九年级数学教案6 反比例函数与二次函数（一）

第六讲反比例函数与二次函数（一）

［教学内容］

《佳一动态数学思维》春季版，九年级第六讲“反比例函数与二次函数（一）”.

［教学目标］

知识技能

1.理解反比例函数中k的意义，会根据已知条件确定反比例函数的解析式；

2.掌握反比例函数的图象特征、性质，能够应用反比例函数的图象和性质解决一些简单的问题;

3.能够利用反比例函数解决简单实际问题；

4.掌握二次函数解析式的三种表达形式、图像特征及性质，会用待定系数法求二次函数的解析

式，进一步巩固加深对函数图象平移规律的理解.

数学思考

1.通过用反比例函数和二次函数表述数量关系得过程，体会模型的思想，建立符号意识；

2.在研究点在平面直角坐标系中的运动，进一步发展空间观念；

3.独立思考，体会类比、数形结合等思想方法.

问题解决

1.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握

分析问题和解决问题的一些基本方法.

2.在与他人合作和交流的过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.

情感态度

1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界.

2.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好

数学的信心.

［教学重点、难点］

重点：反比例函数、二次函数的图形特征及性质，利用待定系数发求反比例函数和二次函数的解

析式

难点：反比例函数和二次函数字母系数的含义，函数图象的平移规律

［教学准备］

动画多媒体语言课件

第一课时

教学路径

导入

师：上节课我们主要复习了一次函数的知识，接下来的两次课我们将一起来复

反比例函数和二次函数的内容.下面我们首先来看一个问题：

启动性问题

如图所示，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反

比例函数图象传递.动点T（机，〃）表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M

点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束.迎圣火临时指挥部设在坐

标原点。（北京路与奥运路的十字路口），0AT3为少先队员鲜花方阵，方阵始终保

持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）.

你能知道图中反比例函数的关系式吗？

答案：图中反比例函数的关系式为丫=史&.

X

考点29反比例函数的图象与性质

师：大家一起先来回顾下反比例函数的概念、图象特征和性质.

回顾：

L反比例函数的概念：（下一步）形如尸工（原0,左为常数）的函数叫做反比例函

X

数.（下一步）

自变量的取值范围：（下一步）x不等于0的一切实数.（下一步）

反比例函数y=K的变式：丫=依“或xy=Z（际0）.

x

2.反比例函数的图象与性质（下一步）

反比例函数y=&（原0）的图象：（下一步）双曲线，且关于原点对称.

X

反比例函数产工（厚0）的性质:（下一步）

函数SS所在象限性质

一、三象限

Q0在每个象限内，V随区人X人增日大，而减■/队小

Jo-1-1-T*1%J”1J

（同号）

—k(!^/(\\x,y

X

二、四象限

k<0在每个象限内，y随x增大而增大

（x,y异号）

师：下面我们就一起来看几道例题.

初步性问题

探究类型之一反比例函数的图象与性质

例1已知反比例函数y=-Z图象上三个点的坐标分别是A（-2,y）,8（-1,”），

X

C（2,j3）»能正确反映yi,”，然的大小关系的是（）

A.y>y2>>3B.yi>y3>>2

C.V2>Vi>V3D.y2>v3>yi

师：如何比较函数值的大小？

生：（预设）因为解析式已知，可以直接将自变量的值代入求出函数值比较大小.

师：非常好，还有其他方法吗？

生：（预设）根据反比例函数的性质进行比较.

师：非常好，还有其他方法吗？

生：（预设）数形结合，根据反比例函数的图像比较函数值的大小.

师：很好，（1）比较反比例函数值的大小，在同一象限内根据反比例函数的性质比

较.（2）在不同象限内，不能按其性质比较，y值的大小只能根据k值特征确定.最

后要注意数形结合.

解析:

777

方法一：将点A,B,C的坐标分别代入）；=-」，得y产!，”=7,y3=--,所

x22

以）2>）1>丫3；（下一步）

7

方法二：反比例函数产-'中％=-7<0,函数图象在第二、四象限，在每一个象

x

限内，y随x的增大而增大;（下一步）

又A（-2,yi）,B（~l,V2）在第二象限，所以”〉yi>0,而。（2,心）在第

四象限，所以>3<0，综合可知y2>y\>>'3.

