《两角差的余弦公式》教学设计

16/163.1.1两角差的余弦公式（名师：郑莹莹）一、教学目标（一）核心素养掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力.（二）学习目标1.通过探索完成两角差余弦公式的推导2.通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和（差）角公式打好基础.（三）学习重点通过探索得到两角差的余弦公式（四）学习难点探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务已知，，由此我们能否得到是不是等于呢？如果不是，那2.预习自测（1）下列式子中正确的个数是()①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；③cos(eq\f(π,2)－α)＝cosα；④cos(eq\f(π,2)＋α)＝cosα.A．0B．1C．2D．3答案：A．解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】①②③④都错点拨：每个都配凑成标准两角差的余弦公式型.（2）计算eq\f(1,2)sin60°＋eq\f(\r(3),2)cos60°＝________.答案：eq\f(\r(3),2)解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式【解题过程】原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°＝cos(60°－30°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).点拨：先将常值换成三角函数型，在结合公式.（3）设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A.eq\f(7,5)B.eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5)D．－eq\f(1,5)答案：A．解析：【知识点】两角差公式的展开形式【解题过程】∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∴eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)＋sinαsin\f(π,4)))＝cosα＋sinα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5).点拨：先求出需要的三角函数值，再套用公式.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角函数的定义（2）两个向量的数量积公式2.问题探究探究一●活动1在预习任务中我们提出的，同学们发现它并不是直接将.下面我们一起来探究一下两角差的余弦公式在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为p，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）【设计意图】通过已经学习过的三角函数线的基本定义，运用数形结合的思想，和学生一起探索出两角差的几何位置.●活动2我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标.证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，其中，且，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则由向量数量积的坐标表示，有：由，且知，那么向量的夹角就是，由数量积的定义，有于是（1）由于我们前面的推导均是在，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性.事实上，只要，所表示的就是向量的夹角.（这一点可以结合图形作出说明.）但是，若，（1）式是否依然成立呢？当时，设与的夹角为，则另一方面，，于是所以也有【设计意图】在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位.首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣.探究二●活动①对任意的注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的.【设计意图】和学生一起记忆新公式，并强调如何能准确熟练的记住.探究三●活动1例1利用差角余弦公式求【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】方法一：方法二：【思路点拨】先找到与15°相关的特殊角，而它的配凑有几种不同形式，都可以尝试用公式计算.【答案】.同类型训练题：如何求？答案：解析：【知识点】两角差的余弦，诱导公式.【数学思想】类比【解题过程】点拨：把没有学过的形式向已经学习过的转化，当然这个题同时也提出了两角和正弦公式.例2化简求值【知识点】两角差的余弦公式的逆用【解题过程】（2）所以原式点拨：根据结构形式，把公式灵活应用，逆用公式，能将特殊值转化成角的三角函数值形式.答案：（1）（2）同类型训练题：化简求值答案：（1）（2）解析：【知识点】两角差的余弦公式的逆用【解题过程】点拨：根据结构形式，把公式灵活应用，逆用公式，能将特殊值转化成角的三角函数值形式.●活动2例3答案：解析：【知识点】同角三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】由，得又由是第三象限角，得所以所以原式=点拨：先把公式中需要的单角的正弦和余弦值都求出来，此时要注意正负号的象限问题.再套用两角差的余弦公式就可以了.同类型训练题：已知都是锐角，，求的值.答案：解析：【知识点】两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数的关系【数学思想】类比归纳【解题过程】法一:由，得又由所以，同时联立得法二:由题知，所以点拨：此题是对公式的活用，由学生讨论解决.此题一般有两种方法可以求解.一种方法是把分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把看作，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解.这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式.