1722勾股定理的应用(精练)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

17.2.2勾股定理的应用一．选择题1．小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家直线距离为250m远的地方，那么小明向正东方向走的路程是（）A．250m B．200m C．150m D．100m【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：AB＝150m，AC＝250m，则BC＝＝＝200（m）．答：小明向正东方向走了200m，故选：B．2．为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得AC＝5米，在点C正上方找一点D（即DC⊥BC），测得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，则景观池的长AB为（）A．5米 B．6米 C．8米 D．10米【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出DC，进而利用含30°角的直角三角形的性质BC，进而解答即可．【解答】解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，∴CD＝AC＝5（米），∵∠CDB＝60°，∴BC＝DC＝（米），∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），故选：D．3．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．4．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为（）A．80mm B．100mm C．120mm D．150mm【分析】根据勾股定理：AC2+BC2＝AB2，即可求得．【解答】解：如图，分别过点A、点B作AC⊥BC于C，在Rt△ABC中，∵AC＝150﹣60＝90，BC＝180﹣60＝120，∴AB＝＝150（mm），∴两圆孔中心A和B的距离为150mm．故选：D．5．如图，一棵大树在离地面6m，10m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部12m处，则大树折断前的高度是（）A．14m B．16m C．18m D．20m【分析】作BO⊥DC于点O，首先由题意得：AD＝BO＝6m，AB＝OD＝4m，然后根据DC＝6米，得到OC＝8米，最后利用勾股定理得BC的长度即可．【解答】解：如图，作BO⊥DC于点O，由题意得：AD＝BO＝6m，AB＝OD＝4m，∵DC＝12m，∴OC＝8m，∴由勾股定理得：BC＝（m），∴大树的高度为10+10＝20（m），故选：D．6．如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（）米．A．5 B．12 C．13 D．17【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．7．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：B．二．填空题8．如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是米．【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．【解答】解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．∴BD＝＝400m，设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，x2＝160000+x2﹣800x+3002，800x＝250000，x＝312.5．答：商店与车站之间的距离为312.5米，故答案为：312.5．9．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+1.52＝6.25，∴AB2＝4．∵AB＞0，∴AB＝2米．∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米．答：小巷的宽度BE为2.7米，故答案为：2.7．10．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯米．【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．【解答】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，由题意得：∠ACB＝90°，AB＝10米，AC＝6米，由勾股定理得BC＝＝＝8（米），则AC+BC＝14（米），故答案为：14．三．解答题11．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．【解答】解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝130m，在Rt△ABC中，CB＝＝50（m），∴CD＝2CB＝100（m），则该校受影响的时间为：100÷5＝20（s）．答：该学校受影响的时间为20s，12．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【解答】解：将台阶展开，如下图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2+BC2＝169，所以AB＝13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．13．如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求折痕AD的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断AC2+BC2＝52+122＝AB2是否成立即可．（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．在Rt△EBD中，根据勾股定理即可得到一个关于DE的方程，解方程即可求