注：数形结合，（这里有个动图）

答案：c

类似性问题

1.函数y=2x与函数y=m在同一坐标系中的大致图象是（）

解析：

函数y=2x的图象在第一、三象限，函数丫=^的图象在第二、四象限，故选B.

X

3

2.若点A（l,%）,5（2,”）是双曲线产之上的点,则yi”（填“〈”或“=”）.

x

解析:

T.3

方法一：将点A,8的坐标代入旷=二，得yi=3,”=一，所以">”；（卜一步）

x2

方法二：攵=3>0,函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减

小，因为1<2,所以P>处（下一步）

注：数形结合.（这里有个动图）

初步性问题

探究类型之二坐标平面内点的特征

例2一次函数产气+力的图象与反比例函数产丝的图象交于点A(2,1),B(-l,

X

〃)两点.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)求一次函数的解析式；

解析：

待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式：

(1)把A(2,1)代入产‘求处(下一步)

X

(2)先把B(-1,")代入(1)中求出的解析式求n,再把4(2,1),

代入y=kx+b求匕Z?的值.

答案：

解：(1)把A(2,1)代入y=%,得1=',即加=2.

x2

2

所以反比例函数的解析式为产

X

2

(2)把8(—1,n)代入尸一，得〃二-2,所以8(—1,-2).

x

把点A(2,1),3(—1,-2)代入产区+。，得产+1解得

-k+b=-2,[b=-l.

所以一次函数的解析式为y=x-L

(3)求△A08的面积.

解析：

割补法求面积:

方法一：

S^AOB=S^BOD^S/\COD^S^AOC

或S&AOB=SABOD+SMOD

或SdAOB=SMOC+S&BOC；(下■*步)

方法二：

过A点作x轴的垂线，垂足为E,过8点作y轴的垂线，垂足为八两垂线交

于一点”.（在图中作出）

SMOB=S&ABH~S4AOE~SABOILS正方形OEHF

答案:

解：(3)易求得C(1,0),D(0,-1).

3

SAAO8=SA6OO+SZXCW+S"OC=；X|-1|X|-1|+-Xl-llX1+-X1X1=-

21122

师：如何求反比例函数的解析式？

生：（预设）已知双曲线上一点的坐标即可求反比例函数的解析式.

师：如何求一次例函数的解析式？

生：（预设）通过反比例函数的解析式求出另一点的坐标，已知两点的坐标就可以确

定直线的解析式.

师：待定系数法求解析式是我们常用的方法.

师：如何求面积？

生：（预设）通过面积的割补法来求三角形的面积.

类似性问题

3.如图是反比例函数y=?^n—-4图象的一支，根据图象回答下列问题:

X

（1）图象的另一支在哪个象限？常数〃的取值范围是什么？

（2）若函数的图象经过（3,1）,求〃的值；

（3）在这个函数图象的某一支上任取点ACai,bi）

和点3（42,岳），如果试比较历和历的大小.

解析:

（1）根据反比例函数的图象关于原点对称，可知函数图象的另一支在第三象限,

故2〃-4>0,即〃>2；（下一步）

（2）把（3,1）代入产即a求〃的值；（下一步）

（3）根据“反比例函数图象在第一、三象限，则在每一象限内y随X的增大而

减小”可知，当ai时,b\>bi.

考点30反比例函数系数k的几何意义

师：同学们谁知道反比例函数系数后的几何意义是布/f-v

回顾:

k的几何意义：反比例函数图象上的点（x,y）具有两

特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两

形的面积为常数川（如下图）.

师：接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一已知图象上一点与原点。构成的三角形面积，求攵

例1已知如图所示,A是反比例函数y="的图象上的一点,48_1_尤轴于点B,且

△A3。的面积是3,则k的值是（

Bx

师：如何求反比例系数？

生：（预设）根据反比例系数的几何意义数形结合来求.

师：注意反比例系数的符号.

解析：

由反比例函数的几何意义，得㈤，故3=1|川，心|=6；（下一步）

22

又函数图象的一支在第一象限，所以女>0,所以上6.

答案：c

类似性问题

I.如图所示，已知双曲线），=与（后＜0）经过直角三角形

X

OAB斜边0A的中点。，且与直角边AB相交于点C.

