2024-2025学年江西省上饶市玉山文苑学校高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省上饶市玉山文苑学校高三（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={y|y=x2−2x−3}，N={x|y=2A.[−4,1) B.[−1,1) C.(1,3) D.[1,4]2.如果函数f(x)的定义域为[a,b]，且值域为[f(a),f(b)]，则称f(x)为“Ω函数.已知函数f(x)=5x,0≤x≤2x2−4x+m,2<x≤4是“Ω函数，则mA.[4,10] B.[4,14] C.[10,14] D.[14,+∞)3.已知cos(π4+α)=A.−56 B.−23 C.4.在△ABC中，BA⋅BC=12BC2，若aA.|b|>|c|>|a| B.|5.若圆M：(x−cosθ)2+(y−sinθ)2=1(0≤θ<2π)与圆N：x2+y2A.12 B.34 C.456.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有A，B两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为310，B部位损坏的概率为12，则在第一次打击后就有部位损坏(只考虑A、B两个易损部分)的条件下，A，B两个部位都损坏的概率是(

)A.313 B.513 C.17207.已知数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，且SA.q2=−1+52 B.{an8.已知函数f(x)=ax3−3x2+4a(a≠0)，若f(x)存在唯一的零点x0，且A.(1,+∞) B.(−∞,0)∪(0,1)

C.(−∞,−1)∪(0,+∞) D.(−∞,0)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2025−x，g(x)=x−2024，设2024<A.x1−x2<g(x110.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥P−ABCD，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是12，公共面ABCD是一个边长为1的正方形，则(

)A.该几何体的体积为23

B.直线PD与平面ABCD所成角的正切值为22

C.异面直线AP与CC111.设函数f(x)=ax3−2xA.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点

B.当a>2时，f(x)有三个零点

C.若f(x)满足f(x)+f(2−x)=−23，则a=23

D.当a=1时，若f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用.如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形.若AB=6cm，EF=3cm，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为______．

13.已知P(a,b)为曲线y=1+4−x2上的动点，则14.已知曲线y=ex上有不同的两点P和Q，若点P，Q关于直线y=x的对称点P′，Q′在曲线y=kx2−x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源(或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置)，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y(单位：万元)与营运年数x(x是正整数)成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元．

(1)求出y关于x的函数关系式；

(2)求营运的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数)．16.(本小题15分)

已知向量m=(cosx+sinx,3sinx),n=(cosx−sinx,2cosx)，函数g(x)=m⋅n．

(1)求g(x)的最小正周期；

17.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD=1,BC=3,CD=2,AC=5,BC⊥PC，PC=PD，侧面PCD⊥平面ABCD．

(1)证明：BC⊥平面PCD；

(2)证明：BC//平面PAD；

(3)若直线BP与平面ABCD所成角的正切值为1018.(本小题15分)

已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的5倍，过C上一点P作C的两条渐近线的平行线，分别交y轴于S，T两点，且|OS|⋅|OT|=4．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过双曲线C的右焦点F的直线l1与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，点Q是线段AB的中点，过点F且与l119.(本小题17分)

记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，已知a3+3a4=S5，a1a5=S4，数列{bn}满足bn=3bn−1+2参考答案1.A

2.C

3.C

4.A

5.D

6.A

7.A

8.C

9.BC

10.ABCD

11.AC

12.30cm13.9+214.(0,1)

15.解：(1)已知公共充电桩的历年总利润y(单位：万元)与营运年数x(x是正整数)成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元，

则二次函数的开口向下，且顶点坐标为(6,110)，

所以设该函数为y=a(x−6)2+110(a<0)，

营运三年时总利润为20万元，

即a(3−6)2+110=20，

解得a=−10，

所以y=−10(x−6)2+110=−10x2+120x−250(x∈N∗).

即y=−10x2+120x−250(x∈N∗).

16.解：(1)因为向量m=(cosx+sinx,3sinx),n=(cosx−sinx,2cosx)，函数g(x)=m⋅n，

所以g(x)=m⋅n=cos2x−sin2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)，

所以g(x)的最小正周期T=2π2=π；

(2)由题知g(x)=a在区间[0,π2]上恰有两个不同的实数根，

即函数g(x)在区间[0,π2]上的图象与直线y=a17.解：(1)证明：在△PCD中，取CD的中点M，连接PM，

∵PC=PD，所以PM⊥CD，

∵侧面PCD⊥平面ABCD，且侧面PCD∩平面ABCD=CD，PM⊂平面PCD，

∴PM⊥平面ABCD，

∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，

又BC⊥PC，PM∩PC=P，PM，PC⊂平面PCD，

∴BC⊥平面PCD．

(2)证明：由(1)知BC⊥平面PCD，又CD⊂平面PCD，

∴BC⊥CD，

在△ACD中，∵AD=1,CD=2,AC=5，

∴AD2+CD2=AC2，

即AD⊥CD，

在同一平面ABCD中，∵AD⊥CD，BC⊥CD，

∴BC/​/AD，

∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BC/​/平面PAD．

(3)由(1)知PM⊥平面ABCD，连接MB，

则∠PBM为直线BP与平面ABCD所成的角．

在Rt△BCM中，BC=3，CM=1，∴BM=BC2+CM2=32+12=10，

在Rt△PBM中，18.解：(1)设P(x0,y0)，则x02a2−y02b2=1，即y02=b2a2x02−b2，

过点P作C的两条渐近线的平行线方程分别为：y−y0=ba(x−x0)，

y−y0=ba(x−x0),y−y0=−ba(x−x0)，

则不妨取S(0,y0−bax0)，S(0,y0−bax0),T(0,y0+bax0)，T(0,y0+bax0)，

于是|OS|⋅|OT|=|y0−bax0|⋅|