08物理证明推导题

备考2022年考前易错点查漏补缺08物理证明推导题一、光学1．（2019七下·江干期中）如图，把一支钢笔放在玻璃砖的背面，我们可以看到“钢笔错位了”，这其实是光的折射现象。（1）请作出光线经过玻璃砖的的光路图。（2）证明经过两次折射后的折射光线与最初的入射光线平行。【答案】（1）（2）∵AB∥CD且a⊥AB,b⊥CD∴a∥b∴∠1=∠2∵出路可道∴∠3=∠4∴∠5=∠6∴∠7=∠8∴∠c=∠d【解析】（1）①光从空气进入玻璃，首先通过入射点作法线a，然后根据“折射角小于入射角”在玻璃里面法线右侧作出折射光线；

②光从玻璃进入空气，将这条折射光线看作入射光线，通过入射点作法线b，根据“折射角大于入射角”在空气里面法线右侧作出对应的折射光线，如下图：

（2）如下图所示，

∵a和b都是法线，

∴a⊥AB，b⊥CD；

∵AB∥CD，

∴a∥b；

∵折射光路可逆，

∴∠3=∠2；

∵对顶角相等，

∴∠1=∠2；

∴∠3=∠1；

∵a∥b，

∴c∥d。2．（2019七下·衢州期中）阅读短文，回答下列问题：光的全反射一束激光从某种玻璃中射向空气（如图甲所示），保持入射点不动，改变入射角（每次增加0.2°），入射角增大到41.8°时，折射光线消失，只存在入射光线与反射光线，这种现象叫作光的全反射，发生这种现象时的入射角叫作这种物质的临界角。当入射角大于临界角时，只发生反射，不发生折射。（1）上述玻璃的临界角是；（2）折射光线消失后反射光线的亮度会增强，其原因是折射光消失后，入射光全部变为；（3）当光从空气射向玻璃时，（填“会”或“不会”）发生光的全反射现象；（4）一个三棱镜由上述玻璃构成，让一束光垂直于玻璃三棱镜的一个面射入（如图乙所示），请在图中完成这束入射光的光路图。【答案】（1）41.8°（2）反射光（3）不会（4）【解析】（1）根据题目描述可知，折射光线消失时的入射角就是玻璃的临界角，因此玻璃的临界角为41.8°；

（2）折射光线消失后反射光线的亮度会增强，其原因是折射光消失后，入射光全部变为反射光；

（3）当光从空气射向玻璃时，由于折射角小于入射角，所以不会发生光的全反射现象；

（4）入射光线垂直入射到玻璃表面上时，传播方向不变；当光线到达倾斜的表面上时，此时入射角为45°，大于玻璃发生全反射的临界角41.8°，因此没有折射光线射入空气，全部转化为反射光线，如下图所示：

3．（2018·慈溪）现代生产和生活中很多地方都应用了传感器。例如激光液面控制仪就是一种光电传感器。它的原理是：固定的一束激光AO以入射角i照射到液面上，反射光OB照射到水平的光屏上，屏上用光电器将光讯号转变成电讯号，电讯号输入控制系统用以控制液面高度。（1）如果在图中发现光点B在屏上向右移动，则液面(选填“升高”或“降低”)。（2）如果液面控制的高度变化范围为h，那么设计时，需要考虑的光屏上光电转换器部分的长度至少为多大?(要求作出光路图并进行分析计算)【答案】（1）降低（2）作出两次的反射光路图如图所示。设光屏上光电转换器部分的长度至少为x，由几何关系可得：OP=BB'【解析】（1）0因反射的光点B右移，入射角的大小不变，反射光线与原来的反射光线平行，故可得入射点比原来的位置要低，所以可知液面降低。

（2）根据题目信息，作出两次的反射光路图，设光屏上光电转换器部分的长度至少为x，可画出光路图如下：

四边形OPBB'是平行四边，由几何关系可知OP=BB'，三角形NOO'是直角三角形，设液面降低的高度是h，则ON/O'N=tani，即ON/h=tani，得ON=htani。因为BB'=OP=2ON，故BB'=2htani，所以

光电转换器部分的长度至少为2htani。4．（2016·杭州模拟）如图所示，一条光线AO入射到平行玻璃砖CDEF上。请完成下列两小题：（1）作出进入和离开玻璃砖光线的光路图。（2）推导证明：离开玻璃砖后的光线与光线AO互相平行。【答案】（1）（2）如下图所示：

根据折射规律可知，∠1=∠4；

因为∠1+∠2=90°，∠4+∠5=90°；

所以∠2=∠5；

因为对顶角相等，

所以∠5=∠6；

因为CD∥EF，

所以∠6=∠3（两直线平行，内错角相等）；

那么∠5=∠3；

因此∠2=∠3，

则离开玻璃砖的光线与光线AO平行。【解析】（1）①过入射点O垂直玻璃砖上表面作出法线，再在玻璃砖内部法线的右侧作出折射光线，此时折射角小于入射角；

②将①中的折射光线看作下表面的入射光线，过入射点垂直玻璃砖下表面作出法线，再在玻璃砖的下侧空气中作出折射光线，此时折射角大于入射角，如图所示：5．如图所示，新坝中学初三(2)班STS课外兴趣小组，在探究折射角与入射角关系时，将一束光从玻璃射向空气，发现光在玻璃和空气的分界面处同时发生折射和反射现象，且折射角大于入射角；当入射角不断增大时，折射光线离法线越来越远，且越来越弱，反射光线却越来越强，当入射角增大到某一角度α时，折射角达到90°，折射光线就完全消失，只剩下反射回玻璃中的光线；再减少入射角，当入射角小于α时，折射光线和反射光线又同时存在；而让光线从空气射向玻璃时，无论怎样改变入射角，折射光线和反射光线都同时存在．他们感到非常惊奇，大家又做了一遍，发现还是如此，这究竟是什么现象呢？

