2024八年级数学上册提练第5招构造全等三角形的七种常用方法习题课件新版冀教版

冀教版八年级上第5招构造全等三角形的七种常用方法01教你一招02典例剖析03分类训练目

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在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些

辅助线，辅助线能使题目中的条件集中，能比较容易找到一

些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线

作法有：翻折法、补形法、旋转法、倍长中线法、截长(补

短)法、作垂线法和作平行线法，目的都是构造全等三角形.返回

如图，已知

AB

∥

CD

，

CE

，

BE

分别平分∠

BCD

和∠

CBA

，点

E

在

AD

上.求证：

BC

＝

AB

＋

CD

.

证明线段的和差问题，常采用截长补短法，即把两

条较短线段中的一条补到另一条线段上，或把较长的线段截

成两条线段，构造全等三角形来解决.

返回

翻折法1.

如图，在△

ABC

中，

BE

是∠

ABC

的平分线，

AD

⊥

BE

，垂足为

D

.

求证：∠2＝∠1＋∠

C

.

1234567【证明】如图，延长

AD

交

BC

于点

F

.

(相当于将

AB

边向

下翻折，与

BC

边重合，

A

点落在

F

点处，折痕为

BE

)∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

CBE

.

∵

BD

⊥

AD

，∴∠

ADB

＝∠

BDF

＝90°.在△

ABD

和△

FBD

中，1234567

∴△

ABD

≌△

FBD

(ASA).∴∠2＝∠

DFB

.

又∵∠

DFB

＝∠1＋∠

C

，∴∠2＝∠1＋∠

C

.

1234567返回

补形法2.

[2024·石家庄第二十三中学月考]如图，在△

ABC

中，

AD

为中线，在

DA

延长线上取一点

E

，连接

EC

，使∠

E

＝

∠

BAD

.

过点

C

作

CF

⊥

AD

于点

F

.

下列结论中正确的

个数为(

D

)①

AF

＝

CF

；②

AB

＝

CE

；③

AE

＝2

DF

；④

S△

ABD

＝

S△

ACD

；⑤

S△

ABD

＋

S△

CDF

＝

S△

ECF

.

A.1个B.2个C.3个D.4个1234567∵∠

G

＝∠

CFD

＝90°，∠

BDG

＝∠

CDF

，

BD

＝

CD

，∴△

BDG

≌△

CDF

(AAS).【点拨】过点

B

作

BG

⊥

AD

，交

AD

的延长线于点

G

，如图.∴

DG

＝

DF

，

BG

＝

CF

，

S△

BDG

＝

S△

CDF

.

∵∠

E

＝∠

BAD

，∠

EFC

＝∠

AGB

＝90°，

CF

＝

BG

，1234567无法推出

AF

＝

CF

，故①错误；③∵

AG

＝

EF

，且

AG

＝

AF

＋

GF

，

EF

＝

AF

＋

AE

，∴

AE

＝

GF

.

∵

DG

＝

DF

，∴

AE

＝2

DF

，故③正确；∴△

CEF

≌△

BAG

(AAS).∴

AB

＝

CE

，

AG

＝

EF

，

S△

CEF

＝

S△

BAG

.

故

②正确；1234567④∵

AD

为中线，∴

S△

ABD

＝

S△

ACD

，故④正确；

S△

ABD

＋

S△

CDF

＝

S△

ABD

＋

S△

BDG

＝

S△

ABG

＝

S△

ECF

，故⑤正确.故选D.

【点拨】D1234567返回

旋转法3.

如图，在正方形

ABCD

中，

E

为

BC

边上一点，

F

为

CD

边上一点，

BE

＋

DF

＝

EF

.

则∠

EAF

的度数为

⁠.45°

1234567【点拨】如图，延长

CB

到点

H

，使得

BH

＝

DF

，连接

AH

(相当于将△

ADF

旋转到△

ABH

的位置).∵∠

ABE

＝90°，∠

D

＝90°，∴∠

D

＝∠

ABH

＝90°.

∴△

ABH

≌△

ADF

(SAS).1234567∴

AH

＝

AF

，∠

BAH

＝∠

DAF

.

