猜题02轴对称图形（易错拔尖必刷64题17种题型专项训练）

第2章轴对称图形（易错拔尖必刷64题17种题型专项训练）【易错】一．轴对称图形的识别（共2小题）二．根据成轴对称图形的特征进行判断（共3小题）三．利用轴对称的性质求解（共3小题）四．镜面对称（共3小题）五．设计轴对称图案（共4小题）六．轴对称图形的面积问题（共5小题）七．双垂直平分线求角度或周长（共4小题）八．角平分线与线段的垂直平分线综合运用（共4小题）九．与轴对称有关的新定义问题（共2小题）【拔尖】十．轴对称的规律探究（共4小题）十一．分类讨论思想在等腰三角形中的运用（共5小题）十二．等边三角形的十字模型（共3小题）十三．与等边三角形有关的旋转模型（共5小题）（半角、手拉手）十四．折叠问题（共3小题）十五．两圆一线画等腰（共小题）十六．与等腰三角形、等边三角形的性质与判定解决多结论问题（共5小题）十七．与等腰三角形有关的存在性问题（共6小题）一．轴对称图形的识别（共2小题）1．（2022·江苏南通·统考中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2．（2022·重庆·统考中考真题）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，故B错误；C.是轴对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．二．根据成轴对称图形的特征进行判断（共3小题）3．（2019下·山西太原·七年级统考期末）如图，点A在直线l上，△ABC与△AB'C'关于直线l对称，连接BB'，分别交AC，AC'于点D，D'，连接CC'A．∠BAC=∠B'AC' B．CC'∥BB'C．BD=B'D' D．AD=DD'【答案】D【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵△ABC与△AB'C'关于直线l对称，∴△ABC≅△AB'C'，BB'⊥l，CC'⊥l，AB=AB'，AC=AC'，∴∠BAC=∠B'AC'，CC'∥BB'，即选项A、B正确；由轴对称的性质得：OD=OD',OB=OB'，∴OB-OD=OB'-OD'，即BD=B'D'，选项C正确；由轴对称的性质得：AD=AD'，但AD不一定等于DD'，即选项故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．4．（2022上·广西崇左·八年级统考期末）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≅△A'B'C'；（2）∠BAC=∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△A'B'C'全等，然后对各小题分析判断后即可得到答案．【详解】解：△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，（1）△ABC≅△A'B'C'；（2）∠BAC=∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'综上所述，正确的结论有4个，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形能够完全重合判断出两个三角形全等是解题的关键．5．（2021上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为．【答案】5【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；【详解】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴S△CEF=S△BEF，∴阴影部分的面积=12S△ABC=12故答案为：5；【点睛】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键．三．利用轴对称的性质求解（共3小题）6．（2013下·山西·七年级阶段练习）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED'等于°．【答案】50【分析】根据平行线的性质得出∠EFB=∠DEF=65°，由折叠可得∠D'EF=∠DEF=65°，利用邻【详解】解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠DEF=65°，由折叠可知，∠D∠AED'=180°-∠D故答案为：50．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是根据平行线的性质得出角相等，利用折叠求出角度．7．（2014上·七年级课时练习）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝10，BC＝7，AC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长等于．【答案】9【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．【详解】解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，∴DE=CD，BE=BC．∵AB=10，BC=7，∴AE=AB-BE=AB-BC=10-7=3，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=6+3=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．8．（2020·四川达州·中考真题）如图，点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)对称，则a+b=【答案】5【分析】根据点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)对称求得a，b【详解】解：∵点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)∴a=2，1+b2=-1,解得∴a+b=2+（3）=5故答案为5．【点睛】本题考查了关于y=1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键．四．镜面对称（共3小题）9．（2022下·山东青岛·七年级统考期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是．【答案】12：51【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．故答案为：12：51．【点睛】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧．10．（2023上·八年级课时练习）一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为．

【答案】FM5379【分析】由题意得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解．【详解】解：根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，且关于水面上下对称，因此在倒影的上面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形，如图所示，

故该车牌号码为FM5379．故答案为：FM5379．【点睛】解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．11．（2022上·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是．

【答案】3265【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答．【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265，故答案为：3265．【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．五．设计轴对称图案（共4小题）12．（2022·贵州贵阳·统考一模）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域．（填序号）【答案】④【分析】直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，分析得出答案．【详解】解：如图所示，在④处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，故答案为：④．【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．13．（2014上·江苏无锡·八年级统考期中）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种．【答案】13【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．【详解】如图所示：一共有13画法，故答案为：1314．（2013·宁夏·中考真题）如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有种.

【答案】3【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，

选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处．故答案为3．考点：概率公式；轴对称图形．15．（2019上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字的格子内．【答案】2【分析】根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字2的格子内．【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，∴根据题意，阴影应该涂在标有数字2的格子内；故答案为2．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，沿着虚线进行翻折后能够重合，进而求出答案．六．轴对称图形的面积问题（共5小题）16．（2023上·全国·七年级专题练习）一张长方形纸，长8cm，宽5cm．将它的一个角折起后（如图）平放在桌面上，若∠1=44°，则∠2=°．阴影部分的周长是cm，面积是cm2．