查阅资料得知，这种折射光线完全消失的现象叫全反射现象，而且此现象在医学和通信等方面都有广泛的应用。

阅读上面内容，请回答下面问题：（1）用符号γ将上图中折射角标出；（2）如果将一束光从空气射向玻璃，(选填：能、不能或可能)发生全反射现象；（3）发生全反射现象的条件是：

①；

②。【答案】（1）如图：（2）不能（3）光从玻璃斜射入空气中；当入射角≥α时【解析】（1）折射光线与法线的夹角为折射角γ；如图所示：

（2）因为光从空气斜射入玻璃中时，折射角永远小于入射角，因此折射光线不能消失；（3）只有当折射角大于入射角时，才会发生全反射现象，因此发生全反射的条件之一为折射角大于入射角，即光从玻璃斜射入空气中；当折射光线刚好消失时，对应的入射角为临界角α，根据折射角大于入射角的原则，因此发生全反射的条件之二为入射角大于等于临界角。二、力与运动6．（2019九上·萧山月考）如图所示，一气球与所挂物体的总质量为5m，气球所受浮力始终保持40N不变，气球受到的空气阻力与速度成正比，即f=kv（k为常数），此时气球以2m/s竖直向下做匀速直线运动；若减少所挂物体，使气球与剩余物体的总质量变为3m，经过一段时间后，气球恰好以2m/s竖直向上做匀速直线运动。（物体所受浮力和空气阻力忽略不计，g=10N/kg）（1）画出气球与所挂物体以2m/s竖直向下做匀速直线运动时的受力示意图。（2）计算出m的大小。（3）若去掉所挂的所有物体，气球的质量为m，则气球能达到的最大速度是多少？【答案】（1）（2）当气球向下做匀速直线运动时，受到向下的重力、向上的阻力和浮力，

即：G=f+F浮；

那么：5mg=f+40N①；

当气球向上做匀速直线运动时，受到向下的重力、阻力和向上的浮力，

即：G+f=F浮；

那么：3mg+f=40N②；

①②式联立，解得：m=1kg，f=10N；（3）根据上面的计算可知，当2m/s时阻力为10N；

那么k=fv=10N2m/s=5N·s/m；

当气球匀速上升时，它受力：G'+f=F浮；【解析】（1）当气球向下做匀速直线运动时，它受到向下的重力、向上的浮力和阻力，作用点都在重心上，示意图如下：

（2）当气球向下做匀速直线运动时，受到向下的重力、向上的阻力和浮力，

即：G=f+F浮；

那么：5mg=f+40N①；

当气球向上做匀速直线运动时，受到向下的重力、阻力和向上的浮力，

即：G+f=F浮；

那么：3mg+f=40N②；

①②式联立，解得：m=1kg，f=10N；

（3）根据上面的计算可知，当2m/s时阻力为10N；

那么k=fv=10N2m/s=5N·s/m；

当气球匀速上升时，它受力：G'+f=F浮；

1kg×10N/kg+5N·s/m×v=40N；

解得：v=6m/s。（1）假如空中有一个50g的冰粒，从1000m的高空由静止开始下路到地面。冰粒下落过程中的速度变化规律是A；假设冰重力做功的42%转化为冰雹的内能，则冰雹在下落过程中温度会升高A℃.（不考虑冰粒的熔化和质量变化：c冰=2.1×103J/（Kg·℃）（2）一个重为G的物体从高空（高度足够）静止开始下落，物体下落的最大速度为V，请你用所学知识证明v=G【答案】（1）解：冰粒下落过程中的速度变化规律为：先加速后匀速；

冰粒下落做的功为：W=Gh=0.05kg×10N/kg×1000m=500J；

冰粒转化为的内能：Q=42%W=42%×500J=210J；

那么冰粒升高的温度为：△t=Q（2）证明：小物体匀速下落时速度达到最大，

此时物体受到时的重力G和空气阻力f相互平衡，即：f=G∵f=kv2∴G=f=kv2∴V=G8．密度为ρ=500kg/m3、长、高、宽分别为a=0．9m、b=3310m、c=（1）无风情况下，地面的支持力为多大?（2）当有风与水平方向成45°斜向上吹到长方体的一个面上，如图（b)所示。风在长方体光滑侧面产生的压力为F，则力F要多大才能将长方体翘起？（3）实验表明，风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。现让风从长方体左上方吹来，风向与水平方向成θ角，如图（c）所示。当θ大于某个值时，无论风速多大，都不能使长方体翘起。请通过计算确定的值。【答案】（1）解:根据二力平衡条件，地面的支持力为：F受=G=mg=pVg=500kg/m3×0.9×3310×33（2）解:无论风向为哪个方向，他对物质产生的压力总是垂直于作用面的（流体的特点），因此风产生的压力为F，方向水上G平向右，如图所示：根据力矩平衡条件，有：F·b2=mg·a2，解得F=（3）解:根据“风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。”可得：风在顶面产生的压力：N1=kacv2sinθ，风在侧面产生的压力：N2=kbcv2cos2θ，当（N1+mg）a2>N2×b2时，长方体将不会翘起，即mga>kc2（v2bcos2θ）由于kv2可以取足够大，为使上式对任意大kv2都成立，必须有b2cos2θa2sin2θ≤0，即tanθ≥【解析】（1）首先根据G=mg=pVg计算出长方体的重力，然后根据二力平衡规律求出地面的支持力；