另一种方法是把看做两角差，即，这种方法显然计算要简单得多.通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题.【设计意图】此题理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识.解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性.3.课堂总结知识梳理（1）了解两角差的余弦公式的推导过程；（2）熟练记忆公式和逆用形式；（3）能利用公式进行简单的化简和求值.重难点归纳（1）了解两角差的余弦公式的推导过程；（2）对公式的简单应用.（三）课后作业基础型自主突破1.设,若,则()A.B.C.D.答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】∵,,∴,原式==点拨：应用公式展开，将对应的函数值代入2.等于()A.B.C.D.答案：B解析：【知识点】两角差的余弦公式的逆用，诱导公式【解题过程】原式=点拨：先统一角的形式，使其与两角差的余弦公式形式一致，再用公式化简.3.的值是()A.1B.2C.4D.答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式，诱导公式【解题过程】点拨：先将特殊值化为具体三角函数，再将公式结构配凑成标准型4.的值是()A.B.C.D.答案：B解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式【解题过程】原式==点拨：先将常数配凑成特殊角的三角函数值，并让整体符合两角差的余弦公式，再化简.5.已知,是第四象限角,则=____________.答案：解析：【知识点】同角三角函数关系，两角差的余弦公式，诱导公式【解题过程】由,是第四象限角,得,于是有点拨：先求出需要的三角函数值，将正弦化成余弦形式，再结合两角差的余弦公式.能培养将未知的转化成已经学习过的知识的迁移能力.6.不满足sinαsinβ＝eq\f(\r(2),2)－cosαcosβ的一组α，β值是()A．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,4)B．α＝eq\f(2π,3)，β＝eq\f(5π,12)C．α＝eq\f(2π,3)，β＝eq\f(π,12)D．α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】因为sinαsinβ＝eq\f(\r(2),2)－cosαcosβ，所以cos(α－β)＝eq\f(\r(2),2)，经检验C中的α，β不满足点拨:应用公式展开注意逆用.能力型师生共研7.已知锐角满足,,求.答案：解析：【知识点】同角的三角函数值的关系，两角差的余弦公式【解题过程】,且,得∴又∵∴从而点拨：先求出单角的三角函数值，关键是能将所求角利用已知的两个整体角表示，在求角的时候注意角所在的象限及符号.8.若α为锐角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝________.答案：eq\f(3\r(10),10)解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】由α为锐角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，可得sinα＝eq\f(\r(5),5).于是coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\f(π,4)cosα＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10)点拨：应用公式展开注意逆用.探究型多维突破9.已知(1)求的值;(2)若,求的值.答案：解析：【知识点】同角三角函数的关系，两角差的余弦公式【解题过程】(1)∴.(2)由(1)同理得,∵,由对称性,不防设,则,,,又由(1)知,,,若,则矛盾！∴,有,,∴.点拨：本着消元的思想，消掉进一步配凑出的整体角的余弦.利用对称思想构造已知角的表示形式，进一步推出矛盾.10.若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式，配角【解题过程】∵0<α<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，得sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)，由cos2α＝eq\f(\r(10),10)，得sin2α＝eq\f(3\r(10),10).∴cos(α＋β)＝＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋3eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2).又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).点拨：公式形式牢记，利用已知角配凑α＋β自助餐1.cos110°cos20°+sin110°sin20°=()A.B.C.D.答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】点拨：公式形式牢记，逆用.2.的值是()A.B.C.1D.答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】=点拨：角的拆分，要尽量统一角的形式结合特殊角三角函数值.3.已知A、B均为钝角,,,则A+B的值为()A.B.C.D.答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式，两角和的余弦公式.【解题过程】点拨：将两角和的余弦配成由此题也就推导出了两角和的余弦公式4.函数的图象中相邻两对称轴的距离是________.答案：解析：【知识点】两角差的余弦公式，三角函数图形性质.【解题过程】,相邻两对称轴的距离是周期的一半点拨：先将函数式化简，要先用到两角和的余弦公式，学生可以通过上面的问题总结出公式，或者也可以将“和”转化为“差”在理解.再逆用两角差的公式收拢.5.若则的取值范围.答案：解析：【知识点】同角的三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】令,则点拨：整体换元的思想，利用同角三角函数的关系，构造两角差的余弦公式，结合函数思想将表示成t的函数，通过值域求出t的范围.6．已知α，β∈[eq