浙江省金华东阳市高三下学期三模数学试题

东阳市2024年5月高三模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．2．已知，，，则（）A．16 B．16 C．9 D．93．命题P：，，…，的平均数与中位数相等；命题Q：，，…，是等差数列，则P是Q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知中，，，，则（）A． B． C． D．5．已知数列的前n项和为，若，则（）A．8 B．8 C．64 D．646．从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（）A．36 B．54 C．60 D．727．已知椭圆，、分别为其左右焦点，点M在C上，且，若的面积为，则（）A． B．3 C． D．48．若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z，则（）A． B． C． D．10．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B．C．为偶函数 D．在区间的最小值为11．某班主任用下表分析高三前5次考试中本班级在年级中的成绩排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次考试排名，但他记得平均排名，于是分别用和得到了两个经验回归方程：，，对应的样本相关系数分别为，，排名y对应的方差分别为，，则（）x12345y10m6n2A． B． C． D．附：，．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若为角α终边上的一点，则________．13．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为________．14．四棱锥的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，l⊥OB，则直线l与平面PAC所成夹角的范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项,且每一项被取到的可能性相等．（1）在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率；（2）记取到有理项的项数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．16．（15分）已知函数在（e为自然对数的底数）处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若不等式恒成立，求k的范围．17．（15分）如图所示的多面体由一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，四棱锥与三棱柱的所有棱长都为2，．（1）求直线AB与平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18．（17分）已知抛物线：，焦点为F，为Γ上的一个动点，l是Γ在点A处的切线，点P在l上且与点A不重合．直线PF与Γ交于B、C两点，且l平分直线AB和直线AC的夹角．（1）求l的方程（用，表示）；（2）若从点F发出的光线经过点A反射，证明反射光线平行于x轴；（3）若点A坐标为，求点P坐标．19．（17分）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列。已知是一个对数凸数列，．（1）证明：；（2）若，证明：；（3）若，，求的最大值．东阳市2024年5月高三模拟考试数学试题参考答案一、单选题：12345678ABBDCDBA二、多选题：91011ADACDAD7．设，，则，化简得：，所以，，另外，由余弦定理得：，结合以上两个式子，消元得，又因为，所以化简可得：，结合，可得．故选：B8．设直线与相切与点，∵，所以切线方程：，即，设直线与相切与点，∵，所以切线方程：，∴，∴有解，令，，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，∵，，∴，∴，故选：A11．当时，，，解得，则，，得，，；同理，当时，，，，，所以，，，，故选：AD．三、填空题：12．13．114．解：如图建立坐标系，并设直线l上异于B的一点，所求线面角为则，，由可得∴时，，时，，综上，，∴．另解：如图，BQ⊥面PAC，，OB⊥平面，平面平面，与面PAC所成的线面角为，当平面ABCD时，显然有l⊥平面OBQ，又∵AC⊥平面OBQ，∴此时，，结合平面平面，∴AC//平面，∴．所以，当BR最短，即时，与面PAC所成的线面角最大，此时，O，Q，R三点共线，易得，，，综上，，∴．四、解答题：15．（1），3分令，解得．故二项展开式中有3项有理项,6项无理项．记事件“第一次取到有理项”，事件“第二次取到无理项”则 6分（2），，，分布列为X012P10分 13分16．（1）∵，∴， 2分∵函数在点处取得极值，∴，∴，经检验，符合题意，∴； 5分（2），∴恒成立，即对任意恒成立． 7分令，则． 9分设，易得是增函数，而，∴时，，即，时，，即，∴在上单调递增，上单调递减， 13分∴，∴． 15分17．解1：（1）取AB中点O和中点，连OP、、，作，H为垂足，连，与交于点M，连，显然过M点，∵，M为中点，∴，同理，，又∵，∴PM⊥平面．而平面，∴，∵，∴，又∵，∴平面，而平面，∴，而，∴，∴四边形为矩形．（也可由，得到，∴，又∵，∴AB⊥平面，∴，∴四边形为矩形）． 2分∵平面，∴由平面，可知，，又∵，，∴OH⊥平面． 4分∵，，，∴，综上，直线AB与平面的距离为． 6分（2）连、、、、OC，由平面，平面可得P、O、C、、O五点共面，由可得，，∴，，∴，∴，∴P、、三点共线，∴P、、、四点共面． 9分如图，以O为原点，OB、OC、OH所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，可取， 11分设平面的一个法向量为，则，可取， 13分设所求平面与平面夹角为，则，综上，平面与平面夹角的余弦值为． 15分解2：如图，将三棱柱补形为平行六面体，由可得，在此平行六面体中，，而，∴点与P点重合，∴P、、、四点共面． 9分下面考虑平面与平面的夹角即可．取中点M，连MB、，易得，由（1）可知四边形为矩形，∴，又∵，，∴，∴．又∵，∴，∴即为所求平面与平面的夹角， 13分∴，综上，平面与平面夹角的余弦值为． 15分18．（1）显然切线l的斜率不为0，设l方程为：，与联立得：，由，得，解得，∴l的方程为，化简得，也即． 4分（2）过A点作l的垂线并交x轴于Q点，则AQ直线的方程为，取，解得，即， 6分∵，∴，作A点在抛物线准线上的投影H，由抛物线定义可知，∴，∴，设T为反射光线上与A相异的一点，则有，综上，，∴轴，即从点F发出的光线经过A点反射后平行于x轴．10分（3）此时l方程为，连HF，取H，F的中点为，∵，∴，∵K点在l上，∴，设直线AC、AB与HF的交点分别为D，E，则K为D，E的中点， 12分设直线PF的方程为，与联立得：，设，，则有，，∵，∴直线AC的方程为，也即，而直线HF的方程为，联立得，同理，， 15分由得，整理得，∴，∴，∴直线BC的方程为，与直线联立得P点坐标为． 17分19．（1）由题意得：，∴，∴，，，，，将以上式子累乘得：，也即成立．另解：由题意得：，∴，∴成立． 4分（2）证1：∵，∴，∴，则，∴，∴． 10分证2：考虑反证法，假设，由得，∴，∴，同理：，∴，∴，同理可证：，，…，，综上可得：，与条件矛盾，∴假设不成立，∴成立． 10分证3：∵，∴，也即，同时，由可得：，∴，也即，∴，，…，，将以上式子累加得：，也即，同理可得