（2）当有风吹时，长方体的重力相当于阻力，阻力臂为a2；风吹的力为动力，动力臂为b2，根据杠杆的平衡条件计算即可；9．（2018·慈溪）2008年春节前后，我国南方大部分省区遭遇了罕见的雪灾，尤其是雪灾天气造成输电线被厚厚的冰层包裹（如图甲），使相邻两个铁塔间的拉力大大增加，导致铁塔被拉倒、压塌(如图乙)，电力设施被严重损毁。当若干相同铁塔等高、等距时，可将之视为如图丙所示的结构模型。已知相邻铁塔间输电线的长度为L，其单位长度的质量为m0，输电线顶端的切线与竖直方向成角。已知冰的密度为ρ，设冰层均匀包裹在输电线上，且冰层的横截面为圆形，其半径为R(输电线的半径可忽略)。（1）每个铁塔塔尖所受的压力将比原来增大多少?（2）被冰层包裹后，输电线在最高点、最低点所受的拉力大小分别为多少?(提示：可将铁塔塔尖电线的拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示，则F1=Fsinθ；F2=Fcosθ)【答案】（1）输电线冰层的体积V冰=πR2L由对称关系可知，塔尖所受压力的增加值等于一根导线上冰层的重力，即△G=ρV冰g=πρR2Lg（2）输电线与冰层的总质量M‘=m0L+πρR2L，输电线受力如图甲所示。由平衡条件，得2F1cosθ=m0Lg+πρR2Lg所以，输电线在最高点所受的拉力F1=m0半根输电线的受力如图乙所示。由平衡条件，得F2=F1sinθ输电线在最低点所受的拉力F2=m0【解析】【分析】（1）塔尖受到的压力来自于左右两边的各半导线上的重力，即为一根导线上的增加的重力。

（2）分别对导线最高点及最低点受力分析，由力的平衡可得出导线受到的拉力,，注意在最高点时选取整根导线分析，而最低点时只选取一半导线进行分析。

【解答】（1）输电线线冰层的体积V冰=πR2L，由对称关系可知，塔尖所受压力的增加值等于一根导线上冰层的重力，即△N=G冰=ρV冰g=πρR2Lg

（2）输电线与冰层的总质量M=m0L+πρR2Lg，输电线与冰层的总质量M=m0L+πρR2L，输电线受力如图甲所示。

由平衡条件，得2F1cosθ=m0Lg+πρR2Lg，所以输电线在最高点所受的拉力F1=[（m0+πρR2）Lg]/2cosθ

半根输电线的受力如图乙所示。

由平衡条件，得F2=F1sinθ，输电线在最低点所受的拉力F2=[（m0+πρR2）Lg]/2tanθ10．演绎式探究﹣﹣研究宇宙中的双星问题：（1）宇宙中任何两个物体之间都存在万有引力，万有引力的大小F引=km1m2r2，其中k为常量，m1、m2分别为两个物体的质量，r为两个物体间的距离．物体做圆周运动的快慢可以用它与圆心连线扫过角度的快慢来描述，用角速度ω来表示．做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫做周期，用T表示．T与ω的关系为：T=2πω．物体做匀速圆周运动需要受到指向圆心的力叫做向心力．质量为m的物体以角速度ω做半径为r的匀速圆周运动，向心力的大小F心（2）被相互引力系在一起、互相绕转的两颗星叫物理双星，双星是绕公共圆心转动的一对恒星，各自需要的向心力由彼此的万有引力相互提供，转动的周期和角速度相同．如图乙所示，质量为m1、m2的双星，运动半径分别为r1和r2，它们之间的距离L=r1+r2．请推理证明：周期T=2πL3【答案】（1）b（2）证明：因为F1=F2=km1m2L2，F1=m1ω2r1，F2=m2所以r1=km2ω2L所以L=r1+r2=km2ω2Lω2=km所以T=2πω=2π故得证．11．（2021·金华模拟）巡航导弹是导弹的一种，主要以巡航状态在稠密的大气层内飞行。“巡航状态’'指导弹在被火箭助推器加速后，主发动机的推力与阻力平衡，弹翼的升力与重力平衡后，可以实现远距离发射，超低空飞行，精确打击目标，下图是某巡航导弹的飞行路线图。（1）巡航导弹在发射升空阶段，如果不计空气阻力，燃料的化学能转化为导弹的；（2）导弹在末端巡航飞行过程中，如果以200米/秒的速度匀速直线飞行2千米，需要多少时间？（3）己知该导弹的速度和阻力测试数据如下表：导弹速度(米/秒)50100150200导弹受到的阻力(牛)50200450800则导弹在末端巡航飞行过程中以20m/s的速度匀速直线飞行，60秒内发动机的推力做功为多少？（4）分析表格数据，推测导弹速度与导弹受到的阻力之间的关系为：【答案】（1）机械能（2）解：t=sv=2000m（3）解：匀速直线飞行，推力F=f800Ns=vt=200m/s×60s=12000mW=Fs=800N×12000m=9.6×106J（4）解：f=50N×(v/50)2或f=150v【解析】（4）比较第①和②组数据：速度为原来的2倍，阻力是原来的4倍；