【答案】682630【分析】由折叠知，∠1+2∠2=180°，计算求解∠2；折叠前后，阴影部分周长即原长方形周长；折叠部分折叠前后面积不变，用长方形面积减去折叠部分面积的2倍即阴影部分面积．【详解】解：如图，∠1+2∠2=180°∠2=(180°-44°)÷2=136°÷2=68°；阴影部分周长，即原长方形周长：(5+8)×2=13×2=26（厘米）阴影部分面积：5×8-2×=40-10=30（平方厘米）所以，∠2=68°，阴影部分的周长是26cm，面积是30故答案为：68；26；30．【点睛】本题考查折叠问题，不规则图形周长及面积计算；理解折叠中形成的线段、角的相等关系是解题的关键．17．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积是【答案】9【分析】根据轴对称的性质可得：阴影部分的面积等于△ABC面积的一半，即可解答．【详解】解：∵△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，∴S△ABD=S△ACD=∴阴影部分的面积等于△ABC面积的一半，∴S阴影=1故答案为：9．【点睛】本题考查了轴对称的性质，得出阴影部分的面积等于△ABC面积的一半是解题的关键．18．（2022上·七年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为a，E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，则图中阴影部分的面积之和为．

【答案】1【分析】由于正方形ABCD关于直线BD对称，将四边形PQEF沿BD翻折到四边形NMEF的位置，此时阴影部分的面积之和转化为等腰直角三角形ABD的面积．【详解】∵正方形ABCD关于直线BD对称，∴将四边形PQEF沿BD翻折到四边形NMEF的位置后两个四边形重合，∴图中阴影部分的面积之和为S故答案为：12【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，得出将四边形PQEF沿BD翻折到四边形NMEF的位置后两个四边形重合是解题的关键．19．（2022上·贵州黔东南·八年级校考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE=6，AB=8，BE=10，则重叠部分的面积是．【答案】40【分析】根据折叠的性质得到∠1＝∠2，而∠1＝∠3，易得ED＝BE，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是长方形纸片，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴ED＝BE，∵BE＝10，AB＝8，∴ED=BE=10，∴重叠部分的面积＝12故答案为：40．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质以及折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的面积公式．20．（2022下·安徽合肥·七年级统考期末）如图，四边形纸片ABCD的面积为10，将其沿过A点的直线折叠，使B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将三角形PCQ、三角形ADQ分别沿PQ、AQ折叠，此时点C、D落在AP上的同一点R处，（1）∠DAR的度数是．（2）若R为AP的三等分点，则此时三角形AQR的面积是．【答案】60°/60度109或【分析】（1）根据折叠的性质和平角定义证明AD∥BC，∠DAB＝90°，进而可以解决问题；（2）根据折叠的性质：折叠前后的三角形的面积相等，及三等分点的定义，分情况讨论即可解决问题．【详解】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA＋∠QRP＝180°，∴∠D＋∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B＋∠DAB＝180°，∵∠DQR＋∠CQR＝180°，∴∠DQA＋∠CQP＝∠AQR＋∠PQR＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，∴∠DAR＝60°．故答案是：60°；（2）设△ARQ的面积为a，则△ADQ的面积为a，若R为AP的三等分点，存在两种情况：AR＝2PR或PR＝2AR，①当AR＝2PR时，S△PQR＝S△PCQ＝12a∴S△ABP＝S△AQP＝a＋12a＝32∵四边形纸片ABCD的面积为10，∴2a＋a＋32a＝10∴a＝209∴三角形AQR的面积是209②当PR＝2AR时，S△PQR＝S△PCQ＝2a，∴S△ABP＝S△AQP＝a＋2a＝3a，∵四边形纸片ABCD的面积为10，∴2a＋4a＋3a＝10，∴a＝109∴三角形AQR的面积是109综上，三角形AQR的面积是109或20故答案为：109或20【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和判定，平角的定义，解决本题的关键是掌握翻折的性质．七．双垂直平分线求角度或周长（共4小题）21．（2023上·陕西延安·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC=80°，则A．15° B．20° C．10° D．25°【答案】C【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，【详解】解：如图所示，连接OA，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB=OA，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC，∴∠OBC+∠OCB=100°-(∠OBA+∠OCA)=100°-∠BAC=20°，∴∠OCB=∠OBC=10°，故选：C．22．（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（

A．4cm B．5cm C．6cm【答案】D【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，然后利用等量代换可得△ADE的周长=BC，即可解答．【详解】解：∵DM是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∵EN是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∵△ADE的周长8cm，∴AD+DE+AE=8cm∴BD+DE+EC=8cm∴BC=8cm∴BC的长为8cm故选D．23．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）△ABC中，∠A=α40°<α<60°，点M在△ABC的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则∠BMC=（

）（用含αA．90+α B．135-α2 C．2α D【答案】D【分析】此题主要考查垂直平分线的性质和三角形的内角和，根据垂直平分线的性质，可得∠PBM=∠PMB,∠QMC=∠QCM,即得180°-∠BMC=∠PBM+∠QCM=∠MBC+∠MCB,180°-2180°-∠BMC=α,【详解】解：∵BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q.∴∠PBM=∠PMB,∠QMC=∠QCM.180°-∠BMC=∠PBM+∠QCM=∠MBC+∠MCB.∵∠A=α40°<α<60°∴180°-2180°-∠BMC∠BMC=90°+α故选：D.24．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，BC=10，△AEG的周长是．【答案】10【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的周长；可得EA=EB，GA=GC，则△AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC，即可求解；灵活运用线段的垂直平分线的性质定理是解题的关键．【详解】解：∵ED垂直平分AB，∴EA=EB，∵GF垂直平分AC，∴GA=GC，∴△AEG的周长为：AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=10．故答案为10．八．角平分线与线段的垂直平分线综合运用（共4小题）25．（2021下·河北保定·八年级期末）如图，在△ABC中，点O为三边垂直平分线交点，I是三角形角平分线的交点，连接AI，BI，BO，若∠AOB=140°，则∠AIB的大小为（）A．160° B．140° C．130° D．125°【答案】D【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理：连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，进而得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【详解】解：连接CO，

