有限元分析方法基本原理-2020-09-29

有限元分析方法基本原理—课程名称：《工程有限元方法》—上课班级：金材1171—日期：2020-09-291一、碰撞测试有限元仿真实例（真实碰撞测试）2一、碰撞测试有限元仿真实例（有限元仿真）3设计（CAD）产品原型测试产品优化最终产品设计（CAD）有限元仿真产品优化最终产品高成本！开发周期长！低成本！开发周期短！一、碰撞测试有限元仿真实例4传统产品研发流程：现代化产品研发流程：二、金属材料成形有限元仿真实例5

一变横截面杆(右图为等腰梯形)，一端固定，另一端承受拉力P，试求杆沿长度方向任一截面变形大小。其中杆上边宽度为w1，下边宽度为w2，厚度为t，长度为L，弹性模量为E

。三、有限单元法的基本概念:一维杆单元实例6

解：设杆任一横截面面积为：平均应力为，应变为，根据力的平衡条件：

根据虎克定律：任一横截面产生的应变：①采用材料力学的研究方法进行精确求解7将上述方程变换后得：沿杆的长度方向进行积分，得到精确解：可得杆沿长度方向任一位置的变形：8给定P＝4450N，=3mm，

=250mm，

=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm=25mm，＝50mm，A1=150mm2

A2=150-0.3×62.5=131.25mm2

A3=150-0.3×62.5×2=112.5mm2

A4=150-0.3×62.5×3=93.75mm2

A5=150-0.3×62.5×4=75mm2

则：将分别带入变形公式可得精确解为：910采用Matlab计算：②采用数值方法近似求解

将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段等截面直杆，每一小段称为一个单元，小段之间通过节点连接起来，这样变横截面杆就用5个节点和4个单元组成的模型来表示。11假设：任一横截面为A，长为的杆，承受外力F的作用，则杆的平均应力为：杆的平均应变为：根据虎克定律有：经过简化得：12

上述方程与线性弹簧方程极为相似，说明：一个中心点集中受力且横截面相等的杆可以等效为一个弹簧，其等价刚度为:

因此，本题的变横截面杆可以看作由四个线性弹簧串联起来的模型来表示，每一个单元都可以视为一个线性弹簧，其弹性行为符合以下方程：1314

下面考虑每一个节点的受力，根据静力平衡条件，每一个节点上的受力总和为0，即：节点1：节点2：节点3：节点4：节点5：15

将力写到右边，得：节点1：节点2：节点3：节点4：节点5：16将上述方程组写成矩阵形式，有：17写成一般形式，可得：即：18

引入边界条件，根据本题要求，节点1的位移为0，即，则有如下矩阵形式：19

求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应力和应变。即：20令P＝4450N，=3mm，

=250mm，

=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm=25mm，下面代入参数验证以上两种方法求解的结果是否一样？＝50mm，A1=150mm2A2=150-0.3×62.5=131.25mm2

A3=150-0.3×62.5×2=112.5mm2A4=150-0.3×62.5×3=93.75mm2

A5=150-0.3×62.5×4=75mm2

则：每个单元的等效刚度系数k1=(150+131.25)×72×1000000/(2×62.5)=162×106N/Mk2=(131.25+112.5)×72×1000000/(2×62.5)=140.4×106N/Mk3=(112.5+93.75)×72×1000000/(2×62.5)=118.8×106N/Mk4=(93.75+75)×72×1000000/(2×62.5)=97.2×106N/M21总体刚度矩阵：应用边界条件u1=0和负荷P＝4450N,可以得到：22求解上述方程可得：精确解为：2324

两种结果非常接近，误差非常小，如果要求更高的精度，可以划分更多的节点和单元。但是，精确解采用严格的物理数学模型，通过积分等数学公式推导才能得出结果，而离散化方法只需求解线性方程组就能求解，便于计算机编程求解，其结果能够达到要求。求出位移后，其它参数就可以求解了。25每个单元的平均应力：26③有限单元法概念

基本思想：将结构进行离散，用有限个容易分析的单元来表示复杂的工程结构，各单元之间通过节点相互连接，根据有限元基本理论建立有限元总体平衡方程KU=F，然后求解。有限元法是目前最为成功的通用工程分析方法和工具，并将在相当长的时期内保持领先优势。2728三、有限单元法的基本概念:二维平面单元单元节点几何模型逐个计算单元刚度矩阵组集整体刚度矩阵并求解KU=F，得到节点位移计算模型内部任意点的位移有限元理论推荐教材：29[1]LoganD.L.2007.Afirstcourseinthefiniteelementmethod(Nelson:Toronto,Ontario,Canada).中文译本：《有限元方法基础教程》