比较第②和③组数据：速度为原来的3倍，阻力是原来的9倍；

……

分析得到，阻力与飞行速度的平方成正比，设f=av2；

将第①组数据代入得到：50N=a×（50m/s）2；

解得：a=150N·（m/s）−2；

那么导弹速度和阻力之间的关系式为：三、功能转化12．甲、乙两位同学对“雨滴的下落速度是否跟雨滴的大小有关”持有不同的意见，于是他们对此展开研究。他们从网上查到，雨滴在下落过程中接近地面时受到的空气阻力与雨滴的横截面积S成正比，与雨滴下落速度v的平方成正比，即f=kSv2（其中k为比例系数，是个定值），雨滴接近地面时可看做匀速直线运动。把雨滴看做球形，其半径为r，密度为ρ，比热为c，球的体积为V=43（1）半径为r的雨滴重力为。（2）在接近地面时，大雨滴的下落速度_________小雨滴的下落速度（选填“大雨”“等于”“小于”），写出推理过程。（3）假设半径为r的雨滴在近地面下落h高度的过程中，重力对它所做的功全部转化为雨滴的内能，则雨滴的温度升高了多少？【答案】（1）4（2）大于；

雨滴接近地面时可看做匀速直线运动，

因此阻力f＝G，

又∵f＝kSv2＝kπr2v2，G＝43πr3ρg，

∴kπr2v2＝43πr3ρg，

∴v＝4ρgr（3）设雨滴的质量为m，∵W＝Q，又∵W＝mgh，Q＝cm△t，∴mgh＝cm△t，∴△t=gℎ故答案为：△t=gℎ【解析】（1）半径为r的雨滴的体积为：V=43πr3；

那么雨滴的重力：G=mg=ρVg=ρ×43πr3×g=43πr3ρg；

（2）雨滴接近地面时可看做匀速直线运动，

因此阻力f＝G，

又∵f＝kSv2＝kπr2v2，G＝43πr3ρg，

∴kπr2v2＝43πr3ρg，

∴v＝4ρgr3k，

又13．（2020九下·宁波保送考试）如图所示，某桥梁工程部门在一次工程作业中，利用汽车将重为G，高为h0的柱形实心铁块，从水深为h1的河底竖直打捞上来。汽车速度为v，且保持恒定。水的密度为ρ0，铁的密度为ρ1。不计滑轮的摩擦和绳重，不考虑水的阻力和物体排开水的体积对水面高度的影响。请完成下列有关分析和计算。（1）直接写出铁块上升过程中所受浮力的最大值。（2）推导出自铁块上表面与水面相平升至整体刚露出水面的过程中，绳子的拉力随时间变化的关系式（从铁块上表面与水面相平时开始计时）（3）在图中定性画出铁块自河底升至滑轮处的过程中，绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象（要求注明功率变化点的坐标）。【答案】（1）ρ（2）从铁块上表面与水面相平时开始计时，在时间为t时，铁块上升的高度（露出的高度）：△h＝vt，排开水的体积：v排′＝ℎ0此时受到水的浮力：F浮′＝ρ0v排′g＝ρ0ℎ0−Δℎℎ绳子的拉力：F′＝G﹣F浮′＝G﹣ℎ＝G﹣ρ0ρ1（3）1【解析】（1）当铁块浸没水中时，此时铁块排开水的体积等于自身体积，因此受到水的浮力最大，当铁块浸没水中，排开水的体积：v排此时受到水的浮力：F浮＝ρ0铁块上升的高度（露出的高度）：△h＝vt，排开水的体积：v排此时受到水的浮力：F浮绳子的拉力：F'＝G−F浮'＝G−ℎ0−vtℎ0×ρ0Gρ1＝G−ρ0ρ1G+ρ0Gvρ1ℎ0t。14．（2019·温州模拟）“复兴号”动车组的故事被搬上了中央电视台的春节联欢晚会（如图1），几节自带动力的车辆（动车）加几节不带动力的车辆（拖车）编成一组，就是高铁动车组。（1）2019年春晚除北京主会场之外，还设置了深圳、井冈山、吉林三个分会场。若G79动车全程的平均时速为250千米/时，请你通过计算回答，北京西到深圳北的直线距离最大不超过多少千米（2）若动车组运行过程中受到的阻力与其所受重力成正比（可表示为f=kG=kmg，k、g为常数），每节动车与拖车的质量都相等，每节动车的额定功率部相等（动车的功率可表示为P=Fv=fv）。若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为120千米时，则6节动车加3节拖车缩成的动车组的最大速度为多少？【答案】（1）解：8时35分=83560S=vt=250km/mx83560（2）解：设每节动车的功率为P，每节动车与拖车的质量都是m。F=kG=kmg，P=Fv=fv.每节动车受到的阻力为f=kG=kmg速度最大时，牵引力为F=f=kmgP=Fv=fv=kmgv当动车组为1节动车加3节拖车时：P1=4kmgv1当动车组为6节动车加3节拖车时：P2=9kmgv2即：P1P2=4kmg【解析】（1）已知速度和时间根据公式s=vt计算北京到深圳北的最大直线距离；

