3.9 切线长定理（B卷能力拓展） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.9切线长定理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．（2021—2022湖北武汉实外九年级阶段练习）如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（）A． B．2 C．2 D．3【答案】C【分析】根据切线长定理可得，、、，再根据∠F＝60°，可知为等边三角形，，再△FDE的周长为12，可得，求得，再作，即可求解．【详解】解：FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，则：、、，，∵∠F＝60°，∴为等边三角形，，∵△FDE的周长为12，即，∴，即，作，如下图：则，，∴，设，则，由勾股定理可得：，解得，，故选C【点睛】此题考查了圆的有关性质，切线的性质、切线长定理，垂径定理以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．2．（2021·四川泸州·中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是A． B． C． D．【答案】A【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC=8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD=10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，由此即可求得．【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt△DGC中，CD=10，∴，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∴CD=DE+CE=AD+BC=10，∴AD+BG+GC=10，∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，∵OA=OB，∴△HAO≌△BCO，∴AH=BC=8，∵AD=2，∴HD=AH+AD=10；在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，∴，∵AD∥BC，∴△DHF∽△BCF，∴，∴，解得，．故选A．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．3．（广东深圳中考二模）如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E，△PCD的周长为20，sin∠APB＝，则⊙O的半径()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．已知PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E,根据切线的性质定理及切线长定理可得∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，由△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝20，可求得PA＝PB＝10，由sin∠APB＝可得sin∠PFB==，即=，即可求得AF＝，在Rt△AOF中，由tan∠AOF=tan∠BPF==即可求得OA的长.【详解】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，∵△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝20，∴PA＝PB＝10，∵sin∠APB＝，∴sin∠PFB==，∴=，解得：AF＝，在Rt△AOF中，tan∠AOF=tan∠BPF==，∴，∴OA＝5，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理及锐角三角函数的知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键.4．（2021—2022浙江杭州九年级阶段练习）在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（）A．104 B．116 C．120 D．100【答案】B【分析】设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解．【详解】解：设的中点为，连接、，如下图：则，根据题意可得，，的最大值，即是的最大值又∵点M在以半径为2的⊙D上运动∴的最大值由勾股定理可得：∴的最大值为7∴的最大值为故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出的最大值是解题的关键．5．如图，在矩形中，，，点在上，圆与相切，与相交于点，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据切线的性质，过点O分别作垂线，构造直角三角形，利用△ABC～△AGO，对应边成比例可求出OG，AG，再利用勾股定理求出FK，最后根据垂径定理求出EF即可．【详解】解：如图，过点O作OK⊥AD，OG⊥AB，垂足为K、G，延长KO交BC于点H，∵AB、BC与⊙O相切，OG=OH，∴四边形OGBH是正方形，∴OG∥BC，∴△ABC～△AGO，∴，设正方形OGBH的边长为x，则，解得x=，∴OK=AG=3-=，在Rt△OKF中，由勾股定理得，，又∵OK⊥EF，∴，故选：D．【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定和性质以及垂径定理，掌握切线的性质、垂径定理和相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（）A．7 B．5 C． D．【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．二、填空题7．（2021—2022山东临沂九年级期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点、，过劣弧不包括端点、上任一点作的切线，与、分别交于点、，，，则的周长为______．【答案】【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．【详解】解：如图，连接、，在中，，设内切圆半径为，、为的切线，，，又，，四边形为正方形，，由切线长定理得：，，，，，解得，则的周长为，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、切线的性质定理、切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长将三角形的周长化成两条切线长，再转化为半径进行求解．8．（2021·浙江绍兴·中考一模）如图，在中，交，于点，，与的内切圆相切．若的周长为12，则的最大值为______．【答案】【分析】由切线长性质可得BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，设BC＝x，MN＝y，可得△AMN的周长＝12﹣2x，由相似三角形的性质可得y与x的函数解析式，再根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，∴设BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y∵△ABC周长为12∴AB+AC+BC＝12∴AE+AF＝12﹣2x，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC∴，∴，∴y＝﹣x2+x=﹣（x-3）2+，故的最大值为；故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出△AMN的周长，利用相似三角形的性质得出二次函数解析式是本题的关键．9．如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PB＋2PC的最小值为________．【答案】【分析】如图，连接交于点，延长交于点，取的中点，连接，，，，首先证明，得到，所以，而（当且仅当、P、共线时取等号），从而计算出得到的最小值．【详解】如图，连接交于点，延长交于点，取的中点，连接，，，，为的内切圆，，是等边三角形，，，，在中，，，，，，，，，，，的最小值为的长度，的最小值为的长度，，，，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是利用相似比确定线段．