第2章-系统的数学模型-过控

控制工程基础

第2章控制系统的动态数学模型第2章控制系统的动态数学模型

建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行设计、分析，是控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。以物理定律及实验规律为依据的微分方程是最基本的数学模型，是列写传递函数的基础。本章主要内容概述

系统微分方程的建立

传递函数方块图及动态系统的构成信号流图与梅逊公式

学习目的1.了解建立系统数学模型的一般步骤2.掌握建立系统数学模型的各种方法（包括时域、复数域；解析式、图示式）3.了解非线性数学模型线性化的方法

4.熟悉各种不同物理属性控制系统数学模型的建立过程内容提要本章主要阐述控制系统数学模型的基本概念、时域模型——运动微分方程和复数域模型——传递函数的建立、数学模型的图示法——方框图和信号流图的建立步骤与方法重

点传递函数的概念、典型环节和控制系统传递函数的推导

难

点实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导

一、系统的数学模型概述1、数学模型

数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。建立数学模型是控制系统分析与设计中最重要的工作！但也是较困难的工作。一个合理的数学模型是以最简化的形式，准确的描述系统的动特特性。

系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。第2章系统的数学模型

动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程常用作动态数学模型。

对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。静态数学模型：反映系统处于平衡点时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态无关。因此静态模型都是代数式，数学表达式中不含有时间变量。2、建立数学模型的方法

解析法

实验法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。

数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。一、系统的数学模型概述第2章系统的数学模型3、数学模型的线性化

线性模型：满足叠加性与齐次性，来描述线性系统。叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。即若为线性系统，则一、系统的数学模型概述第2章系统的数学模型（教材P19-21

2.2）

线性化方法：一般可在系统工作平衡点附近，对非线性方程采用台劳级数展开进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，就可得到近似的线性模型。由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。

非线性模型：不满足叠加性或齐次性，用非线性方程表示。用来描述非线性系统。线性化方法：假设变量相对于某一工作状态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为简写为。如果系统的工作平衡点为，则方程可以在点附近台劳展开如果很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可写成增量方程形式

其中，，，在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数()()00000

,

,

0xxxyyydxdfKxfyxKyxxKyyxx-=D-=D==D=D-+=--==，式中

或写为，于是得线性化方程其后面的所有的高阶项项及）x（x较小，故可略去式中的xx由于增量Δx2004、数学模型的形式

时间域：微分方程、状态方程

复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性

一、系统的数学模型概述第2章系统的数学模型二、系统的运动微分方程

建立数学模型的一般步骤（1）分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；

（2）从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；

（3）消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；

（4）标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排。第2章系统的数学模型1、机械系统（教材P152.1.1)式中作用在第i个质点上力的合力；质量为的质点的惯性力。

质量-弹簧-阻尼系统

在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型质量mfm(t)参考点x

(t)v

(t)弹簧kfk(t)fk(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型1、机械系统（教材P152.1.1)阻尼BfB(t)fB(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)B为阻尼比二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型1、机械系统（教材P152.1.1)表2-1等效弹性刚度说明表示一个弹簧-质量-阻尼系统。当外力f(t)作用时，系统产生位移x(t)。f(t)是系统的输入，x(t)是系统的输出，运动部件的质量为m。

弹簧-质量-阻尼系统xm静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响x

kxmx0直线运动的机械系统二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型(1)根据达朗贝尔原理(2)f1(t)和f2(t)为中间变量：阻尼力弹簧力

xmx

kxmx0(3)系统的微分方程式

第2章系统的数学模型二、系统的运动微分方程xo(t)0fi(t)KB

微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。第2章系统的数学模型二、系统的运动微分方程二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型x1例:2、电路网络(P172.1.2）电阻三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)电容Ci(t)u(t)电感Li(t)u(t)二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型表2-2复阻抗说明二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型uiCLRuoiRiLiCLRCLR1对节点1，有（1）基尔霍夫电流定律：所有流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和。二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型(2)基尔霍夫电压定律：电网络的闭合回路电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。uoCLRuiiR-L-C电路：二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型例

