数字信号处理原理配套习题答案第8章FIR数字滤波器的设计习题解答

8.1：FIR低通滤波器的脉冲响应h(n)是由理想低通滤波器的脉冲响应ℎdh当n=ℎ对于给定的N=21,滤波器的阶数是20，即n=0,1,2,...,20，中心位置为n=10,理想脉冲响应需要乘以矩形窗,矩形窗函数ω(n)的值为1，因此滤波器的脉冲响应h频率响应H(ejωStep1:计算理想低通滤波器的脉冲响应hℎ矩形窗函数：ω滤波器的脉冲响应:h(n)=Step2:计算频率响应通过傅里叶变换(DTFT)，求解H(H(8.2：与上题类似：Step1:计算理想低通滤波器的脉冲响应hℎ三角形窗函数ωh(n)=Step2:计算频率响应通过傅里叶变换(DTFT)，求解H(H(8.3:理想高通滤波器的脉冲响应hdhhStep1:N=51，αhhStep2:汉宁窗的公式为：ωh(n)=8.4:理想带通滤波器的脉冲响应hdhStep1:hStep2:海明窗的表达式为：ωh(n)=8.5：hStep1：其中，M=hStep2：布莱克曼窗ωω8.6:理想低通滤波器的频率响应为：H其对应的时域冲激响应为：ℎ凯泽窗:ω其中I0若ω8.7：通常，阻带衰减要求与过渡带宽度一起决定了窗函数的类型：1、汉明窗：阻带衰减约为44dB2、凯泽窗：通过调整窗系数β可以满足更大的阻带衰减要求为满足-45dB的阻带衰减，选择凯泽窗并根据阻带衰减和过渡带宽度来确定Step1：滤波器长度N计算：凯泽窗法中，N和过渡带宽度∆ω的N其中，A是是阻带衰减的绝对值，即A=-45dB，带入得到NStep2：理想低通滤波器的冲激响应计算hStep3：凯泽窗ω8.8：(1)ℎ则H由上式可以看出|因为ℎ1(n)是偶对称序列，根据线性相位的定义，它是一个线性相位滤波器，其时延为N−12=3.5，令要知两个滤波器的性能,必须求出它们各自的频率响应的幅度函数,根据它们的通带起伏以及阻带衰减的情况,来加以比较。由于N=8是偶数，又是线性相位，则H(可以令ℎℎ及ℎℎ代入可得HH从阻带看,H1(ω)的阻带衰减大,而H2(ω)的阻带衰减小,这一点8.9由H(z)z其中z01和z02、z03和z04互为共轭零点。为了使新系统满足单位抽样响应为实数,必须满足新系统的零点保持共轭分布,因此在移动零点过程中应将z01和z因此总共可得到的新系统的个数为M=总共可得到的系统个数为M+1=16由系统零点分布可知,系统有3个零点分布在单位圆外,即z用全通系统将这些零点映射到单位圆内可得到最小相位系统。H(1−0.7其中最小相位系统为H(1−要获得最大相位系统,需要将原H(z)级联一个全通系统,把单位圆内的零点映射到单位圆外。满足要求的全通系统为H从而可得最大相位系统为H×8.10由于HBP(eH且φ(H所以带阻滤波器可以表示为：H(2)ℎ考虑到φ(φℎ8.11因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即h(n)=−h(N−1−n)故当N为奇数时，有h(H(上式中n用N−12H(由于滤波器的频率响应为H(令c(n)=2h(得到H(8.12(1)H(首先计算ℎminH再计算ℎ(n)的幅频响应H(进行变量替换,令m=N−1−n,则n=N−1−m,当n=0时,m=N−1,当n=N−1时,m=0,因此幅频响应可以改写为H(利用e−jH(由于幅频响应只关注幅度，不关注相位，因此两者具有相同的幅频响应(2)一个系统是最大相位系统，当其单位冲激响应h(n)的所有非零系数的时延响应都是正的。由于h(n)=ℎmin(N−1−n)。可以看到,h(n)的系数是反向排列的，这意味着系统在频域中的相位响应为负的，因为每一个8.13题8.1的MATLAB实现：%参数设置N=21;%滤波器阶数wc=0.5*pi;%截止频率M=(N-1)/2;%中心位置%计算理想脉冲响应h_d(n)n=0:(N-1);hd=sinc((n-M)*0.5);%0.5=wc/pi%矩形窗w(n)，所有值为1w=ones(1,N);%计算加窗后的脉冲响应h(n)h=hd.*w;%计算频率响应H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT计算频率响应H=fftshift(H);%将零频率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%频率范围%绘制频率响应|H(e^jw)|的对数刻度figure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{j\omega})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;题8.2的MATLAB实现%参数设置N=51;%滤波器阶数wc=0.5*pi;%截止频率M=(N-1)/2;%中心位置%计算理想脉冲响应h_d(n)n=0:N-1;%n从0到N-1hd=sinc((n-M)*0.5);%理想脉冲响应，0.5=wc/pi%计算三角形窗w(n)w=1-abs((2*n)/(N-1)-1);%计算加窗后的脉冲响应h(n)h=hd.*w;%计算频率响应H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT计算频率响应H=fftshift(H);%将零频率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%频率轴%绘制频率响应|H(e^jw)|的对数刻度figure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{jw})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;8.13%参数设置w_c=0.2*pi;%带宽w_0=0.6*pi;%中心频率N=51;%滤波器阶数%生成nn=(0:N-1)-(N-1)/2;%以0为中心的对称范围%理想频率响应：定义相对于中心频率w_0的带通滤波器h_n=(sin(w_c*n).*cos(w_0*n))./(pi*n);%sinc调制h_n((N-1)/2+1)=cos(w_0*n((N-1)/2+1))*w_c/pi;%处理n=0的情况%应用布莱克曼窗h_n=h_n.*blackman(N)';%确保窗的维度匹配%计算频率响应[H,w]=freqz(h_n,1,8000);H_dB=20*log10(abs(H));%绘图figure;plot(w/pi,H_dB,'LineWidth',1.5);title('FIR带通滤波器的幅度响应（90度相移）');xlabel('归一化频率(×\pirad/sample)');ylabel('幅度(dB)');gridon;legend('20*log10|H(e^{j\omega})|');8.15选择凯泽窗，N=51%参数设定wc=0.5*pi;%截止频率N=51;%增加滤波器长度%理想低通滤波器的冲激响应n=0:(N-1);h_d=sinc((wc/pi)*(n-(N-1)/2));%汉明窗w_hamming=hamming(N)';%实际滤波器系数h=h_d.*w_hamming;%计算频率响应[H,w]=freqz(h(:),1,8000);%将h转换为列向量H_dB=20*log10(abs(H));%绘制幅度响应figur