（2）当动车匀速直线运动时，它受到的牵引力等于自身受到的阻力，即F=f=kG=kmg；因为每节动车的质量相等，因此它们受到的阻力都相等；1节动力三节拖车时受到的阻力就是4kmg，6节动力三节拖车时受到的阻力就是9kmg；根据功率的计算式P=Fv=fv列出两个等式，然后作比，即可求出动车组的最大速度。15．（2018·富阳模拟）如图所示，用力F将重为100N的物体匀速拉上高为1m、斜边长为2m的斜面，已知斜面的机械效率为80%。（1）求所用的拉力F大小；（2）若物体重为G，与斜面之间的摩擦力为f，斜面长为s高为h，拉力为F。很多同学都认为，物体匀速上升的过程中，拉力F与摩擦力f是一对平衡力。试根据有用功、额外功和总功之间的关系，证明：拉力F＞f。【答案】（1）解:有用功：W有用=Gh=100N×1m=100J，由η=W有用W总得总功：W总=W由W总=Fs得拉力大小：F=W总s=（2）解:拉着物体在斜面上匀速运动时，拉力不仅要克服重力做功，而且要克服摩擦力做功。拉力做的功为总功，W总=Fs；克服重力做的功为有用功，W有用=Gh，克服摩擦力做的功为额外功，W额=fs；因为W总=W有用+W额，所以W总＞W额，即Fs＞fs，所以F＞f。【解析】本题考察物体在斜面上运动时的受力情况，作功情况。同时涉及摩擦了，机械损耗。物体在斜面运动时，会受到3个作用力，拉力、重力、摩擦力，这三种力都需要考虑在内，运动时同时作功。考生往往容易忽略重力作功。这是此题的关键点。16．（2017·杭州模拟）如图1所示，某桥梁工程部门在一次工程作业中，利用汽车将重为G，高为h0的柱形实心铁块，从水深为h1的河底竖直打捞上来。汽车速度为υ，且保持恒定。水的密度为ρ0，铁的密度为ρ1。不计滑轮的摩擦和绳重，不考虑水的阻力和物体排开水的体积对水面高度的影响。请完成下列有关分析和计算。（1）铁块上升过程中所受浮力的最大值；（2）推导出自铁块上表面与水面相平升至整体刚露出水面的过程中，绳子的拉力随时间变化的关系式（从铁块上表面与水面相平时开始计时）（3）在图2中，定性画出铁块自河底升至滑轮处的过程中，绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象。【答案】（1）G铁=ρ铁gV铁V铁=G铁ρ铁=Gρ（2）从铁块上表面与水面相平时开始计时，在时间为t时铁块上升的高度（露出的高度）∆h=vt，

已求得铁块的体积，所以排开水的体积V排=ℎ0−∆ℎℎ0（3）铁块浸没在水中，拉力F1=G−F浮=G−ρ0ρ1G

拉力功率P1=F1v=G−ρ0ρ1Gv，此时均为定值，故P1大小保持不变。

铁块从露出水面到全露出，即铁块在上升高度位置从（h1h0）开始到h1结束，拉力F2=G−F浮=G−ℎ0−vtℎ017．（2019·宁波模拟）光滑斜面甲与水平面AB平滑连接。从斜面甲高H处静止释放小球，小球运动到B点静止，如图甲。在AB上的C点平滑拼接另一光滑斜面乙，已知AB＝3AC，如图乙。回答下列问题：

（1）如果小球从斜面甲高H处静止释放，说明小球在乙斜面到达的最大高度h与H的数量关系及理由。（2）要使小球在乙斜面上到达的最大高度变为2h，小球应在甲斜面上多高处静止释放并说明理由。【答案】（1）解：从释放点到B点静止，减少的机械能等于在AB水平面上由于摩擦而损失的机械能，因为AB=3AC，所以在AC上损耗的机械能是AB上的三分之一，所以乙斜面上时机械能比甲斜面上时的机械能少三分之一，故上升的高度ℎ=（2）解：小球在乙斜面上升高度为2h，即，因为AC段上消耗的机械能与第一次相同，即消耗H3高度的机械能，所以原来小球在甲斜面上的释放高度是：2ℎ+18．（2019·杭州模拟）在某次抗震救灾活动中，一辆满载物资的总重为G（N）的运输车，沿物资沿ABCD路线从运至D处，AB段的海拔高度为h1米,CD段的海拔高度为h2米，如图甲所示。在整个运输过程中，汽车以恒定速度v（m/s）运动，在t=0时经过A处，t1时经过B处，t2时经过C处，在此过程中汽车牵引力的功率P随时间变化的关系可简化为图乙所示（P1、P2、t1和t2均为已知量）。（1）请分析说明汽车在AB段和BC段运动时牵引力的大小关系。（2）请用已知量求汽车沿BC段运动时所受的阻力的表达式。【答案】（1）解:因为P2大于P1且速度大小一定，所以汽车在BC段运动时牵引力较大（2）解:设BC段长为L、高为h，由功的关系可得WF=Gh+fL，P2（t2－t1）=G（h2－h1）+fLP2（t2－t1）=G（h2－h1）+fv（t2－t1）f=（牛）【解析】（1）根据功率的计算式P=Wt=Fv可知，当速度一定时，功率越大，牵引力越大。因为P2大于P1且速度大小一定，所以汽车在BC段运动时牵引力较大；

