2025届南宁二中、柳州高中数学高三第一学期期末教学质量检测试题含解析

2025届南宁二中、柳州高中数学高三第一学期期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为()A． B．0 C． D．2．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（）A． B． C． D．大小关系不能确定4．设命题：，，则为A．， B．，C．， D．，5．点为的三条中线的交点，且，，则的值为()A． B． C． D．6．设，，，则的大小关系是()A． B． C． D．7．方程在区间内的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．108．已知直线是曲线的切线，则（）A．或1 B．或2 C．或 D．或19．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．10．抛物线y2=ax(a>0)的准线与双曲线C:x28A．8 B．6 C．4 D．211．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．甲得分的平均数比乙大 B．甲得分的极差比乙大C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位数和乙相等12．设命题p:>1,n2>2n,则p为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数在上仅有2个零点，设，则在区间上的取值范围为_______．14．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．15．已知数列的前项和为，且成等差数列，，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为______________.16．已知函数恰好有3个不同的零点，则实数的取值范围为____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，，（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．18．（12分）已知函数，．（1）若，，求实数的值．（2）若，，求正实数的取值范围．19．（12分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（为参数）．（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长．20．（12分）设数列的前列项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.21．（12分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为，，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.2、A【解析】

根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合的正整数性质即可确定解的个数.【详解】由题意可知首项为2，设第二项为，则第三项为，第四项为，第五项为第n项为且，则，因为，当的值可以为；即有3个这种超级斐波那契数列，故选：A.【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.3、B【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：，于是此点取自阴影部分的概率为．又，故．故选B．【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．4、D【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.故本题答案为D.【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.5、B【解析】

可画出图形，根据条件可得，从而可解出，然后根据，进行数量积的运算即可求出．【详解】如图：点为的三条中线的交点，由可得：，又因，，.故选：B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.6、A【解析】

选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.【详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以，因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7、C【解析】

画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.【详解】，验证知不成立，故，画出函数和的图像，易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于.故选：.【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.8、D【解析】

求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.【详解】直线的斜率为，对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.故选：D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.9、C【解析】

根据，两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量，满足，且，所以，所以，所以，所以，所以与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.10、A【解析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【详解】抛物线y2=ax(a>0)的准线为x=-a4，双曲线C:x28-y24【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．11、B【解析】

由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．【详解】对于甲，；对于乙，，故正确；甲的极差为，乙的极差为，故错误；对于甲，方差.5，对于乙，方差，故正确；甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确．故选：．【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．12、C【解析】根据命题的否定，可以写出：，所以选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先根据零点个数求解出的值，然后得到的解析式，采用换元法求解在上的值域即可.【详解】因为在上有两个零点，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难.对形如的函数的值域求解，关键是采用换元法令，然后根据，将问题转化为关于的函数的值域，同时要注意新元的范围.14、【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则∵∠APB的大小恒为定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．15、1【解析】

本题先根据公式初步找到数列的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得的值，即可确定数列的通项公式，代入数列的表达式计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和，再代入不等式进行计算可得最小正整数的值．【详解】由题意，当时，．当时，．则，．，，成等差数列，，即，解得．．，．．．，．即，，即，，，，即．满足的最小正整数的值为1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力．16、【解析】

恰好有3个不同的零点恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.【详解】解：恰好有3个不同的零点恰有三个根，令，，在递增；，递减，递增，时，在有一个零点，在有2个零点；故答案为：.【点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.详解：（Ⅰ）当，.，当，，所以切线方程为.（Ⅱ）,,因为，所以.令，，则在单调递减，因为，所以在上增，在单调递增.,,因为，所以在区间上的值域为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.18、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用导数求得的单调性，转化为，令（），利用导数得到的单调性，分类讨论，即可求解．解法二：可利用导数，先证明不等式，，，，令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）由题意，得，，由，…①，得，令，则，因为，所以在单调递增，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，当且仅当时等号成立．故方程①有且仅有唯一解，实数的值为1．（2）解法一：令（），则，所以当时，，单调递增;当时，，单调递减;故．令（），则．（i）若时，，在单调递增，所以，满足题意．（ii）若时，，满足题意．（iii）若时，，在单调递减，所以．不满足题意．综上述：．解法二：先证明不等式，，，…（*）．令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即．变形得，，所以时，，所以当时，.又由上式得，当时，，，.因此不等式（*）均成立．令（），则，（i）若时，当时，，单调递增;当时，，单调递减;故．（ii）若时，，在单调递增，所以．因此，①当时，此时，，，则需由（*）知，，（当且仅当时等号成立），所以．②当时，此时，，则当时，（由（*）知）；当时，（由（*）知）．故对于任意，．综上述：．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．19、（1）．x2+y2＝1．（2）16【解析】

（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.（2）圆心到直线的距离为，故弦长为得到答案.【详解】（1），即，即，即.，故.（2）圆心到直线的距离为，故弦长为.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.20、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）由已知可得，构造等比数列即可求出通项公式；（2）当时，由，可求，时，由，可证，验证时，不等式也成立，即可得证.【详解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）当时，，,当时，，综上，由可得递增，，时；所以，综上：故.【点睛】本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.21、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由折叠过程知与平面垂直，得，再取中点，可证与平面垂直，得，从而可得线面垂直，再得线线垂直；（2）由已知得为中点，以为原点，所在