2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过A0,1,B3A.−60∘ B.60∘ C.1202.已知直线l经过点A(1,1,2),B(0,1,0)，平面α的一个法向量为n=(−2,0,−4)，则(

)A.l//α B.l⊥α

C.l⊂α D.l与α相交，但不垂直3.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，AB=a，A.a−12b+c B.a4.设点A2,3,−4在xOy平面上的射影为B，则OB等于(

)A.29 B.5 C.255.在以下4个命题中，不正确的命题的个数为(

)①若a⋅b=②若三个向量a,b,③若a,b,④a⋅A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知向量a,b，则“a+b⋅a−b=0”是“aA.必要而不充分 B.充分而不必要

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知PA=(2,1,−3)，PB=(−1,2,3)，PC=(7,6,λ)，若P，A，B，C四点共面，则λ=A.9 B.−9 C.−3 D.38.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB⋅AC=0，AC⋅AD=0 ，ABA.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是(

)

A.14 B.12 C.210.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为(

)

A.56 B.116 C.11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点A.32 B.38 C.12.菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘，E为AB的中点(如图1)，将▵ADE沿直线DE翻折至▵A′DE处(如图2)，连接A′B，A′C，若四棱锥A′−EBCD的体积为43，点F为A′D的中点，则A.312 B.232 C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13.已知向量a=(−1,2,1), b=(3,x,y)，且a//b，则x+y=14.已知i，j，k为空间两两垂直的单位向量，且a=i+2j−k，b=315.已知a=2,−2,3,b=1,1,−2，则向量a在向量16.已知直线l斜率的取值范围是−3,1，则l的倾斜角的取值范围是

17.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=3,AB=4,E,F,G分别是棱C1D1,BC,CC1的中点，M18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=1.G为PC的中点，M为▵PBD内一动点(不与P,B,D三点重合).给出下列四个结论：

①直线BC与PD所成角的大小为π4；②AG⊥BM；③GM的最小值为33；④若AM=2其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)已知空间中三点A−2,0,2,B−1,1,2(1)求a⋅(2)求向量a与向量b夹角的大小．20.(本小题12分)如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，∠BAD=90

(1)用a,b,c表示(2)求BM⋅A21.(本小题12分)如图，正方体ABCD−A1B1C1D

(1)求证：BD1//(2)若点F是线段BD1的中点，求直线DF与平面D22.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB//CD,∠ADC=90∘，且(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在点G(G与P,B不重合)，使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23？若存在，求PGPB23.(本小题12分)学习阅读以下材料，应用所学知识解决下面的问题．类比于二维空间(即平面)，向量a可用二元有序数组a1,a2表示，若n维空间向量a用n元有序数组a1,a①数乘运算：ka②加法运算：a+③数量积运算：a⋅④向量的模：a=⑤对于一组向量aii=1,2,⋯,m，若存在一组不同时为零的实数ki⑥在n维向量空间中，基底是一组线性无关的向量e1,e2,⋯,en设Ai是n元集合A=1,2,⋯,n的子集，集合Ai元素的个数记为Ai，若集合组A1,A2,⋯,Am同时满足以下2个条件，则称集合组A(1)当n=3时，集合组A1,A2,⋯,(2)当n=8时，集合组A1,A2,⋯,(3)Ai是n元集合A=1,2,⋯,n的子集，若集合组A1,A2参考答案1.B

2.B

3.B

4.D

5.C

6.A

7.B

8.A

9.C

10.D

11.A

12.A

13.−9

14.−3

15.−1,−1,2

16.0,π17.11418.①②④

19.(1)已知A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,3)．a=b=所以a+则a⋅((2)根据向量点积公式a⋅a⋅|a|b则cosθ=所以θ=120

20.(1)因为平行六面体ABCD−A1B1C1D所以M是A1C1又因为AB=a,AD=那么BM=因为BA1=所以BM=|BM因为∠BAD=90∘，所以a⋅b=0所以c⋅|BM|2(2)因为AC所以BM==1

21.(1)连接D1C，D1

O,E分别是D1C,BC的中点，∴OE//B又BD1⊄平面DC1∴BD1//(2)如图所示，以点D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为

则D(0,0,0)，C1(0,2,2)，E(1,2,0)，B(2,2,0),D∴DC1=(0,2,2)设n=(x,y,z)为平面D则n⋅DC1=0设直线DF与平面DC1Esinθ=故直线DF与平面DC1E