∵∠AOB=140°，∴∠OAB+∠OBA=180°-140°=40°，∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC=180°-40°=140°，∵O是三边垂直平分线的交点，∴OA=OC，OB=OC，∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，∴∠OCA+∠OCB=70°，∴∠CAB+∠CBA=180°-70°=110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∴∠IAB+∠IBA=∴∠AIB=180°-55°=125°，故选：D．26．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与BC的垂直平分线GD交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．若AB=6，AC=4，则BE的长为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由DG是BC的垂直平分线，得BD=CD,由AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，得出DE=DF,借助Rt△BDE≌Rt△CDF证出BE=CF，由Rt△ADE≌Rt△ADF证出AE=AF，从而有【详解】解：如图，连接BD，CD，

∵DG是BC的垂直平分线，∴BD=CD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△BDE和RtBD=CDDE=DF∴Rt∴BE=CF．在Rt△ADE和RtAD=ADDE=DF∴Rt∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB-BE=AC+CF，∴6-BE=4+BE，∴BE=1．故选：A．【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．27．（2023上·四川泸州·八年级泸县五中校考阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分线AD交BC于D，DE是AB的垂直平分线，CD=2cm，且DB=4cm，BA=43cm，则

A．6cm B．7cm C．8cm D．(6+23【答案】D【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得ED=CD=2cm【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE=12AB=23∵∠CAB的角平分线AD交BC于D，且∠C=90°，∠AED=90°∴ED=CD=2∴△EAD的周长是：AD+ED+AE=4+2+23故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质得出ED=CD=2cm28．（2022下·河南焦作·八年级校考期中）如图，为了达到就近检测的目的，某地决定设立一个核酸检测点，要求其到两村庄A，B的距离相等，且到两公路m，n的距离相等，则该监测点应设（）

A．线段AB的垂线上 B．两公路m，n夹角的角平分线上C．线段AB的垂直平分线上 D．线段AB的垂直平分线和两公路m，n夹角平分线的交点【答案】D【详解】根据垂直平分线的判定定理，角平分线的判定定理处理；【解答】解：∵核酸检测点到两村庄A，B的距离相等，∴核酸检测点在线段AB的垂直平分线上，∵核酸检测点到两公路m，n的距离相等，∴核酸检测点在两公路m，n夹角平分线上，∴核酸检测点为线段AB的垂直平分线和两公路m，n夹角平分线的交点．故选：D．【点睛】本题考查垂直平分线的判定定理、角平分线的判定定理；掌握判定定理，根据线段相等判定点的位置是解题的关键．九．与轴对称有关的新定义问题（共2小题）29．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边的长为3，则这个三角形的周长是.【答案】15【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据倍长三角形分类讨论即可得到答案；【详解】解：①当腰为：3×2=6时，6-6<3<6+6，此时周长为：3+6+6=15，②当腰长为：3232故答案为：15．30．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”那么顶角为120°的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【答案】不是【分析】由等腰三角形顶角为120°，得到等腰三角形的底角是30°．于是得到顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．【详解】解：∵等腰三角形顶角为120°，∴等腰三角形的底角是30°．∵120°-30°=90°，∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．故答案为：不是．【点睛】本题考查“准等边三角形”，等腰三角形的性质，关键是理解新定义“准等边三角形”．十．轴对称的规律探究（共4小题）31．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F，连接BF，CF，如图