若点A的坐标为（-6,4）,则4人。。的面积为（

A.12B.9C.6D.4

解析：

因为。为04的中点，点A的坐标为（-6,4）,根据中点坐标公式可得。（-3,

2）；（下一步）

把点。的坐标代入得Z=-6,所以S^BOC=—川=3；（下一步）

x2

又S^AOB=一义I-6X4=12,所以S/\AOC=S^AOB~~SABOC=9.

2

初步性问题

探究类型之二根据函数图象求有关图形面积

例2在反比例函数y=3（尤＞0）的图象上，有一系列点Ai,A2,A?,…,A”,A”+i.若

X

A的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过

点4,A2,A3,…，A,,,A"+i作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将

师：如何求矩形的面积Si?

生：（预设）根据面积公式，关键是求出矩形的宽.

师：如何求矩形的宽？

生：(预设)与点4,4,的纵坐标有关.

师：非常好，大家按照这个思路能否总结出工的一般表达式？

学生尝试求解.

师：如何求前〃项的和？

生：(预设)前项与后项可以部分抵消.

师：非常好.

解析：

当x=2时，y=5,当尤=4时，y=』，所以S=2X(5-—)=5；(下一步)

-'22

一般规律：s„=2X[---1Q_]=ioxd-_L)；(下一步)

2n2(/7+1)n〃+1

Si+S2+S3+…+S〃

=10X(1-i)+10X(1-1)+10X(i-1)+-+10X(1--))

22334nn+1

…1111111、

22334n〃+1

=10X(1--)

"+1

_10n

n+l

答案：

L10〃

5；---

〃+1

类似性问题

13

2.如图所示，点A在双曲线产上上，点3在双曲线产二上，旦轴，C,Q在

xx

x轴上，若四边形ABCO为矩形，则它的面积为.

延长刚交y轴于£（在图中作出），则根据反比例函数系数上的几何意义可知:

S短彩ADOE=1»S姐形BCOE=3；（下一步）

S矩形ABCD=SBcotr~S矩形ADOE=3-1=2.

考点31反比例函数的应用

师：首先同学们先回顾用待定系数发求反比例函数解析式的一般步骤.

回顾：

求反比例函数的解析式

待定系数法：（1）设反比例函数关系式为），=&；

X

（2）由已知条件求出〃的值；

（3）从而确定函数关系式.（下一步）

注意：反比例函数只有一个待定的k,只需要一个条件即可确定反比例函数,

这个条件可以是图象上的一个点的坐标，也可以是尤,y的一对对应值.

师：接下来我们来看一道反比例函数与一次函数的综合应用问题.

初步性问题

探究类型之一反比例函数与一次函数的综合运用

例1如图所示，正比例函数的图象与反比例函数），=（（原0）在第一象限的

2x

图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为已知△OAM的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

解析：

根据S△皿=L|川确定我的值.

2

答案：

解：（1）根据反比例函数系数攵的儿何意义可知IN，

2

所以l='kl，即W=2.

2

又函数图象的一支在第一象限，左＞0,所以A=2.

所以反比例函数的解析式为产M

x

（2）如果3为反比例函数在第一象限图象上的点（点3与点A不重合），且B点的

横坐标为1,在x轴上求一点P,使出+PB最小.

解析：

把x=l代入（1）中求出的反比例函数解析式从而确定出点8的坐标，联立一次

函数与反比例函数的解析式确定点A的坐标；（F一步）

当P为A点关于x轴的对称点与B点的连线与x轴的交点时（在图中作出），

%+P3最小.

答案：-2i

'1

y=（2[=-2

解：（2）解方程组；得x=‘或x‘又点A在第一象限，

）,=2U=1b=-t

、X

所以A（2,1）.把x=l代入产士得y=2,所以B（1,2）.（下一步）

x

在图中标出点8,作点A关于x轴的对称点连接43交x轴于点P（在图中

作出）.

由A（2,1）可知1（2,-1）,设直线，B的解析式为产以+乩根据题意可得

2a+b=—1,

V

=2,

（a=-3

解得‘所以直线Z6的解析式为产-3x+5.

。=5,

令y=0，得O=-3x+5,解得x=2,所以P（-,0）.

33

师：如何求反比例函数的解析式？

生：（预设）根据反比例系数的几何意义可求出反比例系数.

