数学自主训练：9三角函数的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.已知sinA=，角A是△ABC的一个内角,则角A的度数为（）A.B。C。或D.或思路解析：∵角A是△ABC的一个内角,∴0＜A＜π。∴A＝或.答案：C2。如图3-3—4所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离为scm和时间ts的函数关系式为s=6sin(2πt+），那么单摆来回摆动一次所需的时间为（）图3-3-4A.2πsB.πsC.1sD.2s思路解析：单摆来回摆动一次所需的时间为此函数的一个周期,则T==1.答案：C3.图3—3—5是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是______________.图3—3—5思路解析：设函数解析式为y=Asin（ωx+φ)，由图像可知A=2，T=2×（0。5-0.1）=，∴ω=。∴y=2sin(x+φ）。由图像得×0。1+φ=.∴φ=。∴函数的解析式为y=2sin(x+）。答案：y=2sin(x+)4。甲、乙两楼相距60米，从乙楼底部望甲楼的顶部的仰角为45°，从甲楼的顶部望乙楼的顶部的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为_________________。图3—3—6思路解析:如图3-3-6，甲楼的高度AC=AB=60米。在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=20(米）即乙楼的高度为BD=BE-DE=（60—20)米.答案：60米和（60-20）米5。一树干被台风吹折，断裂部分与原树干成60°角,树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________________.图3-3—7思路解析：如图3-3-7所示，BC=20tan30°=,AB=，所以树干原来的高度为AB+BC=20（米)。答案：206.（2006全国高考卷，理17)△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos取得最大值，并求出这个最大值。思路分析:转化为求关于sin的二次函数的最值。解：∵A+B+C=π，∴=-。∴cos=sin.∴cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin=—2(sin—）2+.∴当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为.我综合我发展7.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦曲线变化。（1)画出种群数量关于时间变化的图像；（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.解：（1)种群数量关于时间变化的图像如图3-3-8所示.图3-3-8（2)设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ）+k。由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，∴振幅A==100,即ω==,k=800。又7月1日种群数量达到最高,∴×7+φ=-.∴φ=-。∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin（t—4)+800。8.（2006山西太原模拟)已知向量a=（sinB,1-cosB)与向量b=（2,0）的夹角为，其中B是△ABC的内角,求角B的大小.思路分析：先利用夹角公式求B的余弦值，再确定大小。解:由题意,得a·b=2sinB，∣a∣=，∣b∣=2.∴cos.整理，得2cos2B-cosB-1=0。解得cosB=—1(舍去）或cosB=-。又∵B是△ABC的内角,∴0＜B＜π。∴B=。9。（经典回放)如图3—3—9，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ)+b。3(1）求这段时间的最大温差；(2）写出这段曲线的函数解析式.思路解析:根据A、ω、φ、b对图像的影响确定解析式.解:(1）由图3—3-9所示，这段时间的最大温差是30—10=20（℃）；(2）从图中可以看出，从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ）+b的半个周期的图像。∴·=14—6，解得ω=。由图知A=（30-