A．10 B．15 C．21 D．28【答案】C【分析】根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是nn+1【详解】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACD（∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE（∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，在△BDE，△CDE中，∴△BDE≌△CDE（∴图2中有1+2=3对三角形全等；同理：图3中有1+2+3=6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是nn+1所以：第6个图形中全等三角形的对数是6×72故选：C．【点睛】本题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键．32．（2022上·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是0，4，以为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作xA．122021 B．122022 C．【答案】A【分析】利用含30°的直角三角形的最短边是斜边的一半解题即可．【详解】解：∵三角形OAA1为等边三角形，∴∠AOA∴O1同理得：O2A2综上可得：O故选A．【点睛】本题主要考查含30°的直角三角形的性质，能够熟记性质并能够熟练进行指数计算是解题关键．33．（2021·北京·九年级专题练习）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1BA．a22020 B．a22019 C．【答案】B【分析】根据等腰三角形两底角相等结合三角形外角性质用α表示出∠A【详解】解：∵B1A∴∠A同理∠A∴∠A∴∠A∴∠A故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，和三角形外角性质,图形的变化规律，依次求出每个三角形的一个底角，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．34．（2022上·七年级单元测试）如图，正方形ABCD的面积S1=2，以CD为斜边，向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边，向外作正方形，其面积标记为S2，⋯按照此规律继续下去，则SA．122021 B．122020 C．【答案】B【详解】根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积公式可得出部分Sn的值，根据面积的变化即可找出变化规律S【解答】解：∵S1=2，则正方形ABCDS2S3S4……S2022故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律Sn十一．分类讨论思想在等腰三角形中的运用（共5小题）35．（2020上·福建南平·八年级统考期中）若等腰三角形有一个内角为80°，则它的顶角度数为．【答案】80°或20°【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；因此此题可分当80°为该等腰三角形的底角及顶角进行求解即可．【详解】解：当80°是该等腰三角形的底角时，则它的顶角度数为180°-2×80°=20°；当80°是该等腰三角形的顶角时，它的顶角度数为80°；故答案为80°或20°．36．（2023上·广东汕头·八年级汕头市世贸实验学校校考阶段练习）等腰三角形有两条边分别为3cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是【答案】17cm/17【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．根据等腰三角形有两条边长为3cm和7cm【详解】解：①若3cm为腰长，7cm由于3+3<7，则三角形不存在；②若7cm为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为7+7+3=17cm这个三角形的周长是17cm故答案为：17cm37．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度数为．【答案】55°或35°【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等，根据性质解题即可.【详解】解：情况①，如下图：∵AB=AC,∠ABD=20°，BD⊥AC，∴∠A=70°，∴∠ABC=∠C=情况②，如下图：∵AB=AC,∠ABD=20°，BD⊥AC，∴∠BAC=20°+90°=110°，∴∠ABC=∠C=故答案为：55°或35°．38．（2019下·甘肃兰州·七年级校考期末）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为34cm和30cm两部分，则多腰三角形的底边长为．【答案】563cm【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm、ycm，根据题意列二元一次方程组，没有指明具体是哪部分的长为34cm、30cm，故应该列两个方程组求解．【详解】解：等腰△ABC，AB=AC，BD是腰AC上的中线，如图：设腰长为xcm，底边长为ycm，根据题意得，①当AB+AD=34cm，BC+DC=30cm时，有x+∴x=∴等腰三角形的三边分别为：683、683、②当AB+AD=30cm，BC+DC=34cm时，有x+∴x=20∴等腰三角形的三边分别为：20、20、24，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形；∴综上所述，等腰三角形的底边长为563cm或故答案是：563cm【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是分两种情况进行分析，由解二元一次方程组求得解之后注意用三角形三边关系进行检验．39．（2023上·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，在△ABC边上有一点P，且△BCP是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为【答案】4【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，进行分类讨论，画出符合实际条件的图形即可．【详解】解：当BC=BP时，点P在AB上；当BC=PC时，点P在AB上或点P在AC当BP=CP时，点P在AB上；综上：满足条件的点P的个数为4，故答案为：4．

十二．等边三角形的十字模型（共3小题）40．（2022上·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于O，若OB=2，则B点到AQ的距离等于（

）A．1 B．2 C．3 D．3【答案】C【分析】作BD⊥AQ于点D，则∠ODB=90°，先证明△BAP≅△ACQ，得∠ABP=∠CAQ，再推导出∠BOD=60°，则∠OBD=30°，而OB=2，得OD=12OB=1，即可根据勾股定理求得【详解】解：作BD⊥AQ于点D，则∠ODB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CA，∠BAP=∠C=60°，在△BAP和△ACQ中，AB=CA∠BAP=∠C∴△BAP≅△ACQ(SAS∵∠ABP=∠CAQ，∴∠BOD=∠BAQ+∠ABP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，∴∠OBD=30°，∵OB=2，∴OD=1∴BD=O∴点B到AQ的距离等于3，故选：C．【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明△BAP≅△ACQ是解题的关键．41．（2023上·八年级课时练习）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别在AC，BC上，且AP=CQ，AQ与BP交于点M，在BP上取一点N，使MN=MQ，连接NQ．求证：△MNQ是等边三角形．