师：如何确定尸点的位置？

生：（预设）这是利用两点之间线段最短求最小值问题，关键是求出A、8两点的坐

标.

师：1.一次函数''牵手”反比例函数的题型主要有三类：（1）同一坐标系中的两类

函数图象共存问题；（2）求函数解析式或图象交点坐标问题（包含三角形的面积问

题）；（3）两类函数的大小关系与相应自变量的范围.求两函数的交点坐标即求两函

数解析式联立所构成的方程组的解.

2.此类一次函数、反比例函数、二元一次方程组、三角形面积等知识的综合运用，

其关键是理清解题思路.在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，常常采用分割

法，把所求的图形分成几个三角形或四边形，分别求出面积后再相加.

类似性问题

1.如图所示，反比例函数=&和正比例函数力乂4

的图象交于A(-1,-3),B(l,

X

3)两点，若切,

x

A.-l<x<0

B.-1<X<1

C.x<-1或0<x<l

D.TVxVO或£>1

解析：

幺〉hr表现在图象上即为双曲线在直线上方部分，（在图中标出）（下一步）

X

观察图象可知对应的X的取值范围为XVT或OVxVl.

2.下图中曲线是反比例函数>=变口的图象的一支.

X

（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数〃的取值范围是什么？

74

（2）若一次函数的图象与反比例函数图象交于点A,与x轴交于8,

△AOB的面积为2,求〃的值.

解析：

（1）反比例函数图象关于原点对称，故另一支在第四象限，反比例函数的图象

在第二、四象限，所以〃+7<0,即〃<-7；（下一步）

（2）先求出点B的坐标从而确定出08的长，再根据“△A08的面积为2”确

定出点A的纵坐标，然后代入从而确定出点A的坐标，最后把点A

33

的坐标代入y=士求”的值.

初步性问题

探究类型之二反比例函数在实际生活中的应用

例2病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量

达到最大值为4毫克.已知服药后，2小时前每毫升血液中的含量y（毫克）与时间x

（小时）成正比例；2小时后y与x成反比例（如图所示）.根据以上信息解答下列

问题：

（1）求当0%W2时，y与x的函数关系式;

（2）求当x>2时，y与尤的函数关系式；

解析：

（1）当0qW2时，y与x成正比例关系且过点（2,4）；（下一步）

（2）当尤>2时，y与x成反比例关系且过点（2,4）.

答案：

解：（1）当叱运2时，设产Zix,把（2,4）代入得4=2M，即k=2.

所以当gxS2时，y与x的函数关系式为y=2x.

（2）当x>2时，设尸与，把（2,4）代入得4=k，即比=8.

x2

所以当x>20寸，y与x的函数关系式为），=§.

X

（3）若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有

效时间是多长？

解析:

（3）分别把y=2代入所求的正比例和反比例函数的解析式中，求出x,再结合

图象知有效时间为尤2-孙（在图中作出）储，性的

答案：

解：（3）把y=2代入y=2x,得2=2x,即x=l.

把y=2代入户—,得2=学，即x=4.

XX

4-1=3（小时），即服药一次，治疗疾病的有效时间是3小时.

师：如何求正比例函数和反比例函数的解析式？

生：（预设）待定系数法.

师：如何求有效时间？

生：（预设）求当=2时，自变量的值，数形结合作差即可.

师：此类分段函数问题的关键是通过图象发现有用条件，运用待定系数法求函数的

解析式，再根据函数的解析式解决问题.

第二课时

教学路径

师：复习完反比例函数的知识，接下来我们就中点来复习一下二次函数的知识，二

次函数在中考中占有重要位置，经常以解答题的形式考查，也容易与圆等其他知识

进行结合作为压轴题来考查，同学们一定要重视.

考点32二次函数图象和性质

师：我们首先来回忆一下二次函数的概念、图象和性质.

回顾：

1.二次函数：（下一步）一般地，如果丁=加+6+。（〃,4c是常数，存0）,那么y叫

做X的二次函数.

