2024-2025学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1第1课时根式学案新人教A版必修第一册

4.1指数第1课时根式学习任务核心素养1．理解n次方根及根式的概念，驾驭根式的性质．(重点)2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)1．通过学习n次方根、根式，培育数学抽象素养．2．借助根式的性质对根式进行运算，培育数学运算素养.公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思索了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发觉这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发觉使数学史上第一个无理数eq\r(2)诞生了．问题：若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫做3的什么？如何表示？学问点1根式及相关概念(1)a的n次方根定义假如xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．1.依据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对随意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？[提示]当n为奇数时，对随意实数a，都存在n次方根，可表示为eq\r(n,a)，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±eq\r(n,a).1.(1)27的立方根是________；(2)已知x6＝2021，则x＝________；(3)若eq\r(4,x＋3)有意义，则实数x的取值范围为________．(1)3(2)±eq\r(6,2021)(3)[－3，＋∞)[(1)27的立方根是3.(2)因为x6＝2021，所以x＝±eq\r(6,2021).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意义，则须要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]学问点2根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，eq\r(n,an)＝a.(2)n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(3)eq\r(n,0)＝0.(4)负数没有偶次方根．2.(eq\r(n,a))n中实数a的取值范围是随意实数吗？[提示]不肯定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.2.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)实数a的奇次方根只有一个．()(2)当n∈N*时，(eq\r(n,－2))n＝－2.()(3)eq\r(π－42)＝π－4.()[答案](1)√(2)×(3)×3.(1)eq\r(3,－83)＝________；(2)eq\r(4,3－π4)＝________.(1)－8(2)π－3[(1)eq\r(3,－83)＝－8；(2)eq\r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.]类型1由根式的意义求取值范围【例1】写出访下列各式成立的实数x的取值范围．(1)eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))3)＝eq\f(1,x－3)；(2)eq\r(x－5x2－25)＝(5－x)eq\r(x＋5).[解](1)∵x－3≠0，∴x≠3.即实数x的取值范围为{x|x≠3}．(2)由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥0,x－5≤0，))∴－5≤x≤5，∴实数x的取值范围为{x|－5≤x≤5}．对于eq\r(n,a)，当n为偶数时应留意两点(1)只有a≥0才有意义．(2)只要eq\r(n,a)有意义，则必有eq\r(n,a)≥0.eq\a\vs4\al([跟进训练])1．若eq\r(6,9a2－6a＋1)＝eq\r(3,1－3a)，则实数a的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))[因为eq\r(6,9a2－6a＋1)＝eq\r(6,3a－12)＝eq\r(3,\a\vs4\al(|3a－1|))＝eq\r(3,1－3a)，∴1－3a≥0，∴a≤eq\f(1,3).]类型2利用根式的性质化简求值【例2】(对接教材P105例题)化简下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24).[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))正确区分eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意义，依据n的奇偶性可知a的范围．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全体实数，eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．化简下列各式：(1)eq\r(4,3a－34)(a≤1)；(2)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,1－a4).[解](1)∵a≤1，∴3a－3≤∴eq\r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3－3a.(2)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))类型3有限制条件的根式的化简【例3】(1)若x<0，则x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝________.(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.](2)[解]eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.综上，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))将本例(2)的条件“－3<x<3”改为“x≤－3[解]原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简常常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．已知－1<x<2，化简eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1).[解]∵－1<x<2，∴x－2<0，x＋1>0，∴eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1)＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x.1．(多选)已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子，其中有意义的是()A.eq\r(4,－22n) B．eq\r(3,－22n＋1)C.eq\r(4,－22n) D．eq\r(3,－a2)BCD[结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD.]2．已知m10＝2，则m等于()A.eq\r(10,2) B．－eq\r(10,2)C.eq\r(210) D．±eq\r(10,2)D[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±eq\r(10,2).]3．(eq\r(4,2))4运算的结果是()A．2 B．－2C．±2 D．不确定[答案]A4．若x3＝－5，则x＝________.－eq\r(3,5)[若x3＝－5，则x＝eq\r(3,－5)＝－eq\r(3,5).]5.eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝________.1[eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝4－π＋π－3＝1.]回顾本节学问，自我完成以下问题：1．若xn＝a，则x的值有几个，如何表示？[提示]当n为奇数时，若xn＝a，则x＝e