【答案】见解析【分析】先由已知条件得出△ABP≌△CAQ，得出∠ABP=∠CAQ，进而得到∠BMQ=60°，再根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形即可证明△MNQ是等边三角形．【详解】证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AP=CQ，∴△ABP≌△CAQSAS∴∠ABP=∠CAQ，∠BMQ=∠ABP+∠BAQ=∠CAQ+∠BAQ=∠BAC=60°．又∵MN=MQ，∴△MNQ是等边三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及三角形全等的综合知识，熟练掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形的判定定理是解题的关键．42．（2022上·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ,BP相交于点O．则∠POQ的度数为．【答案】120°/120度【分析】根据等边三角形的性质可得：AB=AC,∠BAP=∠C=60°，根据全等三角形的判定可得△ABP≌△CAQ，继而可得∠PBA=∠QAC，根据三角形外角与不相邻的两个内角的关系及对顶角相等可得【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC,∠BAP=∠C=60°，∵AP=CQ，∴△ABP≌∴∠PBA=∠QAC，∴∠AOP=∠PBA+∠BAO=∠QAC+∠BAO=∠BAC=60°，∴∠POQ=180°-∠AOP=120°．故答案为120°【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，外角与不相邻的两个内角的关系，对顶角，解题的关键是是证得△ABP≌十三．与等边三角形有关的旋转模型（共5小题）（半角、手拉手）43．（2023上·福建泉州·八年级期末）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，连接(1)若∠BAC=∠DAE=35°，求证：BD=CE；(2)连接BE，当点D在线段BE上时．①如图②，若∠BAC=∠DAE=60°，则∠BEC的度数为；线段BD与CE之间的数量关系是；②如图③，若∠BAC=∠DAE=90°，AM为△ADE中DE边上的高，判断∠BEC的度数及线段AM、【答案】(1)见解析(2)①60°，BD=CE；②【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≅△ACE，可得BD=CE；（2）①由∠BAC=∠DAE=60°，得到∠BAD=∠CAE，证明△BAD≅△CAE，根据全等三角形的性质证明结论；②类比①可得BD=CE，【详解】（1）∵∠BAC=∠DAE∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠EAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∴△ABD≅△ACE(∴BD=CE（2）①∵∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵AD=AE∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=60°∴∠ADB=120°又AB=AC，AD=AE∴△ABD≅△ACE(SAS∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，故答案为：60°；②关系：∠BEC=90°理由：∵∠DAE=90°∴∠ADE=∠AED=45°，∴∠ADB=∠AEC=135°∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°∵AM⊥DE∴DE=2AM∵△ABD≌△ACE∴BD=CE∴BE=BD+DE=CE+2AM【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．44．（2022上·湖北襄阳·八年级统考期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转．(1)当∠MBN旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE=CF，求证：①BE=BF(2)当∠MBN旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE≠CF时，小颖猜想1中的AE+CF=EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；(3)当∠MBN旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，猜想线段AE、CF、EF之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AE-CF=EF，见解析【分析】（1）①用“SAS”证明△ABE和△CBF全等，再利用全等三角形的性质求解；②由①知△ABE≌△CBF，进而得到△BEF是等边三角形，根据等边三角形的性质求解；（2）延长DC至K点使得CK=AE，先求得△ABE≌△CBK,再求得△EBF≌△KBF来求解；（3）猜想AE-CF=EF，在DC的延长线上取点K，使CK=AE，连接BK，易得到△ABE≌△CBK，再利用全等三角形的性质求解．【详解】（1）证明：①在△ABE和△CBF中，AB=BC∠A=∠BCFAE=CF∴△ABE≌△CBFSAS∴BE=BF；②由①知△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF=1∴AE=12BE∴△BEF是等边三角形．∴BE=BF=EF．∴AE+CF=1（2）解：延长DC至K点使得CK=AE，如图．在△ABE和△CBK.中，BK=BE∠KBF=∠EBF∴△ABE≌△CBKSAS∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠ABE+∠CBE=120°，∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°，∵∠EBF=60°，∴∠KBF=∠EBF=60°．在△EBF和△KBF中，BK=BE∠KBF=∠EBF∴△EBF≌△KBFSAS∴EF=KF．∴EF=CK+CF．∴AE+CF=EF；（3）解：如图3，猜想AE-CF=EF．证明如下：在DC的延长线上取点K，使CK=AE，连接BK．在△ABE和△CBK中，∴△ABE≌△CBKSAS∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠ABE+∠CBE=120°，∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°．∵∠EBF=60°，∴∠KBF=∠EBF=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线和理解相关知识是解答关键．45．（2020·重庆北碚·统考模拟预测）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．（1）求证：BE=DC；（2）求证：△AMN是等边三角形；（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）（1）的结论成立，（2）的结论不成立，证明见详解【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAC=∠BAE,根据“SAS"可判断△ABE≌△ADC，则BE=DC;(2)由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC，根据"AAS"可判断△ABM≌△ADN(AAS)，则AM=AN;∠DAE=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△AMN是等边三角形.(3)判定结论1是否正确，也是通过证明△ABE≌△ADC求得，这两个三角形中AB=AD，AE=AC，∠BAE和∠CAD都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等BE=CD，结论1正确；将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，则∠DAC>90°，因此三角形AMN绝对不可能是等边三角形.【详解】解：（1）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，{AB=AD∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC；（2）由上述（1）证得：△ABE≌△ADC，∴∠ABM=∠ADN．在△ABM和△ADN中，{AB=AD∠ABM=∠ADN∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM=AN．∵∠DAE=60°，∴△AMN是等边三角形；（3）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，{AB=AD∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，∵∠BAC=90°∴∠MAN＞90°，∵∠MAN≠60°，∴△AMN不是等边三角形，∴（1）的结论成立，（2）的结论不成立．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的性质与判定以及图形旋转等知识，综合性较强，需要按小题逐个分析论证.46．（2020·河南南阳·统考模拟预测）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交边AD、DC（或它们的延长线）于点E、F．（1）当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时（如图1），①求证：△ABE≌△CBF；②求证：AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕点B旋转到如图2所示的位置时，AE≠CF，此时，（1）中的两个结论是否还成立？请直接回答．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）①不成立，②成立．【分析】（1）①根据AB＝BC，∠A＝∠C，AE＝CF即可得证；②先证△BEF为等边三角形，进而得到EF＝BE＝BF，再由∠ABE=∠CBF结合∠ABC=120°，∠MBN=60°可得∠ABE=∠CBF=30°，进而可证得BE=2AE，再用等量代换即可得证；（2）延长FC至G，使AE＝CG，连接BG，先证△BAE≌△BCG，再证△GBF≌△EBF即可．【详解】（1）①证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠BAE=∠BCF=90°．在△ABE和△CBF中，AE=CF∴△ABE≌△CBF（SAS）．②证明：由①知△ABE≌△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF．∵∠MBN=60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF=BE=BF．又∵∠ABC=120°，∴∠ABE=∠CBF=1∵∠BAE=90°，∴BE=2AE．∵AE=CF，∴AE+CF=2AE=BE=EF．（2）如图2，延长FC至G，使CG＝AE，连接BG，在△BAE和△BCG中，BA=BC∠BAE=∠BCG∴△BAE≌△BCG（SAS），∴∠ABE＝∠CBG，BE＝BG，∵∠ABC＝120°，∠EBF＝60°，∴∠ABE＋∠CBF＝60°，∴∠CBG＋∠CBF＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，在△GBF和△EBF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△GBF≌△EBF（SAS），∴EF＝GF＝CF＋CG＝CF＋AE，∴①不成立，②成立．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转变换等知识点，难度适中．本题是典型的“大角夹半角模型”，其基本思路是“旋转补短”，从而构造全等三角形．47．（2018上·上海浦东新·八年级统考期中）已知：如图，点A、B、C在同一直线上，AB=2，BC=1，分别以AB、BC为边，在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，分别联结AE、CD．（1）找出图中的全等三角形（不添加辅助线），并证明你的结论.(2)线段AE与线段CD的关系是：AECD（填>、=、<）.AE与CD的夹角是：.(3)△ABD固定不动，使△BCE绕着点B旋转，①这时（2）得出的结论还成立吗（不要求证明）？②在旋转过程中，线段DC的长是变化的，它的变化范围是.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①成立；②1≤DC≤3.【分析】（1）根据题意可得△ABE≌△DBC；（2）由△ABE≌△DBC得，AE=CD,∠BAE=∠BDC，∠BDC+∠BCD=180°60°60°=60°，故可得AE与CD的夹角为∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；（3）①成立；②当BC在DB上时，DC最短等于1；当BC在DB的延长线上时，DC最长等于3，从而可得结论.【详解】（1）△ABE证明：∵△ABD∴AB=DB∵△BCE∴∴∠即∠在△ABE和△∵∴△(2)线段AE与线段CD的关系是：AE=CD；AE与CD的夹角是：60°.(3)①（2）得出的结论仍成立.②在旋转过程中，线段DC的长是变化的，它的变化范围是1≤DC【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．十四．折叠问题（共3小题）48．（2023上·山东临沂·八年级统考阶段练习）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠，折成如图的形状．