2.二次函数的图象和性质（下一步，先出表格及非阴影部分，然后黄色阴影一行一

行出现）

函数二次函数y=a/+bx+c（a,c是常数，”声0）

a>0t?<0

小

图象抛物线

开口方向开口向上开口向下

对称轴直线x=---直线X=―--

2a2a

b4ac-h2b4ac-b2

顶点坐标(,)\9)

2a4a2a4a

在对称轴的左侧，即当x<-2在对称轴的左侧，即

2a

当x<-----时;y随x

时，y随x的增大而减小；在对2a

称轴的右侧，即当x>-2时，y的增大而增大；在对

2a

称轴的右侧，即当

增减性随X的增大而增大，简记左减右

x>-"—时，y随x的

增2a-

增大而减小，简记左

增右减

抛物线有最低点，当x=-2时，抛物线有最高点，

2a

当x=。时，y有

2a

y有取小值，y城小值=

最值4a最大值，

_^ac-b2

y最大依,

4（7

师：接下来我们来看几道例题.

初步性问题

探究类型之一二次函数的图象和性质

例1已知二次函数y=/+4x.

（1）用配方法把该函数化为产。（犷妨2+攵（其中&,/?,女都是常数，且存0）的形式,

并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）求函数图象与x轴的交点坐标.

师：配方时要注意什么？

生：(预设)先提取二次项系数，再加上或减去一次项系数一半的平方.

师：如何求函数图象与X轴的交点坐标？

生：(预设)交点的横坐标即为二次函数所对应的一元二次方程的根.

师：求二次函数的顶点坐标和对称轴，若给出的表达式是顶点式y=a(xf)2+Z(W0),

可直接得到对称轴x=〃，顶点(〃，k)；若给出的表达式是一般式y=ad+/?x+c(arO),

可利用配方法，也可应用对称轴公式尸-2,顶点(-二，4*冷).

2a2a4a

解析：

(1)对二次项系数为1的二次函数进行配方，加上再减去一次项系数一半的平

方；(下一步)

(2)方程/+©=()的两个根即为函数图象与无轴的交点的横坐标.

答案：

解：⑴y=x1+4x=x2+4x+4-4=(x+2)2~4=[x-(-2)]2-4.

函数图象的对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,-4).

(2)令y=0,即x2+4x=0,解得xi=O,X2=~4.

所以函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)和(-4,0).

类似性问题

1.抛物线y=f-2x+l的顶点坐标是()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(-2,1)D.(2,-1)

解析：

方法一：y=/-2x+l=(x-1)2,所以顶点坐标为(1,0)；(下一步)

>。

方法二：对于)=/-2工+1,a=i,。=-2,c=l,故一一—=----=1,

2a2x1

2

4ac-lr=4xlxl-(-2)=Q所以顶点坐标为。)

2.由二次函数y=2(x-3)2+l,可知()

A.其图象的开口向下

B.其图象的对称轴为直线x=l

C.其最小值为1

D.当x<3时，y随x的增大而增大

解析：

二次函数)，=2(k3尸+1的图象开口向上，对称轴为直线x=3,有最小值1,当

x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大.

初步性问题

探究类型之二二次函数的图象和性质的综合运用

例2如图所示，二次函数产-f+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另

一个交点为且与y轴交于点C.

(1)求"2的值；

(2)求点8的坐标；

解析：

(1)把点A的坐标代入)=-f+2%+加求〃？的值；(卜一步)

(2)方法一：令y=O,解一元二次方程确定点B的坐标；(下一步)

方法二：根据点A和点B关于直线x=\对称求解.

解：

(1)把(3,0)代入y=-f+2x+，〃，得〃L3=0,即〃?=3.

(2)方法一：二次函数的解析式为y=-f+2x+3,令y=O,即-》2+2工+3=0,

解得加=3,X2=T.又点A的坐标为(3,0),所以点3的坐标为(-1,0).

方法二：根据抛物线的对称性可知点A和点B关于直线x=］对称，

又点A的坐标为(3,0),所以点B的坐标为(-1,0).

(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(尤>0,y>0),使S^BD=S^BC,求点D

的坐标.

解析：

(3)将x=0代入y=-/+2x+3,进而确定出点C的坐标，根据SMBD=SAABC，及

点。在第一象限可知点C,。关于抛物线的对称轴对称.

答案：

解：（3）将x=0代入），=-/+2》+3,得产3,所以点。的坐标为（0,3）.

根据及点D在第一象限可知点D关于抛物线的对称轴直线x=\

S^BD=SAABC，C,

对称，所以点。的坐标为（2,3）.