[2]ChandrupatlaT.R.2012.IntroductiontoFiniteElementsinEngineering(PrenticeHall:NewJersey).中文译本：《工程中的有限元方法》，曾攀(译)四、有限单元法的软件实现CAE（ComputerAidedEngineering）技术，即计算机辅助工程技术，是近20年发展起来的一种新兴学科，是一个涉及面广，集计算力学、计算数学、工程科学、工程管理学、现代计算技术等多种学科与工程于一体的综合性、知识密集性的数值模拟分析技术，在现代工业技术改造与高新技术发展中具有重要的地位和作用。.30CAE软件是包含了数值计算技术、数据库、计算机图形学、工程分析与仿真等在内的综合型软件系统，基本结构如下：用户界面CADCAMCAPPPDM…数据管理系统数据库知识库专家系统前处理有限元分析后处理静力分析动力学分析振动模态分析热分析（温度场）电磁场分析计算流体力学分析耦合分析31CAE软件可分为专用与通用两类：针对特定类型工程或产品所开发的用于产品性能分析、预测和优化分析的软件，称为专用CAE软件，如显式动力学分析软件LS/DYNA、焊接仿真软件SysWeld、金属锻造仿真软件Deform、金属板料成型仿真软件AutoForm、断裂仿真软件PhiPsi等。32

可以对多种类型工程和产品的物理力学性能进行分析、模拟、预测、评价和优化，以实现产品技术创新的软件，称为通用CAE软件，比如

ANSYS（美国）、ABAQUS（法国）、ADINA（美国）、ALGOR（美国）、NASTRAN（美国）、COMSOL（瑞典）等。33

目前我国缺乏具备自主知识产权的通用有限元软件。34五、ANSYS有限元分析软件（1）建模

GUI:Preprocessor;命令流：/prep7（2）加载及求解

GUI:Solution；命令流：/solu（3）观察结果GUI：GeneralPostproc，TimeHistPostproc命令流：/post1,/post2635确定工作路径和分析标题（File<ChangeTile）选定单元（Plane182,Beam188,Shell181,Solid185）定义实常数（壳单元的厚度）或截面属性（梁单元

的形状）定义材料性质（多种材料需要增加材料类型）创建几何模型（注意有时需要Glue）划分有限元网格施加载荷和约束（边界条件）建模：36求解ANSYS/Structural求解功能Static--结构静力问题（包括线性和非线性问题），应用最广泛Modal--模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型）Harmonic--谐波分析（正弦激励作用下的响应）Transient--瞬态分析（任意随时间变化载荷作用下的响应）Spectrum--谱分析（输入数据为响应和频率的关系曲线）EigenBuckling--特征值屈曲分析（线性）

37几何模型和有限元模型：关键点线面体单元节点几何模型有限元模型38ANSYS中的坐标系：总体坐标系局部坐标系节点坐标系单元坐标系结果坐标系直角坐标系圆柱坐标系球坐标系根据用途划分：根据几何类型划分：39ANSYS中单元类型按形状分类：（1）质点单元（如质量单元Mass21）（2）线单元（如弹簧单元Combin14、杆Link180、梁Beam188、管单元Pipe288）（3）面单元（二维平面Plane182、壳Shell181等）（4）体单元（如Solid185等）（5）其它辅助单元，如预紧单元Pret179

，可以处理预紧螺栓；接触单元，如CONTA172；目标单元，如TRAGE17040plane182单元PLANE182 用于 2 维实体结构建模。本单元即可用作平面单元 (平面应力、平面应变或广义平面应变)，也可作为轴对称单元。本单元有四个节点，每个节点 2 个自由度：节点  x 和 y 方向的平移。41ANSYS梁单元Beam188是一种3D线性、二次或三次的2节点梁单元。Beam189是一种3D二次3节点梁单元。每个节点有六个或者七个自由度，包括x、y、z 方向的平动自由度和绕x、y、z 轴的转动自由度，还有一个可选择的翘曲自由度。该单元非常适合线性、大角度转动或大应变非线性问题。ANSYS壳单元SHELL181单元适合对薄的到具有一定厚度的壳体结构进行分析。它是一个4结点单元，每个结点具有6个自由度：x,y,z方向的位移自由度和绕X,Y,Z轴的转动自由度。Shell181单元非常适用于分析线性的，大转动变形和非线性的大形变。SHELL181单元可以应用在多层结构的材料，如复合层压壳体或者夹层结构的建模。ANSYS杆单元-Link180简介LINK180单元是有着广泛工程应用的杆单元，它可以用来模拟桁架、缆索、连杆、弹簧等等。这种三维杆单元是杆轴方向的拉压单元，每个节点具有三个自由度：沿节点坐标系X、Y、Z方向的平动。本单元不承受弯矩。本单元具有塑性、蠕变、旋转、大变形、大应变等功能。同时本单元还具有弹性、各向同性塑性硬化、动力塑性硬化、Hill（各向异性塑性）、Chaboche（非线性塑性硬化）以及蠕变等性能。ANSYS三维实体单元-Solid185单元Solid185单元用于构造三维固体结构.单元通过8个节点来定义,每个节点有3个沿着xyz方向平移的自由度.单元具有超弹性,应力钢化，蠕变,大变形和大应变能力.还可采用混合模式模拟几乎不可压缩弹塑材料和完全不可压缩超弹性材料。Solid185应用十分广泛。45AN