数学示范教案：两角和与差的正切

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7()，\s\do5(整体设计）)教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节，这对学生的自主探究学习提供了平台．因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解，同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握，因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移，更多地让学生自主学习，独立地推导两角和与差的正切公式，为学生提供进一步实践的机会．也可以说本节并不是什么新的内容，而是对前面所学知识的整合而已．在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神．对于公式成立的条件，可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决．在学习两角和与差的正切公式中，有许多优美的三角恒等式，它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形之美．本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手，探究问题解决的来龙去脉，揭示它们的逻辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路．三维目标1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．2．通过两角和与差的正切公式的推导及运用，让学生从中体会转化与化归的思想方法，培养学生用联系变化的观点观察问题，通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．重点难点教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用．教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用．课时安排1课时eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教学过程))导入新课思路1。（问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求．教师进一步提出：能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课，探究两角和与差的正切公式．思路2.(直接导入）在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后，能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系?是否与sin（α±β）公式相似？如何推导呢？由此展开新课，揭示课题．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题））1利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？2利用所学两角和与差的公式，对比分析公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β，能否推导出tanα－β＝？tanα＋β＝?3分析观察公式Tα－β、Tα＋β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？4前面两角和与差的正、余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？活动：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式Cα－β、Cα＋β、Sα＋β、Sα－β，可以完全让学生自己进行探究tan(α－β)，tan（α＋β）究竟如何，教师只是适时地点拨就行了．通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以cosαcosβ即可得到，在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对cosαcosβ讨论如下：当cos（α＋β）≠0时，tan（α＋β)＝eq\f（sinα＋β，cosα＋β）＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).若cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ,得tan(α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）.根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan（α－β)＝eq\f（tanα＋tan－β，1－tanαtan－β）＝eq\f（tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）。由此推得两角和与差的正切公式，简记为“Tα－β、Tα＋β"．tan（α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ）(Tα＋β)，tan(α－β)＝eq\f（tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）（Tα－β)．我们把公式Tα＋β、Tα－β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β、α±β有一定的取值范围,即α≠eq\f（π，2）＋kπ(k∈Z），β≠eq\f(π，2）＋kπ（k∈Z），α±β≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z），这样才能保证tan(α±β）与tanα,tanβ都有意义．教师应留出一定的时间让学生回味、反思探究过程，点明推导过程的关键是：tan(α＋β)→sin(α＋β)，cos（α＋β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立的条件是什么?（提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β）都有意义，且1±tanαtanβ≠0；②注意公式的形式：公式右边分子是单角α、β正切的和与差，分母是1减（或加）单角α、β正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反；③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式，用于角的变换．(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明．至此，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，统一叫做三角函数的和差公式．一般地，我们把公式Sα＋β，Cα＋β,Tα＋β都叫做和角公式,而把公式Sα－β，Cα－β，Tα－β都叫做差角公式．要让学生明晰这六个公式的推导过程，清晰逻辑关系主线．可让学生自己画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β）（1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ),在化简求值中就经常用到，使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力．