师：如何求点。的坐标？

生：（预设）根据面积公式及已知条件可知点C,。关于抛物线的对称轴直线x=l对

称.

师：若去掉"（x>0,y>0）”这个限制条件，该如何求点。的坐标？？

生：（预设）分类讨论，将过点C,。的直线作关于x轴的对称直线交抛物线与两点.

师：（1）二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，

是研究二次函数的性质并解决问题的关键.

（2）已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程（组）求解.

（3）已知二次函数图象上的点（除顶点外）和对称轴，便能确定与此点关于对称轴

对称的另一点的坐标.

类似性问题

3.下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）

解析：

直接观察图象可知D正确.

考点33用待定系数法求二次函数的解析式

师：同学们先回忆一下二次函数的解析式的三种表达形式.

生：（自由回答出二次函数解析式的三种表达形式）

师：那么我们在用待定系数法求二次函数的解析式是该如何选择表达形式呢？

回顾：

待定系数法求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同

条件选择不同的设法.（下一步蓝色字体）（下3步黄色阴影字体，）

（1）设一般式：y=ajr+bx+c（a^O）

若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为），=o?+0x+c,将已知条件代入,

求出a,b,c的值.

（2）设顶点式：y=<2（x-/?）2+^（a^0）

若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函

数为y=a（x-//）2+k,将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式.

（3）设交点式：y=a（x-xi）（x-%2）（a^O）

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为3,0）,（松,0），设所求二次函数为

y=a（A-xi）（A-%2）>将第三点（〃?,〃）的坐标（其中"为已知数）或其他已知条件代

入，求出待定系数最后将解析式化为一般形式.

师：下面我们一起来看几道例题.

初步性问题

探究类型用待定系数法求二次函数解析式

9

例1已知抛物线经过点4（-5,0）,3（1,0）,且顶点的纵坐标为？，求二次函数的

2

解析式.

师：如何求二次函数的解析式？

生：（预设）先求出对称轴，然后设交点式，将顶点坐标代入求二次项系数.

师：好，还有别的方法吗？

生：（预设）设顶点式也可以.

生：（预设）设一般式也可以.

师：二次函数的解析式有三种形式，一般式（今0）,顶点式y=a（x-/?）2+k,

两根式y=a（x-a）a-X2）.根据已知条件，选择最合适的形式，可以简化计算.

解析：

根据A,8两点的坐标特征可知A,8两点为抛物线与x轴的两个交点，根据抛

物线的对称性可知抛物线的对称轴为直线x=二产=-2,故顶点坐标为（-2,；）,

可设三种表达式求函数解析式.

答案:

解：根据A,8两点的坐标特征可知A,6两点为抛物线与x轴的两个交点，故

抛物线的对称轴为直线x=3」=-2,所以顶点坐标为（-2,2）.（下一步）

22

方法一：设一般式yRf+bx+c,把A,8及顶点坐标代入，

1

25。-5b+c=Q,"=一5,

得a+b+c=O,解得<b=-2,

，5

4“a—c2h+c--9,c=—.

22

所以二次函数的解析式为y=-1?-2x+3.（下一步）

22

QQ1

方法二:设顶点式y=«（^+2）2+1,把点B的坐标代入,得9a+|=0,解得a=--,

所以二次函数的解析式为产-'（x+2）2+?=一_1/_2》+3.（下一步）

2222

91

方法三：设交点式产a（x+5）（x-l）,把顶点坐标代入，得-9〃=5，解得4=一万,

所以二次函数的解析式为（x+5）（k1）=-1^-2%+-.

-222

39

例2已知：二次函数产2%2+陵+。，其图象对称轴为直线产1,且经过点（2,-2）.

44

（1）求此二次函数的解析式.

（2）设该图象与x轴交于两点（3在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方

的图象上确定一点E,使AEBC的面积最大，并求出最大面积.

师：如何求此二次函数的解析式？

生：（预设）根据对称轴公式求出字母系数方的值，根据点的坐标求出字母系数c的

值.

师：如何确定点E的位置？

生：（预设）根据面积公式及已知条件可知当点是抛物线的顶点时三角形面积最大.

解析：

（1）根据对称轴公式x=-2及已知点的坐标列方程组求江，的值；（下一步）

2a

（2）E点在x轴下方，且△E8C面积最大，则E点是抛物线的顶点.

