山东省平阴县第一中学2025届高二数学第一学期期末经典试题含解析

山东省平阴县第一中学2025届高二数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知动点满足，则动点的轨迹是（）A.椭圆 B.直线C.线段 D.圆2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生数为（）A.10 B.15C.20 D.303．设等差数列的前n项和为，若，，则（）A.60 B.80C.90 D.1004．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的说法正确的是（）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.可以既是等差数列又是等比数列D.可以既不是等差数列又不是等比数列5．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为A.1 B.2C.3 D.46．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（）A.2 B.C.4 D.7．直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为（）A B.C. D.8．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则的坐标是（）A. B.C. D.10．已知四面体中，，若该四面体的外接球的球心为，则的面积为（）A. B.C. D.11．抛物线焦点坐标为（）A. B.C. D.12．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，，…，为抛物线：上的点，为抛物线的焦点．在等比数列中，，，，…，．则的横坐标为__________14．，成立为真命题，则实数的取值范围______.15．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________.16．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，分别过曲线上的两点，做曲线的两条切线，且交于点，与直线交于两点（1）求曲线的方程；（2）求面积的最小值.18．（12分）直线：和：（1）若两直线垂直，求m的值；（2）若两直线平行，求平行线间的距离19．（12分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图,是平行四边形，已知，,平面平面.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.22．（10分）某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中的a值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数（单位：人）；（2）估计该市居民月均用水量的众数和中位数

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.故选：2、C【解析】根据抽取比例乘以即可求解.【详解】由题意可得应从高三年级抽取的学生数为，故选：C.3、D【解析】由题设条件求出，从而可求.【详解】设公差为，因为，，故，解得，故，故选：D.4、D【解析】由已知可得或，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案【详解】由，得或，即或，若，则数列是等差数列，则B错误；若，当时，数列是等差数列，当时，数列是等比数列，则A错误数列是等差数列，也可以是等比数列；由，不能得到数列为非0常数列，则不可以既是等差又是等比数列，则C错误；可以既不是等差又不是等比数列，如1，3，5，10，20，，故D正确；故选：D5、A【解析】延长交延长线于N,则选:A.【点睛】涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义.6、D【解析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.【详解】由题意可知是等腰直角三角形，，其原图形是，，，，则，故选：D.7、D【解析】根据题意作出示意图，根据圆的性质以及直线的倾斜角求解出的长度，再根据椭圆的定义求解出的关系，则椭圆离心率可求.【详解】设椭圆的左右焦点分别为，如下图：因为以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，所以且，所以，又因为的倾斜角为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：D.8、B【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.9、C【解析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是故选：C10、C【解析】根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可.【详解】由图设点为中点，连接，由，所以，面，则面，且，所以球心面，所以平面与球面的截面为大圆，延长线与此大圆交于点.在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圆半径为，设三角形的外接圆圆心为点，则面，有，则，设的外接圆圆心为点，则面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圆半径为，所以，又三角形中，，所以为的角平分线，则，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中点，由，所以，故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键.11、C【解析】由抛物线方程确定焦点位置，确定焦参数，得焦点坐标【详解】抛物线的焦点在轴正半轴，，，，因此焦点坐标为故选：C12、A【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以锐角，所以为锐角三角形.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用在抛物线上可求得，结合等比数列的公比可求得，利用抛物线的焦半径公式即可求得结果.【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线；数列为等比数列，又，，公比，，即，解得：，即的横坐标为.故答案为：.14、.【解析】根据题意转化为，恒成立，得到，即可求解.【详解】由题意，命题，成立为真命题，即，恒成立，当时，，所以，即实数的取值范围.故答案为：.15、【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极小值，，如图所示：由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.16、2【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，设，，则，∴，∴.故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意可得化简可得答案；（2）求出、方程并得到、点坐标，再联立，方程求出交点和、点到的距离，可得，设，与抛物线方程联立利用韦达定理得到，设，记，利用导数可得答案..【小问1详解】由题意可知：，即：化简得：；【小问2详解】由题意可知：，，，过点的切线斜率为，方程为：①，令，，则，同理：方程为：②，，联立①②得：，的交点，，点到的距离，所以③，设：，则，整理得，所以，由韦达定理得：，，代入③式得：，设，记，则，令得（舍负），时，单调递减：时，单调递增，所以，当且仅当时的最小值为.18、（1）；（2）【解析】（1）由直线一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直线一般方程的平行公式，求得，再由平行线的距离公式，即得解.【小问1详解】∵两直线垂直，∴，解得【小问2详解】∵两直线平行，∴，解得或1，经过验证时两条直线重合，舍去．∴可得：直线：，：∴两直线间的距离19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，∴，.∵三棱锥和的体积比为，∴，∴，∴.设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.20、(1)见解析;(2).【解析】（1）推导出，取BC的中点F，连结EF，可推出，从而平面，进而，由此得到平面，从而；（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值【详解】（1）∵是平行四边形，且∴，故，即取BC的中点F，连结EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则∴设平面的法向量为，则，即得平面一个法向量为由（1）知平面，所以可设平面的法向量为设平面与平面所成二面角的平面角为，则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论21、（1）（2）【解析】（1）求出后可得椭圆的方程.（2）联立直线的方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可用表示，利用换元法和二次函数的性质可求的取值范围.小问1详解】由题意可得，解得，.故椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设，，.联立，整理得，则，解得，从而，.因为M是线段PQ的中点，所以，则，故.直线的方程为，即.令，得，则，所以.设，则，故.因为，所以，所以.22、（1）a0.3，72000人；（2）众数2.25；中位数2.04.【解析】（1）根据所