（2）设BC段长为L、高为h，由功的关系可得：

WF=W有+W额

P2（t2－t1）=G（h2－h1）+fLP2（t2－t1）=G（h2－h1）+fv（t2－t1）

解得：f=四、杠杆19．如图甲,有一轻质杆,左右各挂由同种金属制成、质量分别为m1和m2(m1>m2)的实心物块后恰好水平平衡。（1）求左右悬挂点到支点O的距离L1与L2之比。（2）将两物分别浸没于水中(如图乙),杆将会▲(选填“左端下降”“右端下降“或“仍然平衡”)，试通过推导说明。【答案】（1）m（2）仍然平衡；根据ρ=mv可知，同种金属制成的实心物块的体积分别为：

V1=m1ρ，V2=m2ρ；

当浸没水中后，实心物块受到的浮力分别为：

F浮1＝ρ水gV排1＝ρ水gV1＝ρ水g×m1ρ，

F浮2＝ρ水gV排2＝ρ水gV2＝ρ水g×m2ρ；

轻质杆左右两边受到的拉力分别为：

F1＝G1F浮1＝m1gρ水g×m1ρ＝m1g（1ρ水ρ），

F2＝G2F浮2＝m2gρ水g×m2ρ＝m2g（1ρ水ρ），

则：F1L1＝m1g（1ρ水ρ）L1，

F2L2＝m2g（1【解析】（1）两个金属块对杠杆的拉力都等于它们的重力，

根据杠杆的平衡条件F1L1=F2L2得到：G1×L1=G2×L2；

即m1g×L1=m2g×L2；

m1×L1=m2×L2；

解得：L1L2=m2m1；

（2）根据ρ=mv可知，同种金属制成的实心物块的体积分别为：

V1=m1ρ，V2=m2ρ；

当浸没水中后，实心物块受到的浮力分别为：

F浮1＝ρ水gV排1＝ρ水gV1＝ρ水g×m1ρ，

F浮2＝ρ水gV排2＝ρ水gV2＝ρ水g×m2ρ；

轻质杆左右两边受到的拉力分别为：

F1＝G1F浮1＝m1gρ水g×m1ρ＝m1g（1ρ水ρ），

F2＝G2F浮2＝m2gρ水g×m2ρ＝m2g（1ρ水ρ），

则：F1L1＝m1g（1ρ水ρ）L1，20．（2020·杭州模拟）小叶想要知道一块形状不规则的塑料泡沫浸没时所受的浮力大小，身边只有一个轻质滑轮，一把轻质硬木刻度尺，一个密度小于水的正方体木块，一个盛有适量水的水槽和线绳.测量步骤如下：①如图甲所示，将塑料泡沫和木块分别挂在刻度尺两端，使杠杆水平平衡，读出力臂l1和l2；②用刻度尺测量出正方体的边长为a，把木块放入水槽中，如图乙所示，用刻度尺测出它的下表面到水面的距离为h；③如图丙所示，用此装置使塑料泡沫浸没在水中，并使杠杆水平平衡，读出力臂l1和l3.请用已给出的符号表示（水的密度用ρ水表示）：（1）木块的重力G木。（2）塑料泡沫的重力G塑。（3）塑料泡沫受到的浮力。【答案】（1）木块在水面漂浮，

那么它的重力G=F浮=ρ水gV排=ρ水ga2h；（2）在图甲中，根据杠杆的平衡条件得到：G泡沫×l1=G木块×l2；

G泡沫×l1=ρ水ga2h×l2；

解得：G泡沫（3）在图丙中，根据杠杆的平衡条件得到：

F拉×l2=G木块×l3；

F拉×l2=ρ水ga2h×l3；

解得：F拉=ρ水ga2ℎ×l3l1；

根据F浮=G+F【解析】（1）在图乙中，木块在水面漂浮，根据浮沉条件，即F浮=G计算木块的重力；

（2）根据杠杆的平衡条件计算出泡沫的重力；

（3）首先根据杠杆的平衡条件计算出作用在泡沫上绳子的拉力，再根据F浮=G+F拉计算泡沫浸没时受到的浮力。21．如图所示，一根长为L的细杆可绕通过O端的竖直轴在水平面内转动，杆最初处在图示的位置。杆的中点开有一小孔，一半径很小的小球放置在小孔处（小球的半径小于孔的半径），杆与小球最初处于静止状态。若杆与小球同时开始运动，杆沿顺时针方向（图示方向）以转速n（转/秒）做匀速转动、小球做沿图示虚线方向在该水平面上做匀速直线运动，速度为v，试问当n取什么数值时，小球与细杆相碰?【答案】解:当V>πnL，即开始小球通过细杆中点的小孔，运动在细杆的前面时，细杆要想与小球相碰，要求细杆至少在转过π/3之前相遇，t球≥t杆，即：32LV≥16n，得：n≥3V9L所以：3V9L≤n≤1π【解析】细杆转动一周周长为：2π×12L=πL，它的转速为n转/s，因此它的线速度为：v'=s't=πL×n1s=nπL；

