任取一点。并作。。_L平面A尸8,则NOP。就是直线尸。与

平面所成的角.

过点。作OE_LB4,OFLPB,因为。O_L平面APB,则OE_LB4,DF±PB.

△DEP^ADFP,:.EP=FP,工△OEP空△OFP,

因为N4PC=NBPC=60°,所以点。在NAP8的平分线上，即NOPE=30°.

设PE=1,VZOPE=30°：・OP=—--二冬叵

cos30°3

在直角△「£!）中，ZDPE=60°,PE=1,则PO=2.

在直角△OOP中，0尸=三以，PD=2.WJcosZDPO=—=-^

3PD3

即直线PC与平面所成角的余弦值是史.

3

c

15.如图，正三棱柱ABC-A4G的所有棱长都为2,求平面AAB与平面A8G夹

角的余弦值.

【答案】且

7

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求解平面AA］与平面48G的法向量，利用法向量

求解夹角的余弦值.

【详解】因为正三棱柱ABC-A4G的所有棱长均为2,取的中点O,则AOJ.8C

所以AO_L平面8BCC.

取的中点〃，所以A。,80,。〃两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间

直角坐标系.

则4(0,0,6),5(1,0,0),A(0,2,6),G(T，2,0),

所以AB=(1,0,—g),M=(0,2,0),BC=(-2,2,0),萩=(-1,2,后).

%•AB=x(-\/^Z\=0,

设平面44,8的一个法向量为％=(x，y,zj,则・

n]-A4]=2y=0,

令4=1得"=(>/3,0,1).

同理可得平面A/G的一个法向量为%=(x/3,73,-1).

■2币

cos〈〃]，丐〉=­!~4=---尸=—­

|勺11&12x777

设平面ARB与平面ABG夹角为e,易知。为锐角，贝hos0=|cos〈用,£〉|=,，

即平面A48与平面A8G夹角的余弦值为3.

16.如图，上ABC和△O8C所在平面垂直，且A8=BC=3O,

NCBA=NDBC=120°.求：

(1)直线AO与直线3C所成角的大小;

（2）直线AQ与平面3c。所成角的大小；

（3）平面人3£）和平面5。。的夹角的余弦值.

【答案】（1）90°（2）45°（3）日

【解析】

【分析】（1）作40J-8C于点。，连。。，以点。为原点，OD,OC,OA的方向分

别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角;

（2）显然平面BCQ的一个法向量为々=（0,0,1）,利用空间向量法求出线面角；

U111

（3）求出平面CB。的一个法向量为々以及平面AB。的一个法向量为乙，求出

两法向量的余弦值的绝对值即为平面A8。和平面8OC的夹角的余弦值.

【详解】解：设AB=1,作AO_LBC于点。，连。。，以点。为原点，OD,OC,

OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标:

0(0,0,0),D—,0,0,cfo,-,o小。,。当

2\2JI22

(1)AZ)=,0,-,BC=(0,1,0)

AD.BC=苧0,-苧40,1,0）=0,所以AO与8c所成角等于90°.

显然勺二（0,0,1）为平面BCZ）的一个法向量

・・・，直线AO与平面BCD所成角的大小45。

（3）设平面A3。的法向量为%=（x,y,z）则A5=0,一＞—

2

1V3n

【端，即，

?「?「，令则

所以z=l,x=l,y=

——x-------z=0

22

则心（1,石,1）

设平面43。和平面3QC的夹角为。，贝lj|cosq=।_।_6

|njx同lx百5

因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为好.

例9图1423为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平

面的法向量的夹角均为30。.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉刀大小相同.求降落

伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N）.

图1.4-23

分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大

小.8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相

反向量.

解：如图1.4-24,设水平面的单位法向量为九，其中每一根绳子的拉力均为凡因为

〈〃,尸〉二30。，所以尸在〃上的投影向量为等所以8根绳子拉力的合力

七二8x|白尸卜=4百|用".

又因为降落伞匀速下落，所以

I七RG礼物|=lx9.8=9.8(N).