(1)若∠1=25°、∠2=35°，求∠A的度数；(2)猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．【答案】(1)∠A=30°(2)猜想：∠1+∠2=2∠A，理由见解析【分析】（1）由折叠得∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，由平角得，∠AED+∠A（2）先根据折叠得：∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，由两个平角∠ADB和【详解】（1）解：由折叠得：∠ADE=∠A'DE∠AED+∠A∠ADE+∠A∴∠ADE+∠AED=(155°+145°)÷2=150°，∴∠A=180°-150°=30°；（2）猜想：∠1+∠2=2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE=∠A'DE∵∠ADB+∠AEC=360°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED)=2∠A，∴∠1+∠2=2∠A．【点睛】本题是折叠变换问题，掌握两种思路：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论是解题的关键．49．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片ABCD，如图1，其中E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A'和点D甲同学的操作如图2；其中∠FEG=120°；乙同学的操作如图3，A'落在E丙同学的操作如图4，A'落在EG上，D'落在

(1)求出图2中∠A(2)直接写出图3中∠FEG的度数；(3)直接写出图4中∠FEG的度数；(4)若折叠后∠A'ED'【答案】(1)∠A(2)∠FEG=90°(3)FEG=60°(4)180°+n°2或【分析】（1）根据折叠的性质可得∠2+∠3=∠1+∠4=60°，即可求解；（2）根据折叠的性质得∠AEA'=2∠A'（3）根据折叠的性质可得由折叠的性质得，∠AEF=∠A再由∠AEF+∠FEG+∠GED=180°，即可求解；（4）分两种情况：如图5、6，先表示出∠A'EF+∠GED'【详解】（1）解：∵∠FEG=120°，∴∠1+∠4=60°，由折叠的性质得∠1=∠2，∠3=∴∠2+∠3=∠1+∠4=60°，∴∠A

（2）解：由折叠的性质得，∠AEF=∠A'EF∴∠AEA'=2∠∵∠AEA∴2∠A∴∠A（3）解：由折叠的性质得，∠AEF=∠A∵∠AEF+∠FEG+∠GED=180°，即3∠FEG=180°，∴∠FEG=60°，（4）解：如图5，∵∠A∴∠AEA由折叠的性质得，∠AEF=∠A'EF∴2∠A∴∠A∴∠FEG=∠A如图6，∠AEA由折叠的性质得，∠AEF=∠A'EF∴2∠A∴2∠∴∠A∴∠FEG=∠A综上所述，∠FEG的度数为180°+n°2或180°-n°

【点睛】本题考查折叠的性质、角度的和差倍分运算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．50．（2023上·浙江宁波·八年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1

(1)若AC=3，求S1(2)若AE=2，求S2【答案】(1)3(2)8【分析】（1）由题意可得BC=4，AB=5，设DM=CM=x，则BM=4-x，依据S△ABM=12AB×DM=（2）设AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折叠可得，BC=BE=4x，EN=CN，可得AE=AB-BE=x=2，可知AB=10，BC=8，AN=3x-EN=6-EN，由S△ABN=12AB×EN=【详解】（1）解：∵AC:BC:AB=3:4:5，AC=3，∴BC=4，AB=5，由折叠可得，DM=CM，∠ADM=∠C=90°，AD=AC=3，设DM=CM=x，则BM=4-x，∵S△ABM∴AB×DM=BM×AC，即5x=34-x解得x=3∴DM=3∴BD=AB-AD=2，∴S1（2）由AC:BC:AB=3:4:5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折叠可得，BC=BE=4x，EN=CN，∴AE=AB-BE=x=2，则AB=5x=10，BC=4x=8，AN=3x-EN=6-EN，∵S△ABN∴AB×EN=AN×BC，即10×EN=6-EN解得EN=8∴S2【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．十五．两圆一线画等腰（共3小题）51．（2023下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知A0,3，B3,0，若点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（