10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③【解析】连接OE，CE，∵OE=OD，PE=PF，∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，∵OD⊥BC，∴∠ODE+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠PFE，∴∠OED+∠PEF=90°，即OE⊥PE，∵点E⊙O上，∴PE为⊙O的切线；故①正确；∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴∠AEC=90°∵∠ACB=90°，∴AC是⊙O的切线，∴EG=CG，∴∠GCE=∠GEC，∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，∴∠A=∠AEG，∴AG=EG，∴AG=CG，即G为AC的中点；故②正确；∵OC=OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG∥AB，即OG∥BE，故③正确；在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，但∠POE不一定等于∠ABC，∴∠A不一定等于∠P．故④错误．故答案为①②③．三、解答题11．（2021—2022湖北武汉市九年级阶段练习）已知，分别与相切于点A，B，连接．

（1）如图1，交于点C，D为的中点，求证：CDPA；（2）如图2，交于点E，于点F，若，的半径为，求的长．【答案】（1）见解析；（2）EF=2-2．【分析】（1）根据切线长定理得到PA=PB，∠OPA=∠OPB，根据垂径定理得到BC=CA，根据三角形中位线定理证明结论；（2）连接OB，根据勾股定理求出OP，证明△PEF∽△POB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】（1）证明：∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，∴BC=CA，又D为PB的中点，∴CD是△PAB的中位线，∴CD∥PA；（2）解：连接OB，

∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∴PB=PA=4，OB⊥PB，由勾股定理得，OP==10，∴PE=10-2，∵EF⊥PB，OB⊥PB，∴EF∥OB，∴△PEF∽△POB，∴，即，解得，EF=2-2．【点睛】本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．12．（2021·山东高唐·中考一模）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．（1）求证：直线与相切；（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义即可得．【详解】（1）如图，过点作于点∵，∴，即又∵平分，∴即OE是的半径∴直线与相切；（2）如图，连接，延长交延长线于点由圆周角定理得：，是的直径，，AD、BC都是的切线由切线长定理得：∵∴在和中，∴∴设，则在和中，，即解得在中，则．【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．13．（2022·湖北丹江口·九年级期末）如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，CE切⊙O于点E，D是CE延长线上一点，DE=DA.（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若直径AB=12，BC=x，AD=y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图2，过点E作EH⊥AB于点H，已知AD=4，BC=9，求EH的长.【答案】（1）见解析；（2）；（3）；【分析】（1）先证明△AOD≌△EOD，可得∠OAD=∠OED，由切线的性质可证∠OED=90°，然后根据切线的判定方法证明即可；（2）证明△EOD∽△ECO，可得OE2=DE·CE=AD·BC，由切线长定理可得DE=AD=y，CE=BC=x，代入整理即可；（3）作DF⊥BC于F，由切线长定理可证DE=AD=4，CE=CB=9，由EG//CF，求出GE的长，进而可求出EH的长．【详解】解：（1）证明：如图，连接OE，OD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD，∴∠OAD=∠OED，∵CE切⊙O于点E，∴∠OED=90°，∴∠OAD=90°，∴AD与⊙O相切；．（2）如图，连接OC，OD，OE，∵△AOD≌△EOD，∴∠AOD=∠DOE，同理可证∠BOC=∠COE，∴∠DOE+∠COE=90°，∵CE切⊙O于点E，∴∠CEO=∠DEO=90°，∴∠OCE+∠COE=90°，∴∠OCE=∠DOE，∴△EOD∽△ECO，∴，∴OE2=DE·CE=AD·BC，∵AD，CE，BC是圆的切线，∴DE=AD=y，CE=BC=x，∵AB=12，∴OE=6，∴xy=36，即；（3）如图，作DF⊥BC于F，设DF交EH于点G，则四边形ABFD、四边形AHGD是矩形，∴HG=AD=BF=4，CF=CB-BF=CB-AD=5，AD//HG//BC．∵AD，CE，BC是圆的切线，∴DE=AD=4，CE=CB=9，∴CD=CE+DE=CB+AD=13，∵EG//CF，∴，GE=，∴EH=GH+GE=4+=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，矩形的判定与性质，切线的证明方法，以及切线长定理等知识，难度较大，属中考压轴题．14．（2021—2022福建长汀九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，连接BD，∠BDE=∠A，⊙O的半径r=．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若，求线段CD的长；（3）过点D作DH⊥BC于H，直接写出DB-DH的最大值．【答案】（1）直线DE与⊙O相切；理由见解析；（2）；（3）DB-DH的最大值为．【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答案；（2）得出△BCD∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长．（3），作，作点关于的对称点，连接连接，则，即当三点共线时取得最大值，根据切线长定理以及对称性质可得，进而可得，即可求得即的最大值．【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵OA=OD∴∠ODA=∠A又∵∠BDE=∠A∴∠ODA=∠BDE∵AB是⊙O直径∴∠ADB=90°即∠ODA+∠ODB=90°∴∠BDE+∠ODB=90°∴∠ODE=90°∴OD⊥DE∴DE与⊙O相切；（2）∵r=，∴AB=，在Rt△ABC中∵tanA=∴BC=AB•tanA=×，∴AC=，∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB∴△BCD∽△ACB∴∴CD=．(3)如图，作，作点关于的对称点，连接连接，当三点共线时取得最大值，如图，则，则是的切线，是的切线，，对称，，，是直径，即的最大值为【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，勾股定理及相似三角形的判定与性质，第三问中添加辅助线使用对称性和切线长定理结合求得最值是解题的关键．15．（2021—2022湖北武汉市九年级阶段练习）如图1，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，PA＝PB，弦AB与PC交于点M（1）求证：PB是⊙O的切线（2）连接BC，若∠APB＝4∠BPC，AP＝6，求BC的长（3）如图2，若AB＝4BM，求的值（4）如图3，若AP＝AC，PO与AB交于点D，PC与⊙O交于点N，连接DN，则＝_____【答案】（1）见解析；（2）6；（3）；（4）【分析】（1）连接BO,PO，PA为⊙O的切线，PA＝PB，OA＝OB，根据等边对等角，进而可得∠PBO＝∠PAO＝90°，即可证明是的切线；（2）连接PO，根据切线长定理可得，根据角度的换算可得∠3＝∠4，进而可得；（3）连接PO交AB于点Q，连接BO、BC，证明△PQM≌△CBM（ASA），，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的