所以

|4x/3|F|/i|=9.8

所以

图1.4-24

例10如图1.4-25,在四棱锥P-ABCZ)中，底面A3CD是正方形，侧棱9_L底面

ABCD,PD=DC,E是尸。的中点，作EFtPB交PB于点F.

图1.4-25

(1)求证：PA//面EDB；

(2)求证：依_|_平面EFZ)；

(3)求平面CP8与平面P8D的夹角的大小.

分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角.这些

问题都可以利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂宜于底面，

可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进

而解决问题.

解：以。为原点，DA,DC,。尸所在直线分别为x轴、），轴、z轴，建立如图1426所

示的空间直角坐标系，设。C=l.

图1.4-26

（I）证明：连接AC,交8。十点G,连接KG.

依题意得4Lo,o）,P（O,O,I）,E|O11|.

I22）

因为底面ABC。是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为且

UU-f1\\

EG七,0,一3）

所以P4=2EG，PAI/EG.

而EGu平面ED8,且尸ACT平面瓦）8,因此平面瓦）8.

（2）证明：依题意得

3（1,1,0）,PB=（1,1,-1）.

PBDE=0+---=0.

22

所以m_L0E.

由已知斯J_PB，且EFcDE=E.

所以尸8_L平面EF。.

（3）解：已知PB上EF,由（2）可知。尸，故NEED是平面CP8与平面

的夹角.

设点F的坐标为(x,y9z),则PF=(x,y,z-1)

因为P^=kPB，所以

(x,y9z-l)=k(l,1,-1)={kyk,-k),即1=女，y=k,z=l-k.

设PBDF=O,则

(kfk,l-k)=k+k-l+k=3k-l=0.

1一(112、

所以力=三，点尸的坐标为4G，金，

又点E的坐标为0,L所以

22)

H3S61

FEFD3,6，6)(3，3，3)二］

所以cosZ.EFD=-

1FE\-\FD\~旦显~2

~TXV

所以NEED=60。，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°.

练习

17.如图，二面角2-/一尸的棱上有两个点4.B,线段3。与AC分别在这个二面

角的两个面内，并且都垂直于棱/.若45=4,AC=6,BO=8,CD=2V17,

求平面。与平面月的夹角.

【答案】J

【解析】

【分析】利用向量求解，CO=E+AB+BO,两边平方可求平面a与平面夕的夹

角.

【详解】设平面。与平面6的夹角为巴

由0=场+通+万方可得

CD=[CA+AB^BD^=CA+AB?+BD2+2CAAB+2AB-BD+2CA-BD

=36+16+64+2同阿际停,B£>)

=116-96cos夕

1jr

所以COS6=5,即平面。与平面夕的夹角为

18.如图，在三棱锥A—BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N

分别是A。，8c的中点.求异面直线AN,CM所成角的余弦值.

【答案】J

O

【解析】

【分析】连结ND,取ND的中点E,连结ME,推导出异面直线AN,CM所成角

就是NEMC,利用余弦定理解三角形，能求出结果.

【详解】连结N。，取NO的中点E,连结ME,

则ME//AN,.•.NEMC是异面直线AN,CM所成的角，

.AN=242>:.ME=yli=EN，MC=2五，

又•.硒_LNC，,.EC=>IEN2+NC2=>/3，

.・"MC=EM、MC*=2广3工,

2EMxMC2xV2x2V28

7

，异面直线AN,CM所成的角的余弦值为丁.

8

19.如图，在三棱锥O-ABC中，04,OB,0C两两垂直，OA=OC=3f

0B=2.求直线08与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】晅

17

【解析】

【分析】构建以。为原点，03,0C,O4为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，

写出AB、AC.。8的坐标，进而求面A8C的法向量加，根据直线方向向量与平面

法向量夹角与线面角的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线0B与平面

ABC所成角的正弦值.