（1）当V>πnL，即开始小球通过细杆中点的小孔，运动在细杆的前面时。细杆要想与小球相碰，如下图所示，细杆的末端必须与小球的下落轨迹重合。观察可知，这时△AOA'是等边三角形，即细杆要转过60°，即π3，且杆的运动时间要小于球的运动时间，据此列出不等式计算n的取值范围；22．（2020·滨江模拟）小乐利用图示装置来测量一密度大于水的实心物体的密度，装置中的OB为轻质细杆，O端用光滑铰链固定在竖直墙上，B端系有细线并连接测力计。其操作：①在A处通过细线悬挂待测的实心物体，然后沿竖直方向(BC方向)拉测力计，使OB在水平位置平衡，并读出拉力大小；②将实心物体浸没在水中，保持拉力大小不变，只改变拉力方向，当拉力方向为BD时，OB再次在水平位置平衡，此时BC与BD之间的夹角为θ，若水的密度为ρ，推导出该实心物体的密度ρ物的表达式。【答案】设OB和OA长度分别为l1和l2，两次的拉力大小为F根据杠杆平衡条件：F1l1=F2l2，可得：当拉力方向沿BC方向时有：Fl1=Gl2当拉力方向沿BD方向时有：Fl1cosθ=(GF浮)l2由上两式可得：cosθ=G−F浮G=1F浮G=1故有：ρ物=ρ1+cosθ(或表达为ρ物【解析】（1）当拉力沿BC方向时，阻力为物体的重力，动力为F，从O点到A点、B点的长度就是对应的力臂的长度，根据杠杆的平衡条件列出平衡公式；

（2）当拉力沿BD方向时，动力臂的长度根据三角函数计算，即动力臂为l1cosθ，而阻力此时等于物体的重力和受到的浮力之差，即阻力=GF浮，根据杠杆的平衡条件列出平衡公式；

（3）用阿基米德原理将F浮拆开，用密度公式将G拆开，将两个方程联立求解即可。23．（2019·下城模拟）如图甲所示，铅笔和羊角锤用一根细绳连接恰好能在桌子边缘静止。每次摆动羊角锤，最后都能静止如图甲，此时只有笔尖跟桌面接触，并且铅笔恰好水平。分析时可以把铅笔、羊角锤和绳子组成的整体看成一个杠杆，示意图（忽略了粗细）如图乙。假设锤头重力集中在D点，木柄重力集中在AD中点H处，F点在木柄上且处于O点正下方。羊角锤锤头质量m1=0.6kg，木柄质量m2=0.4kg，铅笔和细绳质量不计。测得OB=15cm，AD=30cm。求：（1）O点处的笔尖受到的支持力。（2）FD的长度。【答案】（1）解：由题意可知，以O为支点，整体可以看成杠杆且处于平衡状态F=G1+G2=（m1+m2)g=(0.4kg+0.6kg)×10N/kg=10N（2）解：F1L1=F2L2,F0.6kgFD=6cm【解析】（1）将铅笔和羊角锤看作一个整体，当它们处于静止状态时，O点受的支持力与总重力平衡，即：F=G1+G2；

