数学自主广场：向量的分解与向量的坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.0是平行四边形ABCD对角线的交点，下列各组向量中可作为这个平行四边形所在平面,表示它的所有向量的基底的是（)①与②与③与④与A.①②B.①③C。①④D.③④思路解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底。通过画图可得：①与不共线；②=-,则∥；③与不共线；④=—,则∥。于是仅①③可以构成平面内所有向量的基底。答案：B2.如图2-2-4，矩形ABCD中，若=5e1,=3e2，则图2-2-4A.(5e1+3e2)B.(5e1—3e2)C.(3e2+5e1）D。(5e2—3e1)思路解析：用，表示，再代入向量和的值即可.==（)=(+）=()=（5e1+3e2）。答案:A3。（2006山东高考卷，理5）设向量a=（1,—3)，b=(—2,4)，c=(-1,-2），若表示向量4a,4b—2c,2(a-A.（2,6）B.(-2，6)C。（2，—6）D.(—2,-6）思路解析：由题意，得4a+4b-2c+2（a—答案：D4。M为△ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC、AB、AC的中点，则等于()A.6B.-6C.0D。6思路解析：如图2-2—5所示，设MB的中点为P，连结DP、PE,得平行四边形MDPE,取向量,为一组基底，则有=2=2（+），=-2,=-2，则有=0。图2答案:C5。在△ABC中，已知A(2，3），B(8,-4）,G（2，—1)是中线AD上一点，且｜|=2|｜，则点C的坐标为()A.（—4,2)B。(—4，—2）C.（4，-2)D。（4，2）思路解析：思路一:设C点坐标为(x,y)，则线段BC的中点D(）.由｜|=2｜｜，得点G分有向线段AD的比为λ=2。则有2=解得即C(—4,-2).思路二：由||=2｜|，知G是△ABC的重心，由三角形重心坐标公式得方程，再解方程得坐标.答案：B6。已知向量a=（1，2），b=(—3,2)且向量ka+b与lb+a平行，则实数k，l满足的关系式为（）A。kl=—1B。k+l=0C。l-k=0思路解析:∵ka+b=（k-3,2k+2)，lb+a=（-3l+1，2l+2），∴（k-3)(2l+2）-(2k+2)（-3l整理得kl=1.答案:D7。（2004安徽春季高考卷，文4）已知向量a=（1,2），b=（2,3)，c=（3,4),且c=λ1a+λ2b，则λ1、λ2A。-2、1B.1、-2C。2、—1思路解析:转化为解方程组求得.λ1a+λ2b=λ1（1,2）+λ2(2,3）=（λ1+2λ2,2λ1+3λ2则解得λ1=—1，λ2=2。答案:D8.若a=（—1，x)与b=（-x，2）共线且方向相同,则x=_________________.思路解析:∵a与b共线，∴—2+x2=0.∴x=±.当x=时，a=(—1，），b=（—，2）=2(—1，)，即此时a与b同向；当x=—时,a=(—1,—）,b=(，2）=2（1,)=—（—1,-），即此时a、b反向.答案：29。已知向量=(6，1)，=（x,y）,=(—2，-3）,当∥时，求实数x、y应满足的关系。思路分析：利用向量共线的坐标表示.解：由题意,得=—=—()=-［（6，1)+（x,y)+(—2，—3)]=(—x—4，-y+2)，=(x,y）,又∵∥,∴x（-y+2）—y·(—x—4）=0。解得y=—x，即x，y应满足y=-x.我综合我发展10.已知a=（1，2），b=（-3,2),当k为何值时，ka+b与a—3b平行？平行时,它们是同向还是反向？思路分析：ka+b与a—3b平行，可以利用它们之间的线性关系，找到系数λ；还可以利用两向量平行坐标的关系直接求k。解法一：由题意,得ka+b=k（1,2）+（-3，2）=(k—3，2k+2），a-3b=(1，2）-3（-3，2）=(10，—4).又ka+b与a-3b平行，则存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b），由（k—3,2k+2）=λ(10，-4)，∴解得k=—,λ=-.∴当k=—时,ka+b与a—3b平行。∵k=-＜0，∴ka+b与a—3b反向.解法二：由解法一知ka+b=(k-3，2k+2)，a—3b=（10,—4)。∵(ka+b)∥（a—3b），∴(k—3)×(-4)—10×（2k+2)=0。解得k=—。此时ka+b=（——3，-+2）=（-,)=—（10,-4)=—（a—3b).∴当k=—时,ka+b与a-3b平行并且反向。11.已知a=(x1，y1)，b=（x2，y2)且a≠0，b≠0，ab,求证:(a+b）（a-b).思路分析：证明向量不平行，可以采用反证的思想方法。证明:假设(a+b）∥（a-b),∵a+b=(x1+x2,y1+y2）,a—b=（x1-x2,y1-y2),∴(x1+x2)(y1-y2）-(y1+y2）(x1-x2）=0.∴x1y1+x2y1-x1y2—x2y2—x1y1-x1y2+x2y1+x2y2=0。∴2（x2y1-x1y2)=0,即x1y2-x2y1=0。∵a≠0，b≠0，∴a∥b,这与已知ab矛盾.∴假设不成立。故(a+b）（a-b).12.如图2-图2思路分析：本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情形分别求解。解：（1)当平行四边形为ABCD时，因为,所以(4，1)=（x+2,y—1)，即x=2，y=2，即D(2，2).(2)当平行四边形为ACDB时，因为，所以(-1,-2）=(3—x，4—y)，即x=4,y=6,即D（4，6）.（3）当平行四边形为DACB时，因为,所以（—2-x，1—y)=（4,1)。所以x=—6,y=0，即D(-6，0)。13.已知点O(0,0），A(1，2），B(4,5)及=+t，求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上?P在第二象限?（2）四边形OABP能否构成平行四边形?若能，求出相应的t值；若不能,请说明理由.思路分析:首先把向量表示为坐标的形式，再利用点在x轴上、y轴上、第二象限内的特征,得到坐标的条件；要看四边形OABP能否构成平行四边形，就要看能否找到t，使，即对边所在的直线平行且相等。解：(1）+t=(1+3t,2+3t)。