如图3-10为由两级形式相同的RC电路串联组成的滤波网络。试列写以Ui为输入,Uo为输出的网络的动态方程.解：由电压定律写出方程式：图3-10两级串联RC电路i1i2uiuoIII回路I回路II输入输出微分方程式：二、系统的运动微分方程第2章系统的数学模型本节小结（1）物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。（2）在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

（4）通常情况下，系统微分方程的阶次等于系统中所包含的独立储能元（质量、弹簧、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。（3）系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。

第2章系统的数学模型二、系统的运动微分方程三、传递函数（教材P312.4）

在时域中对线性定常系统用线性常微分方程描述输入x(t)与输出y(t)之间的动态关系：方程两边进行拉氏变换：左边右边第2章系统的数学模型在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。G(s)1、传递函数的定义

第2章系统的数学模型三、传递函数（教材P312.4）传递函数的定义的几点说明:（1）传递函数只适用于线性定常系统。因为它由拉氏变换而来的，而拉氏变换是一种线性变换。（4）传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的结构参数有关，与外界输入无关。（5）传递函数等于s的多项式之比，其中s的阶次及系数都是与外界无关的，反映系统本身的固有特性。

（2）传递函数是在零初始条件下导出的，因此传递函数原则上不能反应系统在非零初始条件下的全部运动规律。

（3）传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。第2章系统的数学模型三、传递函数（教材P312.4）（6）传递函数只能表示系统、输入与输出的关系，而不能完全反映系统内部中间变量的变化特性。

（7）传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数；

传递函数的定义的几点说明:（8）对实际的物理系统，传递函数分母多项式s的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式s的最高阶次m。

因为系统或元件总是存在惯性，即输入给出时系统有保持输入前零状态的趋势，输出滞后于输入，导致输入对时间的导数阶次不高于输出。第2章系统的数学模型三、传递函数（教材P312.4）（10）传递函数可以有量纲，也可以无量纲，视输出输入量纲而定。如：在机械系统中，若输出为位移（cm）,输入为力（N）,则传递函数G(s)的量纲为cm/N。若输出为位移（cm）,输入亦为位移（cm），则G(s)为无量纲的比值，表现为放大倍数。传递函数的定义的几点说明:（9）它不能表明系统的物理特性和物理结构，许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系。第2章系统的数学模型利用这一特性，可以用电网系统模拟机械系统的性能特性，即功能模拟。三、传递函数（教材P312.4）传递函数求解示例质量-弹簧-阻尼系统的传递函数所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：

xmx第2章系统的数学模型三、传递函数（教材P312.4）RLC无源网络电路传递函数求解示例第2章系统的数学模型三、传递函数（教材P312.4）2、传递函数的零点和极点

A(s)为系统的特征多项式，A(s)=0为系统的特征方程。特征方程决定着系统的动态特性，其根称为特征根。特征方程的根就是系统的极点。第2章系统的数学模型式中，z0、…、zm称为零点，p0、…,pn为称为极点。三、传递函数（教材P312.4）在复平面中，零点用“o”表示，极点用“x”表示。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性；极点决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性。第2章系统的数学模型2、传递函数的零点和极点当s=0时：G(0)=K式中，K称为系统的放大系数或增益、比例系数。

从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。

三、传递函数（教材P312.4）作业：教材P71：

2-9：（c）、（g）

2-10：（b）例：试求如图所示机械系统的传递函数。其中，F(t)为系统的输入外力，y(t)为系统的输出位移，M1和M2为质量块，K1和K2为弹簧的弹性系数，B为阻尼器的阻尼系数。（忽略质量块重力作用）（共10分）第2章系统的数学模型三、传递函数第2章系统的数学模型三、传递函数在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。G(s)传递函数的定义

第2章系统的数学模型三、传递函数3、传递函数的典型环节具有某种确定信息传递关系的元件或元件组的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。第2章系统的数学模型三、传递函数（教材P312.4）

比例环节：K一阶微分环节：Ts+1二阶微分环节：积分环节：惯性环节：二阶振荡环节：微分环节：s第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节延迟环节：三、传递函数（教材P312.4）

比例环节

K输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量；K—比例系数，等于输出量与输入量之比。第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节传递函数为：三、传递函数（教材P312.4）z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节