22.(1)因为PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB，又因为AB//CD,∠ADC=90所以AD⊥AB，而AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD；(2)因为PD⊥平面ABCD,AD,CD⊂平面ABCD，所以PD⊥CD,PD⊥AD，而CD⊥AD，于是建立如图所示的空间直角坐标系，D0,0,0由(1)可知：AB⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量为AB=设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，PB则有m设平面PAD与平面PBC夹角为θ，cosθ=(3)设PG=λPBλ∈于是有x,y,z−2=λDG=2λ,λ,2−2λ，由(2)可知平面PBC的法向量为假设DG与平面PBC所成角的正弦值为23，则有23=即PGPB

23.(1)当n=3时，A=1,2,3集合组A1,A2,⋯,Am具有性质P当Ai=1时，则Ai当Ai=3时，则Ai若集合组A1,A2,⋯,则对于其他集合Aj(j≠1)，要使则Aj所有可能集合为⌀,1,2,故集合组A1,A具有性质P的集合组中只可能包含1,若集合组中存在两个集合Ai,A则Ai∩Aj=故集合组A1,A2,⋯,故m≤3．若集合组为：1,2,则有①Ai=1②Ai∩所以集合组A1,A综上，m的最大值为3，相应满足条件的集合组为：A1(2)集合A=1,2,3,⋯,n设其子集Ai对应向量αi=(若Ai为奇数，则k=1naik为奇数，即又由0×0=0×1=1×0=0,1×1=1可知，若Ai∩Aj为偶数，则αi且由条件可知，Ai≠⌀，且当n=8时，A=1,2,3,⋯,8若集合组为：1,2,则有①Ai=1②Ai∩所以集合组A1,A2,下面证明当m=9时，任意集合A9，集合组：1设A1则α1若集合组为：1,2,设集合A9对应向量α其中x1,x2,⋯,x8不妨理解为这9个集合对应8维空间中的9个向量α1且αi⋅αi为奇数，i=1,2,⋯,9，下面用反证法证明A1,A证明：假设A1,A由α9则α9若x1=1时，则x1则α9⋅α所以x1≠1，则同理，由α9⋅α故α9=0,0,0,⋯,0则A9=0，这与条件故集合组：1,下面证明任意集合组A1,A证明：假设存在一个集合组A1,A(i)设集合组中A1,A2,⋯,若α1,α又由Ai对应向量αi=(ai1,a则α9=i=18λiα即可转化为存在不全为0的9个整数k1使得k1且其中向量等式中的整系数k1,k2,⋯,则k1其中α1⋅α若k1为奇数，则k1α故这与k1α1同理可得ki均为偶数，i=2,3,⋯,9这与9个整系数k1,k因此，若α1,α2,⋯,(ii)设集合组中A1,A2,⋯,若其中A1,A2,⋯,又由Ai对应向量αi=(ai1,a则存在λi∈Q，且λi不全为0,i=1,2,⋯,8即存在不全为0的8个整数t1,t且其中向量等式中的整系数t1,t2,⋯,则t1其中α1⋅α若t1为奇数，则t1α这与t1所以t1同理可得ti均为偶数，i=2,3,⋯,8这与8个整系数t1,t因此，若向量α1,α2,⋯,由(i)(ii)可知假设错误，故任意集合组A1,A综上所述，m的最大值为8．(3)集合A=1,2,3,⋯,n若集合组为：1,2,则有①Ai=1为奇数，其中i=1,2,3,⋯,n；②即满足条件①②，所以集合组A1,A2,下面证明当m=n+1时，任意集合An+1，集合组：1,2不妨设A1则α1若集合组为：1,2,3,⋯,n,设集合An+1对应向量αn+1=x1,x2,⋯,xn不妨理解为这n+1个集合对应n维空间的n+1个向量α1此时αi⋅α且αi⋅α下面用反证法证明集合组A1,A证明：假设集合组A1,Aαn+1则αn+1若x1=1时，则x1则αn+1⋅α1为奇数，这与条件所以x1≠1，则同理，由αn+1⋅α故αn+1=0,0,0,⋯,0则An+1=0，这与条件故任意集合组：1,2,下面证明任意集合组A1,A证明：假设存在一个集合组A1,A(i)设集合组中A1,A2,⋯,若α1,α又由Ai对应向量αi=(ai1,a则αn+1=i=1nλiα即可转化为存在不全为0的n+1个整数k1使得k1且其中向量整系数k1,k2,⋯,则k1其中α1⋅α若k1为奇数，则k1α这与k1α1同理可得ki均为偶数，i=2,3,⋯,n+1这与n