∴∠

BAH

＋∠

BAF

＝∠

DAF

＋∠

BAF

，即∠

HAF

＝∠

BAD

＝90°.

1234567返回

倍长中线法4.

[2024·廊坊三河第九中学期中]如图，

AD

是△

ABC

的边

BC

上的中线，

AB

＝7，

AD

＝5，则

AC

的取值范围为

(

C

)A.5＜

AC

＜15B.3＜

AC

＜15C.3＜

AC

＜17D.5＜

AC

＜171234567【点拨】延长

AD

至点

E

，使得

DE

＝

AD

，连接

CE

，如

图所示.∵

AD

是△

ABC

的边

BC

上的中线，∴

BD

＝

CD

.

∵∠

ADB

＝∠

EDC

，∴△

ABD

≌△

ECD

(SAS)，∴

AB

＝

CE

＝7.∵

AD

＝5，∴

AE

＝10，在△

AEC

中，根据三角形三边关系可得3＜

AC

＜17.故选C.

【答案】C1234567【点方法】

本题运用

倍长中线法

构造全等三角形，将证明不等

关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三

角形中，利用三角形的三边关系来解决.本题运用

倍长中线法

构造全等三角形，将证明不等

关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三

角形中，利用三角形的三边关系来解决.1234567返回

截长(补短)法5.

如图，在四边形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，∠

BAD

＝

120°，∠

B

＝∠

ADC

＝90°.

E

，

F

分别是

BC

，

CD

上

的点，且∠

EAF

＝60°.探究图中线段

BE

，

EF

，

FD

之

间的数量关系，并说明理由.1234567【解】

EF

＝

BE

＋

FD

.

理由如下：如图，延长

FD

到点

G

，使

DG

＝

BE

，连接

AG

.

∵∠

B

＝∠

ADC

＝90°，∴∠

B

＝∠

ADG

＝90°.在△

ABE

和△

ADG

中，

1234567∴△

ABE

≌△

ADG

(SAS).∴

AE

＝

AG

，∠

BAE

＝∠

DAG

.

又∵∠

BAD

＝120°，∠

EAF

＝60°，∴∠

BAE

＋∠

FAD

＝60°.∴∠

DAG

＋∠

FAD

＝60°，即∠

GAF

＝60°.∴∠

EAF

＝∠

GAF

＝60°.1234567

∴△

EAF

≌△

GAF

(SAS).∴

EF

＝

GF

＝

FD

＋

DG

.

∴

EF

＝

BE

＋

FD

.

1234567返回

作垂线法6.

[2024·淮北五校期中]如图，△

ECF

中，∠

ECF

＝90°，

点

C

(－3，3)，

CE

交

x

轴负半轴于点

A

，

CF

交

y

轴负半

轴于点

B

，则

OA

－

OB

的值为

⁠.6

1234567【点拨】如图，过点

C

分别作

x

轴与

y

轴的垂线，垂足分别为

M

，

N

，∵

C

(－3，3)，∴

CM

＝

CN

＝

ON

＝

OM

＝3，∠

MCN

＝90°.又∵∠

ECF

＝90°，1234567

CM

＝

CN

＝3，∠

ACM

＝∠

BCN

，∴△

AMC

≌△

BNC

(ASA)，∴

AM

＝

BN

，∴

OA

－

OB

＝(

AM

＋

OM

)－(

BN

－

ON

)＝

AM

＋

OM

－

BN

＋

ON

＝

AM

＋3－

AM

＋3＝6.故答案为6.∴∠

ACM

＝∠

ECF

－∠

MCF

＝∠

MCN

－∠

MCF

＝∠

BCN

.

∵∠

AMC

＝∠

BNC

＝90°，1234567返回

作平行线法7.

如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝60°，∠

C

＝40°，

AP

平分∠

BAC

交

BC

于点

P

，

BQ

平分∠

ABC

交

AC

于点

Q

.

求证：

AB

＋

BP

＝

BQ

＋

AQ

.

1234567

1234567如图，过点

P

作

PD

∥

BQ

交

CQ

于点

D

.

则∠

CPD

＝∠

CBQ

＝4