A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，AB为半径画圆；以B为圆心，AB为半径画圆；作AB的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3③作AB的垂直平分线，交坐标原点于C4，得到以C4为顶点的等腰∴符合条件的点C共7个，故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键．52．（2022下·福建三明·八年级统考期中）如图，已知点A，B的坐标分别为3,0和0,5，在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（

）个A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．【详解】解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有8个，故选C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．53．（2022上·山东潍坊·八年级统考期中）如图，已知坐标系内点P4,3，在坐标轴上找一点A，使△AOP是等腰三角形（利用尺规【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可．【详解】解：如图，以O为圆心，OP为半径作⊙O，与坐标轴有4个交点；以P为圆心，OP为半径作⊙P，与坐标轴有2个交点（点O除外）；作线段OP的垂直平分线与坐标轴有2个交点，观察图象可知，满足条件的点A有8个．【点睛】本题考查作图复杂作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会把复杂作图拆解成基本作图，会利用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考内容．十六．与等腰三角形、等边三角形的性质与判定解决多结论问题（共5小题）54．（2023上·云南昆明·八年级云南省昆明市第二中学校联考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF=90°；下列结论：①BE=AF；②∠BED+∠CFD的度数不变；③△AEF的面积存在最小值；④△DEF的面积存在最小值，⑤四边形AEDFA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点.①根据ASA证明△BED≌△AFD，从而即可得到BE=AF；②由△BED≌△AFD可得∠BED=∠AFD，再根据∠AFD+∠CFD=180°即可判断；③综合④△DEF的面积存在最小值和⑤四边形AEDF的面积为9cm即可判断；④根据S△DEF=12×ED×DF=12ED2，再根据点到直线垂线段最短可知当【详解】解：∵∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴△ACD、∴AD=BD，又∵∠EDF=90°，∴∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE=90°，∴∠BDE=∠ADF，在△BED和△AFD中，∠B=∠DACBD=AD∴△BED≌△AFD（∴BE=AF，故①正确，∵∠AFD+∠CFD=180°，∴∠BED+∠CFD=180°，∴∠BED+∠CFD的度数不变，故②正确，∵DE=DF，∴S△DEF∵当ED⊥AB时，ED最小，∴当ED最小时，△DEF的面积存在最小值，故④正确，∵△BED≌△AFD，∴S△BED∴S四边形∵D是BC中点，∴S△ABD∴S四边形∴四边形AEDF的面积为9cm故⑤正确，∵S四边形∴S△AEF∵△DEF的面积存在最小值，∴△AEF的面积存在最大值，故③错误，故选：C．55．（2022上·安徽铜陵·八年级铜陵市第十五中学校考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm，D为BC中点且AD⊥BC，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF=90°，下列结论：①BE=AF；②∠BED+∠CFD的度数不变；③△AEF的面积存在最小值；④△DEF的面积存在最小值；⑤四边形AEDF的面积为9cm，其中正确的结论个数是（A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】①易证△BED≌△AFD，从而即可得到BE=AF；②由△BED≌△AFD可得∠BED=∠AFD，再根据∠AFD+∠CFD=180°即可判断；③综合④△DEF的面积存在最小值和⑤四边形AEDF的面积为9cm即可判断；④根据S△DEF=12×ED×DF=12×E【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴△ACD、△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD,∠DAC=∠C=∠B=45°，又∵∠EDF=90°，∴∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE=90°，∴∠BDE=∠ADF，在△BED和△AFD中，∠B=∠DACBD=AD∴△BED≌∴BE=AF，∠BED=∠AFD,DE=DF，故①正确，∵∠AFD+∠CFD=180°，∴∠BED+∠CFD=180°，∴∠BED+∠CFD的度数不变，故②正确，∵DE=DF,∠EDF=90°，∴S∵当ED⊥AB时，ED最小，∴当ED最小时，△DEF的面积存在最小值，故④正确，∵△BED≌∴S∴S∵D是BC中点，∴S∴S∴四边形AEDF的面积为9cm故⑤正确，∵S∴S∵△DEF的面积存在最小值，∴△AEF的面积存在最大值，故③错误，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、点到直线之间，垂线段最短等知识点，通过推理论证每个命题的正误是解决此题的关键．56．（2019上·山东日照·八年级统考期中）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④△PCQ是等边三角形；

