河南省顶级名校高三下学期考前全真模拟考试（一）数学

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据的下四分位数为（）A.50B.53C.57D.452.已知，则（）A.B.C.D.3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为4，则（）A.16B.12C.10D.84.直线，圆.则直线被圆所截得的弦长为（）A.2B.C.D.5.的展开式中的系数为（）A.208B.217C.216D.2186.已知，则的最小值为（）A.8B.4C.D.7.在中，，且交于点，则（）A.B.C.D.8.已知为椭圆上一点，分别为其左､右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列满足：，则下列结论中正确的是（）A.B.是等比数列C.D.10.已知的部分图象如图所示，则（）A.B.在区间单调递减C.在区间的值域为D.在区间有3个极值点11.如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（不含端点），过三点的平面将正方体分为两个部分，则下列说法错误的是（）A.正方体被平面所截得的截面形状为梯形B.存在一点，使得点和点到平面的距离相等C.若是的中点，则三棱锥外接球的表面积是D.当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，是的中点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则在的方向上的投影向量是__________.13.已知集合.若，则实数的取值范围为__________.14.已知函数的定义域为，若，且，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，内角的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若为边上的中线，且，求的最大值.16.（本小题满分15分）已知函数的图像在处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若，且时，，求实数的取值范围.17.（本小题满分15分）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点.设，证明：为定值.18.（本小题满分17分）如图，在三棱锥中，，的中点分别为，点在上，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的大小.19.（本小题满分17分）某种植物感染病毒极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒的制剂.现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计.规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.编号12345678910吸收量（毫克）6838956627编号11121314151617181920吸收量（毫克）75106788469（1）补全列联表中的空缺部分，依据的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计植株存活植株死亡合计（2）现假设该植物感染病毒后的存活日数为随机变量（可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，存活日数为的样本在存活日数超过的样本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.试推导的表达式，并求该植物感染病毒后存活日数的期望的值.附：，其中；当足够大时，.0.0100.0050.0016.6357.87910.828参考答案一､选择题：1234567891011ABBDCABCACADBCD11.【答案】BCD【详解】选项A：设过三点的平面与交点为，连接，因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，即，所以正方体被平面所截得的截面形状为梯形，故A正确.选项B：由点和点到平面的距离相等，若点和点到平面的距离相等，必有平面，又由，可得平面，与平面矛盾，故错误；选项C：三棱锥外接球的表面积是，故C错误；选项D：因为，正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为：解得，故D错误；故选：BCD.二､填空题12.13.14.114.【答案】1【详解】令，得，再令，得，所以，因为，所以，令，得.所以，即或1，若，则代入中，，由，所以，即，且，令，得，由，所以，所以为偶函数；所以，令，得，所以，即，因为，所以，所以为周期函数，周期为4，所以，，所以.故答案为：1.三､解答题：15.【答案】（1）；（2）的最大值为8.【详解】令，得，再令，得，（1）在中，内角的对边分别为，由正弦定理，可变为.化简为，又因为，所以角；（2）因为，所以在中，由余弦定理可得可化简为，因为，所以解得，所以的最大值为8.16.【答案】（1）在递增，在递减；（2）【详解】（1）的导数为，可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，即，，由，可得，由，可得，则在递增，在递减.（2）因为，若，由，即有恒成立，设，所以在为增函数，即有对恒成立，可得在恒成立，由的导数为，当，可得在递减，在递增，即有在处取得极小值，且为最小值可得，解得则实数的取值范围是.17.【答案】（1）（2）证明见解析【详解】（1）由题意得：解得，椭圆的标准方程是.（2）由（1）知，由条件可知的斜率存在且不为0，设的方程为，则，令可得.联立方程得，设，则，由可得，则有，解得，同理..故为定值.18.【详解】（1）连接，设，则，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.（2）由（1）可知，则，得，因此，则，有，又平面，则有平面，又平面，所以平面平面.（3）中，可以解得，记二面角的平面角为因为，所以因为，解得所以二面角的大小为.19.（1）填写列联表如下：吸收足量吸收不足量合计植株存活12113植株死亡347合计15520零假设为：“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关联.根据列联表中的数据，经计算