比例环节

K三、传递函数（教材P312.4）一阶惯性环节凡运动方程为一阶微分方程：其传递函数为：式中，T—时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关，T越大滞后越大。第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节三、传递函数（教材P312.4）如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)KB第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节三、传递函数（教材P312.4）微分环节输出量正比于输入量的微分。运动方程为：传递函数为：在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节三、传递函数（教材P312.4）RCui(t)uo(t)i(t)

无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。

除了上述纯微分环节外，还有一阶微分环节、二阶微分环节。第2章系统的数学模型三、传递函数微分环节3、传递函数的典型环节

微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。

积分环节

输出量正比于输入量对时间的积分。

运动方程为：传递函数为：积分环节特点：

输出量取决于输入量对时间的积累过程。且具有记忆功能；

具有明显的滞后作用。第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节积分环节常用来改善系统的稳态性能。三、传递函数（教材P312.4）如当输入量为常值

A时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。如：有源积分网络

+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a第2章系统的数学模型三、传递函数（教材P312.4）振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：传递函数：式中，T—振荡环节的时间常数

—阻尼比，对于振荡环节，0<

<1第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节三、传递函数（教材P312.4）振荡环节传递函数的另一常用标准形式为：

n称为无阻尼固有频率。如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：式中，当时，为振荡环节。第2章系统的数学模型

xmx三、传递函数（教材P312.4）

一阶微分环节

式中，T—时间常数运动方程：传递函数：第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节三、传递函数（教材P312.4）微分环节和比例环节的并联时,又称比例微分控制。

二阶微分环节

式中，T—时间常数

—阻尼比，对于二阶微分环节，0<

<1运动方程：传递函数：第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节三、传递函数（教材P312.4）

延迟环节

惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；运动方程：传递函数：式中，

为纯延迟时间。延迟环节从输入开始之初，在0~

时间内,没有输出，但t=

之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别：第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节三、传递函数（教材P312.4）ALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度测量第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节

延迟环节

三、传递函数（教材P312.4）

小结

环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理元件

一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成

同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。

第2章系统的数学模型3、传递函数的典型环节三、传递函数（教材P312.4）四、系统方块图（教材P412.5）系统方块图

方框图是数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。

注意：即使描述系统数学模型相同，其方框图也不一定相同。第2章系统的数学模型结构图包含四个基本元素：（1）信号线（2）引出点（测量点）（3）比较点（综合点）

（4）函数方块（方块图的基本单元）第2章系统的数学模型四、系统方块图（教材P412.5）方框图的结构要素

信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。X(s),x(t)信号线

信号引出点（线）（分支点）表示信号引出或测量的位置和传递方向。

同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)第2章系统的数学模型四、系统方块图

函数方框(方块图的基本单元)G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算功能，即：X2(s)=G(s)X1(s)

求和点（比较点、综合点、相加点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“

”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。第2章系统的数学模型四、系统方块图相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。

X1(s)X2(s)X1(s)

X2(s)

ABA-BCA-B+C

A+C-BBCAA+C

ABA-B+CCA-B+C求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。

第2章系统的数学模型四、系统方块图

求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图示例任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。第2章系统的数学模型四、系统方块图系统方框图的简化方框图的运算法则串联连接

G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)第2章系统的数学模型四、系统方块图

并联连接

Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)

++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)第2章系统的数学模型四、系统方块图

反馈连接

Xi(s)Xo(s)第2章系统的数学模型四、系统方块图G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)-B(s)E(s)闭环控制系统几个传递函数的概念

Xi(s)到Xo(s)的信号传递通路称为前向通道；前向传递函数是输出信号Xo(s)与误差信号E(s)之比，即：

Xo(s)到B(s)的信号传递通路称为反馈通道；反馈传递函数是反馈信号B(s)与输出信号Xo(s)之比，即：

第2章系统的数学模型四、系统方块图G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)-B(s)E(s)前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数，也可定义为反馈信号B(s)和偏差信号E

(s)之比，记为GK(s)。误差传递函数为偏差信号E

(s)和输入信号Xi(s)

之比，即：闭环控制系统几个传递函数的概念

第2章系统的数学模型四、系统方块图G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)-B(s)E(s)方框图的等效变换法则求和点的移动G(s)