（2）将羊角锤看作一个杠杆，支点是F，锤头的重力是阻力，FD是阻力臂；锤柄的重力是动力，动力臂是HF，即HF=HDFD，根据杠杆的平衡条件列式计算即可。24．（2019九下·杭州模拟）小沈同学在科学周活动时制作了一支可以测定物体密度的杆秤(杠杆自身重力不计)。使用时，只要把被测物体持在杆秤的挂钩上，移动秤锤，使秤杆平衡在水平位置，读出L1；再将被测物体浸没在水中，移动秆锤使秤杆再次水平平衡，读出L2，如图所示，由此可得被测物体的密度ρ=L1p水／(L1L2)，请证明小沈同学的这个结论是否正确。【答案】解：设被测物体的密度为ρ，体积为v，挂物物处离提的距离为L0，秤锤重为G0，根据杠杆的平衡条件可得空气中ρVgL0=G0Ll①浸没在中后(ρVgρ水Vg)=G0L2②由①、②两式得ρ=L所以小学的结论是正确的【解析】当物体没有浸没在水中时，物体的重力G看作阻力，它到秤的提钮处的距离为L0；秤砣的重力为G0为动力，到秤的提钮处的距离是L1，根据杠杆的平衡条件列出等式；当物体浸没在水中时，阻力等于物体的重力与浮力的差，阻力臂还是L0；动力还是等于秤砣的重力G0，动力臂变为L1，再次根据杠杆的平衡条件列出等式；接下来用重力公式和阿基米德原理将公式中的对应部分分解，最后计算物体的密度即可。25．（2019·杭州）如图甲,有一轻质杆,左右各挂由同种金属制成,质量分别为m1和m2(m1>m2)的实心物块后恰好水平平衡（1）求左右悬挂点到支点O的距离L1与L2之比（2）将两物分别浸没在水中，杆将会▲（选填“左端下降”“右端下降”“仍然平衡”），试通过推导说明。【答案】（1）解：∵杠杆平衡时有：F1×L1=F2×L2∴m1g×L1=m2g×L2变形得到：L1:L2=m2:m1（2）仍然平衡；以浸没于水的物体为研究对象进行受力分析：F拉+F浮=m物gF拉=m物gF浮=m物gρ水gV物=(1ρ水ρ物所以；F拉1×L1=（1ρ水ρ物）mF2×L2=(1ρ水ρ物)m∵m1gL1=m2gL2∴F拉1L1=F拉2L2因此杠杆仍然平衡26．如图所示，一根质量分布均匀的木棒，质量为m，长度为L，竖直悬挂在转轴O处，在木棒最下端用一方向始终水平向右的拉力F缓慢将木棒拉动到与竖直方向夹角为θ的位置（转轴处摩擦不计），问：（1）在图中画出θ=60°时拉力F的力臂l，并计算力臂的大小。（2）木棒的重力作用点在其长度二分之一处，随拉开角度θ的增加，拉力F将如何变化？并推导拉力F与角度θ的关系式。【答案】解：（1）由题O为支点，沿力F的方向作出力的作用线，从O点作其垂线，垂线段长即F的力臂，如图所示：；由题θ=60°，所以l=12（2）由题做出木棒这一杠杆的示意图如图：，由图可知随拉开角度θ的增加，l变小，LG变大，根据杠杆的平衡条件：F1l1=F2l2，阻力不变，所以动力F变大；由图l=cosθL，LG=12根据杠杆的平衡条件有：F×cosθL=G×12即：F=12答：（1）F的力臂l见上图，力臂的大小为12（2）木棒的重力作用点在其长度二分之一处，随拉开角度θ的增加，拉力F将变大，F与角度θ的关系式为F=12五、浮力、压强27．（2020七下·越城期末）液体内部存在压强，如图，烧杯内盛有密度为ρ的液体，我们可以设想液面下h深处有一底面积为S的水平圆面，它所受到的压力是其上方圆柱形的小液柱所产生的。（1）请推证：液体内部深度为h处的压强p=ρgh；（2）已知圆柱形下表面所在深度为30cm，所受压强为3.6×103Pa，则液体的密度是多少？【答案】（1）证明：小液柱的体积：V=Sh，∴小液柱的质量：m=ρV=ρSh，小液柱的重力：G=mg=ρShg，小液柱对底面积S的压力：F=G=mg=ρShg，小液柱产生的压强：p=FS=ρSℎg即：液体内部深度为h处的压强p=ρgh。（2）根据p=ρgh得：ρ液=pgℎ=3.6×10328．（2020·杭州模拟）如图所示，一根底面积为S0长为L0，密度为ρ的粗细均匀的蜡烛，底部插入一根质量为m的铁钉(铁钉受到的浮力忽略不计)，竖直地漂浮在水中，容器的底面积为S，水的密度为ρ水。蜡烛上端露出水面的长度为h0。（1）求蜡烛受到的浮力。（2）现将蜡烛点燃，当蜡烛直至蜡烛与水面相平、烛焰熄灭(假定蜡烛油不流下来)，设燃烧掉的蜡烛长为L，请推导L与h0的关系。【答案】（1）蜡烛未燃烧时，因为蜡烛和铁块漂浮，所以：F浮=G总即：F浮=ρ水S0(L0h0)g=mg+ρ蜡S0L0g①（2）点燃蜡烛，直至蜡烛与水面相平、蜡烛熄灭。因为蜡烛和铁块漂浮，所以：F浮'=G总’即：ρ水S0(L0L)g=mg+ρ蜡S0(L0L)g②①②得：ρ水S0(L0h0)gρ水S0(L0L)g=ρ蜡S0L0gρ蜡S0(L0L)gρ水S0Lgρ水S0h0g=ρ蜡S0LgL(ρ水ρ蜡)=ρ水h0解得：L【解析】（1）蜡烛未燃烧时，因为蜡烛和铁块漂浮，所以：F浮=G总即：F浮=ρ水S0(L0h0)g=mg+ρ蜡S0L0g①；

（2）点燃蜡烛，直至蜡烛与水面相平、蜡烛熄灭。因为蜡烛和铁块漂浮，所以：F浮'=G总’即：ρ水S0(L0L)g=mg+ρ蜡S0(L0L)g②①②得：ρ水S0(L0h0)gρ水S0(L0L)g=ρ蜡S0L0gρ蜡S0(L0L)gρ水S0Lgρ水S0h0g=ρ蜡S0LgL(ρ水ρ蜡)=ρ水h0解得：Lℎ29．（2019·宁波模拟）小明同学想探究某种均匀材料制成的边长为a的实心正方体物块的某些物理特性（如密度、压强等），他先把该物块放入水中，物块静止时，有13（1）物块的密度ρ物。（2）物块下表面受到的压强P1。（3）把物块从水中拿出并擦后放在水平地面上（如图乙），求物块对水平地面的压强P2．（要求：本题计算结果要用a、ρ水、g表示，已知水的密度为ρ水）【答案】（1）解：因为F浮=G，所以ρ水g（1﹣13）V=ρ物ρ物=23ρ水=23×1g/cm3答：物体密度为0.67g/cm3（2）解：下表面受到的压强P=ρ水gh=23ρ水答：下表面受到的压强为23ρ水（3）解：物体的底面积为S=a2，物体对地面的压力为F=G=ρ物ga3，物体对水平地面的压强为P=FS=ρ物g答：物体对水平地面的压强为ρ物ga【解析】（1）物体在水中漂浮，浮力等于自身重力，即F浮＝G，根据阿基米德原理和密度公式可求物体的密度；

（2）物体下表面距离液面的距离为23a