⑤PQ∥AE．其中正确结论的有（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，熟练应用三角形全等的证明是正确解答本题的关键．求出∠ACD=∠BCE，证明△ACD≌△BCESAS，可得AD=BE，①正确；求出∠BCQ=∠ACP，证明△CQB≌△CPAASA，可得AP=BQ，CP=CQ，③正确；证明△PCQ为等边三角形，故④正确；求出∠PQC=∠DCE=60°，可得PQ∥AE，【详解】解：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌∴AD=BE，故①正确；∴∠CBE=∠DAC∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=180°-60°-60°=60°=∠ACP，又∵AC=BC，∴△CQB≌∴AP=BQ，CP=CQ，故③正确；∴△PCQ是等边三角形，故④正确；∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故∵∠ACB=∠CED=60°，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=∠CBE+∠AEO=∠ACB=60°，故②正确；故选：A．57．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于①EF=BE+CF；②∠BOC=90③点O到△ABC各边的距离都相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF其中正确结论的个数（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．①根据角平分线的性质得到∠EBO=∠CBO，∠BCO=∠FCO，再由平行的性质得到∠CBO=∠EOB,∠BCO=∠COF，即可得出BE=EO,OF=CF，即可得到结论；②根据角平分线的性质以及三角形内角和定理即可证明结论；③根据三角形内心的性质即可得到结论；④连接AO，根据三角形面积公式即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠EBO=∠CBO，∠BCO=∠FCO，∵EF∥∴∠CBO=∠EOB,∠BCO=∠COF，∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠COF，∴BE=EO,OF=CF，∴EF==EO+OF=BE+CF，故①正确；∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°-(∠GBC+∠GCB)=180°-12(180°-∠A)=∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，故点O是△ABC的内心，∴点O到△ABC各边的距离都相等，故③正确；连接AO，由于点O是△ABC的内心，OD=m，AE+AF=n，∴S△AEF=故正确有3个．故选C．58．（2023上·河南新乡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BF=FC；②∠ABE=∠ACD；③BH=EH；④DB=DG．其中正确结论的序号有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，掌握角平分线的性质，等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．利用等腰直角三角形的性质得到①正确，利用已知垂直关系，得到②正确，利用角平分线的性质得到③不正确，利用等腰直角三角形的性质，得到④正确，由此选出答案．【详解】解：由题意得：①∠ACB=45°，BE⊥AC，∴△BEC为等腰直角三角形，又∵EF⊥BC，∴BF=FC，∴①正确；②∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=∠A+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠ACD，∴②正确；③∵CD平分∠ACB，BE⊥AC，但BH和BC不垂直，∴BH≠EH，∴③不正确；④如图，连接BG，∵△BEC为等腰直角三角形，EF⊥BC,∴△BGC为等腰三角形，∴∠GBC=∠GCB，∵∠DGB=∠GCB+∠GBC∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠GCB，又∵∠ACB=45°，∴∠DGB=45°，∵CD⊥AB，∴△BDG为等腰三角形，∴DB=DG，∴④正确，故选：B．十七．与等腰三角形有关的存在性问题（共6小题）59．（2023上·山东淄博·七年级统考期中）已知：在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．(1)直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1）．请说明：AE=CG；(2)直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2）．那么图中是否存在与AM相等的线段？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)图中存在与AM相等的线段，AM=CE，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键；（1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC=BC，利用ASA得到△AEC与△CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．先证出∠CEB=∠CMA，再由AAS证明△CAM≌△BCE，即可解答．【详解】（1）∵点D是AB的中点，AC=BC,∠ACB=90°,∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°,∠CAD=∠CBD=45°,∴∠CAE=∠BCG，∵BF⊥CE,∴∠CBG+∠BCF=90°,∵∠ACE+∠BCF=90°,∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∠CAE=∠BCGAC=BC∴△AEC≌△CGB∴AE=CG；（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．理由：∵CH⊥HM,CD⊥ED,∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°．∴∠CMA=∠BEC．在△CAM和△BCE中，∠CMA=∠BEC∠ACM=∠CBE=45°∴△CAM≌△BCEAAS∴AM=CE．60．（2023上·福建三明·八年级统考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的动点，点E在BC下方，且CD=CE，CD⊥CE，连接AD、BE，如图

(1)求证：AD=BE；(2)连接AE、BD，如图2．若①求证：AD⊥BE；②当点D运动时，是否存在常数λ，使得BD=λCD？若存在，请求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②存在常数λ=2，使得BD=λCD【分析】（1）根据CD⊥CE和∠ACB=90°可得∠ACD=∠BCE，进而证明△ACD≌△BCESAS（2）①延长AD交BE于点F．根据题意可得∠BAF=45°-∠CAD，∠ABF=45°+∠CBE，由（1）知，△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，即可证明；②连接DE，根据条件可得AF垂直平分BE，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE=【详解】（1）证明：∵CD⊥CE，∴∠DCE=90°，∴∠BCE+∠BCD=90°．又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCESAS．∴AD=BE；（2）证明：①延长AD交BE于点F．如图，

在Rt△ABC中，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°．∴∠BAF=45°-∠CAD，∠ABF=45°+∠CBE．由（1）知，△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE．∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠AFB=90°，∴AD⊥BE②存在常数λ=2，使得BD=λCD证明：连接DE，如图，

∵AE=AB，AF⊥BE，∴F为BE中点，∴AF垂直平分BE，∴BD=DE．∵CD=CE，CD⊥CE．∴在Rt△CDE中，DE=∴BD=2【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线的判定与性质，等式的性质等基础知识；考查推理能力、运算能力、空间观念、几何直观与创新意识；考查化归与转化思想．61．（2023上·广西南宁·九年级南宁三中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为0,1，点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，并延长CA交x轴于点E(1)求证：OB=AC；(2)当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由；(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形?请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)当B点运动时，AE的长度不发生变化，理由见解析；(3)存