第三章　函数的概念与性质 B素养拓展区（ 一遍过·数学必修第一册RJA）（已核）

数学·必修第一册·RJA第三章函数的概念与性质

本章主要介绍了函数的概念、图象和性质,并通过对函数的单调性、奇偶性的研究,进一步理解数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想.过素养部分通过函数图象的对称性的判断和新定义问题,考查同学们分析问题、解决问题的能力,有利于培养直观想象、数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.

答案

答案

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3.[“数学抽象、逻辑推理”素养]设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x0∈(0,1),使得f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,1]上单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x0为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.求证:给定一个[0,1]上的单峰函数f(x),对任意的x1,x2∈(0,1),且x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x1,1)为含峰区间.答案3.【证明】

设x0为f(x)的峰点,则由单峰函数的定义,可知f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,1]上单调递减.当f(x1)≥f(x2)时,假设x0∉(0,x2),则0<x1<x2≤x0,从而f(x0)≥f(x2)>f(x1),这与f(x1)≥f(x2)矛盾,所以x0∈(0,x2),即(0,x2)是含峰区间.当f(x1)≤f(x2)时,假设x0∉(x1,1),则x0≤x1<x2<1,从而f(x0)≥f(x1)>f(x2),这与f(x1)≤f(x2)矛盾,所以x0∈(x1,1),即(x1,1)是含峰区间.

答案

2.已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2,0],若k∈(0,1),则函数F(x)=f(x-k)+f(x+k)的定义域为(

)A.[k-1,1-k] B.[-k-1,1+k]C.[k-1,1+k] D.[-k-1,1-k]答案

3.[2019浙江杭州高三(上)第一次教学质量检测]已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,它们的部分图象如图所示,则f(x)g(x)的图象大致是(

)答案3.C

【解析】

由题意,得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).令F(x)=f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),所以函数F(x)=f(x)g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A,B.又由函数f(x),g(x)的图象可知,当x>0时,f(x)>0,g(x)>0,所以F(x)>0,可排除D,故选C.4.[2019山西忻州一中期中考试]已知函数f(x)=-x5-3x3-5x+3,若f(a)+f(a-2)>6,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,1) B.(-∞,3)C.(1,+∞) D.(3,+∞)答案4.A

【解析】

设g(x)=f(x)-3,则g(x)为奇函数,且在R上单调递减,又f(a)+f(a-2)>6可化为f(a)-3>-f(a-2)+3=-[f(a-2)-3]=f(2-a)-3,即g(a)>g(2-a),∴a<2-a,∴a<1.

答案

6.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值8,则在(-∞,0)上F(x)有(

)A.最小值-8 B.最大值-8C.最小值-6 D.最小值-4答案6.D

【解析】

设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),∴F(-x)=f(-x)+g(-x)+2≤8,且存在x0∈(0,+∞)使得F(x0)=8.∵f(x),g(x)都是奇函数,∴f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]≤6,∴f(x)+g(x)≥-6,∴F(x)=f(x)+g(x)+2≥-4,且存在x∈(-∞,0)使得F(x)=-4.∴F(x)在(-∞,0)上有最小值-4.

答案

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二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.[2020山东滨州期中考试]函数y=f(x)的图象如图所示,则下列选项中正确的是(

)

A.函数f(x)的定义域为[-4,4)B.函数f(x)的值域为[0,+∞)C.此函数在定义域内是增函数D.对于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自变量x与之对应答案9.BD

【解析】

由题图可知,函数f(x)的定义域为[-4,0]∪[1,4),故A错误;函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确;函数f(x)在定义域内不单调,故C错误;对于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自变量x与之对应,故D正确.故选BD.10.[2020浙江杭州二中模考]若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则(

)A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数答案10.AC

【解析】

∵f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1)

①,f(-x+2)=-f(x+2)

②,由①可得f(-(x+1)+1)=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2)

③,由②③可得f(-x)=f(-x+2),即f(x)=f(x+2),∴f(x)为奇函数,∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数,∴f(x+4)=f(x+2),f(x+4)为奇函数.故选AC.

答案

答案

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数f(x)=xα,x∈(-1,0)∪(0,1),若不等式f(x)>|x|恒成立,则在α∈{-2,-1,0,1,2}的条件下,α可以取值的个数是

.

答案13.2

【解析】

因为x∈(-1,0)∪(0,1),所以0<|x|<1.当α=-1,1时,f(x)=xα>|x|显然是不恒成立的;当α=0时,f(x)=1>|x|;当α=2时,f(x)=x2=|x|2<|x|;当α=-2时,f(x)=x-2=|x|-2>1>|x|.综上,α可以取值为0或-2,共2个.14.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R)对任意的实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则实数b的取值范围是

.

答案14.(-∞,-1)∪(2,+∞)

【解析】

由题意,知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=2,所以f(x)=-x2+2x+b2-b+1=-(x-1)2+b2-b+2,则f(x)在[-1,1]上单调递增,所以当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,只需f(-1)>0,即b2-b-2>0,即(b+1)(b-2)>0,所以b<-1或b>2.

答案

16.[2019江西临川一中高一(上)期末考试]已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=

.

答案16.-16

【解析】

f(x)=[x-(a+2)]2-4-4a,g(x)=-[x-(a-2)]2+12-4a.由f(x)=g(x),解得x=a+2或x=a-2.又H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},∴H1(x)的最小值A=-4-4a,H2(x)的最大值B=12-4a,∴A-B=(-4-4a)-(12-4a)=-16.

答案17.【解析】

答案一

(1)选择条件①④为已知条件.(1分)因为m∈{x|-2<x<2,x∈Z},所以m=-1,0,1.(2分)因为对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3分)当m=-1时,f(x)=x2,只满足条件①,不满足条件④;当m=1时,f(x)=x0=1(x≠0),既不满足条件④,也不满足条件①;当m=0时,f(x)=x3,条件①④都满足.因此m=0,f(x)=x3.(6分)(2)由(1)知f(x)=x3在区间[0,3]上单调递增,所以0≤f(x)≤27,故当x∈[0,3]时,f(x)的值域为[0,27].(10分)答案答案二

(1)选择条件①③为已知条件.(1分)因为m∈{x|-2<x<2,x∈Z},所以m=-1,0,1.(2分)因为对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(3分)当m=-1时,f(x)=x2,条件①③都满足;当m=1时,f(x)=x0=1(x≠0),只满足条件③,不满足条件①;当m=0时,f(x)=x3,只满足条件①,不满足条件③.因此m=-1,f(x)=x2.(6分)(2)由(1)知f(x)=x2在区间[0,3]上单调递增,所以0≤f(x)≤9,故当x∈[0,3]时,f(x)的值域为[0,9].(10分)(其余答案均不得分)18.(12分)[2019浙江嘉兴一中高一月考]已知函数f(x)=x2+bx+c.(1)若f(x)为偶函数,且f(1)=0,求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值;(2)要使函数f(x)在区间[-1,3]上单调,求实数b的取值范围.答案

答案19.【解析】

(1)令x=-1,y=1,则f(0)-f(1)=-2,∴f(0)=-2.(3分)(2)令y=0,则f(x)-f(0)=x(x+1).(