【详解】构建以。为原点，。氏OCQA为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，

如下图示，

Bl二

.・・A(0,0,3),5(2,0,0),C(0,3,0),则AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3),

08=(2,0,0),

AB-w=2x-3z=0

若,〃=(x,y,z)是平面A6C的个法向量，贝ij..，令y=l,则

ACfn=3y-3z=0

3

加=(］』/)，

,755—山OBin3_3拒

...|cos<",m>\=\J。州川1==下一，故直线OB与平面ABC所成角的

2x-----

2

正弦值为亚.

17

习题1.4

复习巩固

20.如图，在三棱锥A—8CD中，E是CO的中点，点尸在AE上，且

EF=2FA.设5c=〃，BD=b，BA=c求直线AE,B尸的方向向量.

【答案】直线的方向向量。+b+4c

AE+"-2c,直线3尸的方向向量B/=

26

【解析】

【分析】由己知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得AO、

AC,即可求AE，再由EF=2必知而二刍二，即可求BE.

3

【详解】在△84。中，BD=b，BA=c则AO=BO-R4=b-c，

在△BAC中，BC=a，BA=cAC=BC-BA=a-c

・・,在△DAC中，E是CD的中点，

・•.++)-2c,而M=2E4,即4/二延=4+刃—2c,

2236

a-\-b-2c_a+b+4c

・••在4£4厂中,BF=BA十AF=c+

66

・•・直线4E,BF的方向向量分别为4E="+"-2c〃+力+4c

26

21.如图，在直三棱柱ABC—AqG中，ABVAC,AB=AC=\,M=2.以A

为原点，建立如图所示空间直角坐标系.

（1）求平面BCC圈的一个法向量；

（2）求平面ABC的一个法向量.

【答案】（1）〃=。［,0）；⑵旭=（2,2,1）.

【解析】

HIMIUCHI

【分析】⑴求出平面内的两个向量3C=（-1,1,0）,=（0,0,2）,然后利用法向量

与这两个向量的数量积都为0来求法向量:

⑵求出平面内的两个向量BC=(TJO),%=(-1,0,2),然后利用法向量与这两

个向量的数量积都为0来求法向量.

【详解】易知30,0,0),C(0,l,0),4(1,0,2),4(0。2).

uuuuuu

(l)BC=(-l,l,0),BBi=(0,0,2),

设面BCCg的法向量为〃=(%，x，zj,则，〃，二:，

n-BB[=0

-x+y.=0

即〈:n，取玉=y=i，4=o,则〃=(zi,i,o),

所以平面BCC^的一个法向量为〃=(1,1,0)；

UUU一

(2)Z?C-(-1,1,0),BA.=(-1,0,2),

设面ABC的法向量为根=(/,%，22),贝,

[m-BA1=0

-x,+必=0

即1/八，取七=必=2*2=1,则777=z(2,2,1),

-x,+2z,=0'

所以平面ABC的一个法向量为加=(2,2,1)

22.如图，在平行六面体ABC。-4gGA中，E是A3的中点，尸是a。的中

点.求证：\EHCF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】取A4的中点为G,根据几何体的特征分别得到8G//b,AENBG,从

而得证.

取4M的中点为G,则根据平行六面体的特征可得4G//C/,B}G=C}Ff

所以四边形BfiFC,为平行四边形，则BCJIGF,与G=GF,

又因为BCJ/BC,B£i=BC,

所以GF//BC,GF=BC,

所以四边形GR%为平行四边形，

所以BG//CF,

又因为A\G//EB,Afi=EB，所以四边形AEBG为平行四边形.

所以AE//BG,进而AE//C尸.

23.如图，在四面体A8CZ）中，A£>_L平面BCD,M是AO的中点，尸是的中

点，点。在线段AC上，且40=3QC.求证：PQ"平面BCD.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】要证线面平行，需找线线平行，取8。中点。，且P是8M中点，取CQ的

四等分点〃，使DH=3CH,且AQ=3QC通过四边形OP0H为平行四边形及线面

平行的判定定理即得结论.

【详解】证明：如图所示，取B。中点O,且P是3M中点，

:.PO//MD且尸。二,MO,

2

取C。的四等分点从使。"=3C",且AQ