ABC±求和点后移G(s)

ABCG(s)±G(s)

ABC±G(s)

ABC±求和点前移第2章系统的数学模型四、系统方块图引出点的移动引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA第2章系统的数学模型四、系统方块图一般系统方块图简化方法：1）明确系统的输入和输出。对于多输入多输出系统，针对每个输入及其引起的输出分别进行化简；2）若系统传递函数方块图内无交叉回路，则根据环节串联、并联和反馈连接的等效从里到外进行简化；3）若系统传递函数方块图内有交叉回路，则根据相加点、分支点等移动规则消除交叉回路，然后按每2）步进行化简。注意：分支点和相加点之间不能相互移动。第2章系统的数学模型四、系统方块图例：求下图所示系统的传递函数。H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

BH2(s)A解：1、A点前移；Xi(s)H1(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+G2(s)

Xo(s)H2(s)G3(s)2、消去H2(s)G3(s)反馈回路H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)H3(s)

Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)

反馈回路Xi(s)Xo(s)4、消去H3(s)

反馈回路例:求下图的传递函数解:例：求此系统输出G1(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)E

(s)G2(s)

N(s)++第3章系统的数学模型四、系统方框块图

xi(t)作用下系统的闭环传递函数令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传递函数为：G1(s)H(s)

Xi(s)Xo1(s)B(s)E

(s)G2(s)第2章系统的数学模型四、系统方块图

n(t)作用下系统的闭环传递函数令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的闭环传递函数（干扰传递函数）为：

G1(s)H(s)

N(s)Xo2(s)G2(s)n(t)作用下的闭环系统第2章系统的数学模型四、系统方块图系统的总输出根据线性系统的叠加原理，系统在输入xi(t)及扰动n(t)共同作用下的总输出为：若且，则：上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。第2章系统的数学模型四、系统方块图第2章系统的数学模型四、系统方块图作业：教材：2-6（a）、（b）

2-7四、系统方块图第2章系统的数学模型例：求如图所示控制系统的传递函数。（共10分）

系统方块图的建立

步骤

（1）建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。

（2）对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。（3）按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。

四、系统方块图第2章系统的数学模型例：RCui(t)uo(t)i(t)无源RC电路网络

无源RC网络

拉氏变换得：四、系统方块图第2章系统的数学模型从而可得系统各方块单元及其方框图。

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)

Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)无源RC电路网络系统方框图例：机械系统

m1f(t)K1Bx(t)0m2K2y(t)0m1f(t)m2fK1fK2fm1fm2fB四、系统方块图第2章系统的数学模型m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0y(t)0四、系统方块图第2章系统的数学模型四、系统方块图第2章系统的数学模型

F(s)X(s)FB(s)FK1(s)(a)K1

X(s)Y(s)FK1(s)BsFB(s)(b)四、系统方块图第2章系统的数学模型

Y(s)FB(s)FK2(s)FK1(s)

(c)K2Y(s)FK2(s)(d)四、系统方块图第2章系统的数学模型

F(s)X(s)FB(s)FK1(s)

Y(s)FK2(s)

K1

Xo(s)FK1(s)BsFB(s)K2机械系统方框图四、系统方块图第2章系统的数学模型

车削过程muf(t)KBxo(t)ui(t)

实际切削深度u引起切削力f(t)，作用于工件、刀具和机床，引起工件、刀具和机床的变形，该变形可等效为刀架上的位移xo(t)。而xo(t)反回来又引起实际切削深度u的变化。即工件—刀具—机床构成一闭环负反馈系统。六、机械系统传递函数应用实例第2章系统的数学模型

以名义切削深度ui(t)作为输入，刀架变形xo(t)作为输出，其传递函数可推导如下：Kc—切削过程系数，切削力与切除量之比Bc—切削阻尼系数，切削力与切除量变化率之比u(t)=ui(t)-xo(t)

U(s)=Ui(s)-Xo(s)根据切削力动力学方程，有：六、机械系统传递函数应用实例第2章系统的数学模型机床刀架简化为一弹簧—质量—阻尼系统：F(s)Xo(s)Ui(s)六、机械系统