2024-2025学年湖南省长沙麓山国际实验学校高一（上）第一次学情检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年长沙麓山国际实验学校高一（上）第一次学情检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=x}，B={x|y=1x−1A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}

C.{x|0≤x<1} D.{x|x≥0且x≠1}2.下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是(

)A.f(x)=|2x|，g(x)=4x2

B.f(x)=x2，g(x)=(x)3.已知x，y∈R，则使x>y成立的充分条件为(

)A.xy+1>1 B.1y>1x−14.设集合A={x|2a<x<a+2}，B={x|x<−3或x>5}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为(

)A.[−32,+∞) B.(−32,+∞)5.关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3}，则下列选项正确的是A.a>0

B.不等式bx2−ax+c>0的解集为{x|−65<x<1}

C.a−b+c>06.已知命题p：∀x∈[1,3]，x2−ax+3<0，则p的一个必要不充分条件是(

)A.a<5 B.a>3 C.a<4 D.a>47.已知正数x，y满足(x−2)(y−1)=2.若不等式x+2y>m2+2m恒成立，实数m的取值范围是A.(−∞,−4)∪(2,+∞) B.(−4,2)

C.(−∞,−2)∪(4,+∞) D.(−2,4)8.关于x的不等式(ax−1)2<x2恰有2个整数解，则实数A.(−32,−43]∪(43，32] 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知集合A={x|x=2k+1,k∈N}，B={x|x=3k+1,k∈N}，C={x|x=4k+1,k∈N}，D={x|x=3k+2,k∈N}，则下面说法正确的是(

)A.C⊆A

B.B∪D=N

C.B∩C={x|x=12k+1,k∈N}

D.若m∈A，n∈C，则m+n∈10.给出以下四个判断，其中正确的是(

)A.已知函数y=x−22x+1(x≥1)的值域为[−13,12)

B.关于“x∈[1,2]的不等式x2−2x−a≥0有解”的一个必要不充分条件是a<0

C.函数f(x)=x2，定义域A⊆R，值域B={4}，则满足条件的f(x)11.下列说法正确的有(

)A.若x<12，则2x+12x−1的最大值是−1

B.若x∈R，则x2+4+1x2+4的最小值为2

C.若a，b，c均为正实数，且a+b+c=2，则1a+b三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.命题∃x∈R，x2+3x−4≤0的否定是______．13.函数y=x−21+x的值域为______．14.已知函数f(x)=x+6,x<ax2−4x,x≥a，若函数f(x)的值域为R，则实数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设全集U=R，集合A={x|−2<x<5}，B={x|2−a<x<1+2a}．

(1)若a=3，求A∪B，A∩B；

(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．16.(本小题15分)

如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形(图中阴影部分)和一个小正方形MNPQ构成的面积为200m2的十字形地域，现计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为420元/m2；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为8元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)．

(1)将S表示为x的函数；17.(本小题15分)

已知m>0，n>0且mn=m+n+15．

(1)求mn的最小值．

(2)求m+n的最小值．

(3)求2m+3n的最小值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x2−ax−a，g(x)=(a+1)x2−(1+2a)x−a+1(a∈R)．

(1)若f(x)在区间[0,2]上最大值为2，求实数a的值；

(2)当19.(本小题17分)

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：

在定义域(0,+∞)内存在x0，使函数f(x0+1)≤f(x0)f(1)成立；

(1)请给出一个x0的值，使函数f(x)=1x∈M；

(2)函数f(x)=x2−x−2参考答案1.D

2.A

3.D

4.A

5.D

6.B

7.B

8.B

9.ACD

10.AC

11.AD

12.∀x∈R，x213.[−2,+∞)

14.[−10,6]

15.解：全集U=R，集合A={x|−2<x<5}，B={x|2−a<x<1+2a}．

(1)当a=3时，B={x|−1<x<7}，

则A∪B={x|−2<x<7}，A∩B={x|−1<x<5}．

(2)因为A∩B=B，则B⊆A，

当B=⌀时，2−a≥1+2a，解得a≤13，B⊆A成立；

当B≠⌀时，2−a<1+2a2−a≥−21+2a≤5，解得13<a≤2，

16.解：(1)由题意，十字形区域的面积为200m2且AD=x，

则小正方形MNPQ的面积为x2m2，则阴影部分的面积为(200−x2)m2，

设AM=y，则4xy+x2=200，可得y=200−x24x=50x−x4，

且200−x2>0x>0，解得0<x<102，

所以S=420x2+21×4xy+8×2y2=420x2+21×(200−x217.解：(1)m>0，n>0且mn=m+n+15，

由于m+n≥2mn，故mn−15≥2mn，

解得mn≥25，当且仅当m=n=5时，等号成立，

故mn的最小值为25；

(2)m>0，n>0且mn=m+n+15，

由于m+n≥2mn，故m+n≥2m+n+15，

解得m+n≥10，

故m+n的最小值为10，当且仅当m=n=5时，等号成立；

(3)mn=m+n+15，若n=1，显然不成立，舍去，

故n≠1，故m=n+15n−1，

因为m>0，n>0，故n>1，

故2m+3n=2n+30n−1+3n=3n2−n+30n−1，

令n−1=t>0，2m+3n=3(t+1)2−t−1+3018.解：(1)函数f(x)=x2−ax−a图象的对称轴为x=a2，

当a2≤1，即a≤2时，f(x)max=f(2)=4−3a=2，解得a=23，则a=23；当a2>1，即a>2时，f(x)max=f(0)=−a=2，解得a=−2，矛盾，所以a=23．

(2)显然g(x)−f(x)=ax2−(a+1)x+1=(ax−1)(x−1)<0，而a>0，

因此不等式为(x−1)(x−1a)<0，

当1a<1，即a>1时，不等式解集为(1a,1)19.解：(1)令x0=2，则13≤12，成立；

(2)假设函数f(x)=x2−x−2是集合M中的元素，则存在x0，使

f(x0+1)≤f(x0)f(1)成