答案：

解：（1）根据题意得2X4解得:

9=--

3+2b+c=--,c4

I4

所以二次函数的解析式为广;，（下一步）

（2）当点E为顶点时，AEBC面积最大.

令yn—jc2——x——=0,解得用=-1,%2=3.

424

又8在。点的左侧，所以8（T,0）,C（3,0）,所以8c=4.

31a3

y=—x2--%——=—（xT）2-3,所以顶点坐标为（1,-3）.

■4244

所以SAEBC=—X4X|—3|=6.

类似性问题

1.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴，且经过点（0,1）的是（）

A.产（x-2）2+1B.y=（x+2）2+1

C.产（x-2）2-3D.y=（x+2）2-3

解析：

根据二次函数图象的对称轴为直线x=2,可排除B,D,然后再把（0,1）分别

代入A,。中验证可知C正确.

2.若二次函数yuaS+bx+c的x与y的部分对叩|如

X-7-6-5-4[-3-2

y-27-13-333

则当x=l时，y的值为（）

A.5B.-3C.-13D.-27

解析：

方法一：任选三对对应的x,y值代入旷=加+区+。中确定出函数解析式，然后

再把x=l代入求出y的值；（下一步）

方法二：观察表中数据可知当x=-4和-2时，y值相等（出现两个椭圆），所以

该二次函数图象的对称轴为直线x=-3,故x=l时,y的值与x=-7时v的值相等,

即为-27.

3.如图所示，RtZ\O48中，ZOAB=9Q°,。为坐标原点，边OA在x轴，04=43=1

个单位长度，把RtZ\OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△A41B1.

（1）求以A为顶点，且经过点51的抛物线；

（2）若（I）中的抛物线与08交于点C,与y

轴交于点。，求点。，C的坐标.

解析：

（1）易知A（1,0）,Bi（2,1）,利用顶点式求抛物线的解析式；（下一步）

（2）令（1）中抛物线解析式的x=0,求出），的值进而确定点。的坐标；（下一

步）

由0（0,0）和B（1,1）求出直线OB的解析式，与（1）中抛物线解析式联立,

解方程组从而确定点C的坐标，要注意根据点C的横坐标范围合理取舍.

考点34二次函数图象的平移

师：下面我们通过一个图来看一下二次函数图象的平移规律.

回顾:

二次函数图象的平移规律：（先横竖再竖横再斜线）

上加下减

y=ax2+A

向上（A>0）,下（&<0）平移固个单位

向

右

~c

ov

左)

加

、

/I左

减(

s

)

平

移

点

个

单

位

向上（Q0）、下（左<0）平移IM个单位

y=a(x-h)2y=a(x-h)2

1-/JII卜一减

师：下面我们就一起来看两道例题.

初步性问题

探究类型之一二次函数图象的平移规律

例1将抛物线y=-i?-x+3向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛

物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

师：如何求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标？

生：(预设)先化为顶点式再根据平移法则求出抛物线的解析式，通过顶点式可直接

确定.

师：非常好.

解析：

117

把产化成顶点式产力(X+1)2+表再按照“左加右减，上加下减”

的平移法则求出平移后的函数解析式，进而确定平移后的抛物线的开口方向、

对称轴和顶点坐标.

答案：

117

解：因为-f-1+3=-一(x+l)2+—,

“222

所以平移后的抛物线的解析式为y=~-(X-4+1)2+--1=~-(X-3)2+~.

'2222

所以平移后的抛物线的开口向下，对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,-).

2

类似性问题

L在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平

移3个单位，那么在新坐标系下此抛物线的解析式是()

A.y=3(%—3)2+3B.y=3(x—3)2—3

C.y=3(x+3)2+3D.y=3(x+3)2—3

解析：

“抛物线)，=3/不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位”相当于“坐

标系不动，而把抛物线向下、向左分别平移3个单位”；(下一步)

根据“左加右减，上加下减”的平移法则可知平移后的解析式为y=3(x+3)2-3.

初步性问题

探究类型之二二次函数图象的平移

例2已知二次函数)，=加+法一3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0).

(1)求二次函数的解析式；

解析：

把点48的坐标代入，用待定系数法求解.

答案:

4〃+2。—3=—3,

解：把点A,8的坐标代入，得解得:二z