福建省漳浦达志中学2025届数学高二上期末质量检测试题含解析

福建省漳浦达志中学2025届数学高二上期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线与A、B两点，若线段中点的纵坐标为3，则等于（）A.10 B.8C.6 D.42．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32C.36 D.373．已知满约束条件，则的最大值为（）A.0 B.1C.2 D.34．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.5．若x，y满足约束条件,则的最大值为（）A.2 B.3C.4 D.56．等差数列前项和，已知，，则的值是（）.A. B.C. D.7．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（）A. B.C. D.8．命题：，的否定为（）A.， B.不存在，C.， D.，9．抛物线的焦点到直线的距离（）A. B.C.1 D.210．函数的导函数的图像如图所示，则（）A.为的极大值点B.为的极大值点C.为的极大值点D.为的极小值点11．“”是“方程为双曲线方程”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率___________.14．已知平面，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面，所成的角都是30°，则这样的直线l有______条15．两条平行直线与的距离是__________16．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆过点且与圆外切于点，直线将圆分成弧长之比为的两段圆弧（1）求圆的标准方程；（2）直线的斜率18．（12分）在对某老旧小区污水分流改造时，需要给该小区重新建造一座底面为矩形且容积为324立方米的三级污水处理池（平面图如图所示）.已知池的深度为2米，如果池四周围墙的建造单价为400元/平方米，中间两道隔墙的建造单价为248元/平方米，池底的建造单价为80元/平方米，池盖的建造单价为100元/平方米，建造此污水处理池相关人员的劳务费以及其他费用是9000元.（水池所有墙的厚度以及池底池盖的厚度按相关规定执行，计算时忽略不计）（1）现有财政拨款9万元，如果将污水处理池的宽建成9米，那么9万元的拨款是否够用？（2）能否通过合理的设计污水处理池的长和宽，使总费用最低？最低费用为多少万元？19．（12分）已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.（1）求抛物线E的方程；（2）点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点，且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点，求m的取值范围.20．（12分）已知数列的前项和为，且．数列是等比数列，，（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和21．（12分）在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并说明理由；（2）若，求证：平面平面；（3）若是线段的中点，求证：直线平面；22．（10分）已知等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记的前n项和为，证明：，，成等差数列

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据抛物线的定义求解【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设，则，所以，故选：B2、C【解析】直接按照等差数列项数性质求解即可.【详解】数列的前6项之和为.故选：C.3、B【解析】作出给定不等式表示的平面区域，再借助几何意义即可求出的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，，目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，作出直线，平移直线到直线，使其过点A时，的纵截距最小，最大，则，所以的最大值为1.故选：B4、A【解析】圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，解不等式得k的取值范围考点：直线与圆相交的弦长问题5、C【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】作出可行域如图所示，把目标函数转化为，平移，经过点时，纵截距最大，所以的最大值为4.故选：C6、C【解析】由题意，设等差数列的公差为，则，故，故，故选7、B【解析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.【详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，故，，，，，等式左右两边分别相加得，，故选：B.8、D【解析】含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论即可【详解】解：命题：，的否定为：，故选：D9、B【解析】由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由抛物线可得焦点坐标为，根据点到直线的距离公式，可得，即抛物线的焦点到直线的距离为.故选：B.10、A【解析】由导函数的图像可得函数的单调区间，从而可求得函数的极值【详解】由的图像可知，在和上单调递减，在和上单调递增，所以为的极大值点，和为的极小值点，不是函数的极值点，故选：A11、C【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，然后根据“小推大”原则进行判断即可.【详解】因为方程为双曲线方程，所以，所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选：C.12、C【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.【详解】函数定义域为，求导得，于是得函数的图象在点处切线的斜率，而直线的斜率为，依题意，，即，解得，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用点差法可求得的值，利用离心率公式的值.【详解】设点、，则，由已知可得，由题意可得，将两个等式相减得，所以，，因此，.故答案为：.14、4【解析】设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，设OM是的角平分线，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，由此可得答案.【详解】解：设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，因为平面，所以，设OM是的角平分线，则，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，此时直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，同理，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，所以这样的直线l有4条，故答案为：4.15、5【解析】根据两平行直线，可求得a值，根据两平行线间距离公式，即可得答案.【详解】因为两平行直线与，所以，解得，所以两平行线的距离.故答案为：516、【解析】首先利用展开式的二项式系数和是求出，然后即可求出二项式的常数项.【详解】由题知展开式的二项式系数之和是，故有，可得，知当时有.故展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用二项式的系数和求参数，求二项式的常数项，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知圆心在轴上，可设圆心，根据圆过点、可得出关于的方程，求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求得圆的半径，即可得出圆的标准方程；（2）利用几何关系可求得圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式可求得的值.【小问1详解】解：圆的圆心为，记点、，直线即为轴，因为圆与圆外切于点，则圆心在轴上，设圆心，由可得，解得，则圆心，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.【小问2详解】解：由题意可知，直线截圆所得的弦在圆上对应的圆心角为，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.18、（1）不够；（2）将污水处理池建成长为16.2米，宽为10米时，建造总费用最低，最低费用为90000元.【解析】（1）根据题意结合单价直接计算即可得出；（2）设污水处理池的宽为米，表示出总费用，利用基本不等式可求.【小问1详解】如果将污水处理池的宽建成9米，则长为（米），建造总费用为：（元）因为，所以如果污水处理池的宽建成9米，那么9万元的拨款是不够用的.【小问2详解】设污水处理池的宽为米，建造总费用为元，则污水处理池的长为米.则因为，等号仅当，即时成立，所以时建造总费用取最小值90000，所以将污水处理池建成长为16.2米，宽为10米时，建造总费用最低，最低费用为90000元.19、（1）（2）【解析】（1）由焦半径公式可得，求解即可得答案；（2）由题意，直线AB斜率不为0，设，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及可得，从而可得直线AB恒过定点，进而可得定点在椭圆内部或椭圆上即可求解.【小问1详解】解：因为抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4，所以，解得，所以抛物线E的方程为；【小问2详解】解：由题意，直线AB斜率不为0，设，，由，可得，所以，因为，即，所以，所以，即，所以，所以直线，所以直线AB恒过定点，因为直线AB与椭圆恒有公共点，所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，所以.20、（1），（2）【解析】（1）利用求出通项公式，根据已知求出公比即可得出的通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【小问1详解】因为数列的前项和为，且，当时，，当时，，满足，所以，设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以；【小问2详解】因为，，则，两式相减得，所以.21、（1）为二面角的平面角，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）根据，结合二面角定义得到答案.（2）证明平面得到，得到平面，得到证明.（3）延长，交于点，连接，证明即可.【小问1详解】连接，则，，故为二面角的平面角.【小问2详解】