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双曲线讲义一、定义①焦点在x轴上的双曲线平面内两个定点:F动点Px,y则x化简得:x其中a>0,b>0这就是双曲线的标准方程1我们称F1−c,0A1−a,0和A22c:焦距,2a:实轴长,2b:虚轴长渐近线:y=±bax记忆方法:离心率:e注意1：如果不添绝对值若PF1−PF2=2a,此时动点P的轨迹为双曲线的右支(2)若注意2：如果a=则PF1−PF2=F1F(1)PF1−PF2=F1F(2)PF2−PF1=F1F注意3：如果a>则PF所以动点P不可能存在②焦点在y轴上的双曲线平面内两个定点:F动点Px,y则x化简得:y其中a>0,b>0这就是双曲线的标准方程2我们称F10,−c和A10,−a和A202c:焦距,2a:实轴长,2b:虚轴长渐近线:y=±abx记忆方法:离心率:e注意1：如果不添绝对值(1)若PF1−PF2(2)若PF2−PF1注意2：如果a=则PF1−PF2=F1F(1)PF1−PF2=F1F(2)PF2−PF1=F1F注意3：如果a>则PF所以动点P不可能存在二、等轴双曲线:a=b,也即等轴双曲线的离心率为e=2,渐近线方程为:y三、通径x我们称2b2四、双曲线焦点到渐近线的距离考虑双曲线焦点F1−c,按照点到直线的距离公式得到:d所以双曲线焦点到渐近线的距离为虚半轴长五、双曲线顶点到渐近线的距离考虑双曲线顶点A1−a,按照点到直线的距离公式得到:d=六、焦半径的范围假设双曲线:x2a2−y2b2=F2c,0证明:P==由于x≥a,所以同理,P七、关于双曲线的焦点三角形△PF1F2①若∠F1PF证明:由余弦定理得到:F假设点P在双曲线的右支,由定义得:P两边平方得到:P所以4所以4所以P②焦点三角形的面积公式若∠F1PFS=③焦点三角形的内切圆圆心轨迹设P为双曲线:x2a则△PF1F2的内切圆圆心I的轨迹为无端点线段也即:x=a−b<y<b且y则A在x轴上由于P所以PM又因为PM所以M又因为M所以A所以A在双曲线右支上又因为A在x轴上所以A为双曲线的右顶点(a,0)又因为IA⊥x所以I在直线x=a又双曲线x2a2−又由于y所以结合图形知:△PF1F2的内切圆圆心I的轨迹为无端点线段AB也即:x=a④椭圆与双曲线共焦点问题设椭圆:x2a12则椭圆与双曲线有公共焦点F1和F2,设椭圆和双曲线在第一象限内的交点为P离心率为e1,双曲线的离心率为e2,证明:证明:P在△PF1F所以4所以4所以1因为e所以sin八、中点弦问题(点差法)设A,B都在双曲线:x2a2−y2b2=1a>0,b>0,AB的中点为证明:设Ax1,y两式作差得到:x平方差因式分解得到:x所以y又由于k所以k九、过双曲线焦点的弦过双曲线:x2a2−y2b2=1A在第一象限,B在第四象限,直线AB的倾斜角为θ,分别求出A若设AF2BF2=t,直线AB的斜率为则

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