对于两角和与差的正切公式,当tanα,tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用Tα±β处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法,例如：化简tan（eq\f(π,2）－β)，因为taneq\f(π,2)的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan（eq\f（π，2)－β)＝eq\f（sin\f(π,2)－β,cos\f（π，2)－β）＝eq\f（cosβ,sinβ）来处理．讨论结果：(1）～（4)略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（应用示例））例1已知tanα＝2，tanβ＝－eq\f（1,3)，其中0<α〈eq\f(π,2)，eq\f(π,2）〈β<π.（1)求tan（α－β）；(2)求α＋β的值．活动：本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决．对于（2)教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围．解：(1）因为已知tanα＝2,tanβ＝－eq\f(1，3)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ）＝eq\f（2＋\f（1,3)，1－\f(2，3)）＝7。（2)因为tan（α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(2－\f（1,3)，1＋\f（2，3））＝1，又因为0〈α〈eq\f(π，2)，eq\f（π，2)<β〈π,所以eq\f(π,2）<α＋β〈eq\f（3π，2)。在eq\f（π，2）与eq\f（3π，2)之间，只有eq\f(5π，4）的正切值等于1，所以α＋β＝eq\f(5π,4）。例2求下列各式的精确值．(1)tan75°；(2）eq\f(tan17°＋tan43°，1－tan17°tan43°）。解:（1）tan75°＝tan(45°＋30°）＝eq\f（tan45°＋tan30°，1－tan45°tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3），3),1－\f（\r(3),3）)＝2＋eq\r（3）；（2)eq\f（tan17°＋tan43°,1－tan17°tan43°)＝tan（17°＋43°）＝tan60°＝eq\r（3）.点评：本例体现了对公式全面理解上的要求,要求学生能够从正、反两个角度使用公式，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识.变式训练1．不查表求tan105°的值．解：tan105°＝tan（60°＋45°）＝eq\f（tan60°＋tan45°,1－tan60°tan45°)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3）)＝－2－eq\r(3)。2．不查表,计算：(1）tan22°＋tan23°＋tan22°tan23°；(2）tan17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan43°tan30°。解：（1）原式＝tan(22°＋23°)·（1－tan22°tan23°）＋tan22°tan23°＝tan45°·(1－tan22°tan23°)＋tan22°tan23°＝1。(2)原式＝tan17°tan43°＋tan30°(tan17°＋tan43°）＝tan17°tan43°＋tan30°tan(17°＋43°)（1－tan17°tan43°)＝tan17°tan43°＋tan30°tan60°(1－tan17°tan43°）＝1。例3若tan（α＋β）＝eq\f(2，5)，tan（β－eq\f（π，4)）＝eq\f(1，4），求tan(α＋eq\f(π，4）)的值．解:因为α＋eq\f(π，4）＝（α＋β)－（β－eq\f（π,4)),所以tan（α＋eq\f（π，4))＝tan[（α＋β）－(β－eq\f（π,4）)］＝eq\f(tanα＋β－tanβ－\f（π,4），1＋tanα＋βtanβ－\f（π，4)）＝eq\f（\f(2,5)－\f（1,4)，1＋\f（2，5）×\f（1，4）)＝eq\f（3,22).点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示，具有一定的拆角技巧，这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换，使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力。变式训练已知tanα＝－eq\f(1,3），cosβ＝eq\f(\r(5），5),α，β∈（0,π）．(1)求tan（α＋β)的值;（2）求函数f(x)＝eq\r(2）sin(x－α)＋cos（x＋β)的最大值．解：(1）由cosβ＝eq\f(\r(5），5)，β∈（0,π)，得tanβ＝2，sinβ＝eq\f(2\r（5)，5),所以tan（α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1。(2)因为tanα＝－eq\f(1，3），α∈（0，π）,所以sinα＝eq\f(1,\r(10)),cosα＝－eq\f(3,\r（10)).f(x)＝－eq\f（3\r(5），5)sinx－eq\f（\r(5），5）cosx＋eq\f（\r（5),5)cosx－eq\f（2\r（5），5)sinx＝－eq\r(5)sinx，所以f(x)的最大值为eq\r(5）。例4已知α＋β＝45°，求（1＋tanα）（1＋tanβ）的值．解：∵α＋β＝45°，∴tan（α＋β)＝tan45°＝1。又∵tan（α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ），∴tanα＋tanβ＝tan（α＋β）(1－tanαtanβ），即tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ。∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋（1－tanαtanβ）＋tanαtanβ＝2.点评：本题是公式的变形应用，当出现α＋β为特殊角时,就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tanα＋tanβ＝tan(α＋β）（1－tanαtanβ），这个变形式子对我们解题很有用处．解完后留出一定的时间让学生认真总结反思，熟练掌握其变化的思想方法。变式训练1．求（1＋tan1°）(1＋tan2°）（1＋tan3°）…（1＋tan44°)（1＋tan45°)的值．解：原式＝［（1＋tan1°）（1＋tan44°）］［（1＋tan2°)(1＋tan43°)]…［（1＋tan22°）(1＋tan23°)］（1＋tan45°）＝2×2×2×…×2＝223。2．计算：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°。解：原式＝tan45°（1－tan15°tan30°）＋tan15°tan30°＝1.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(课堂小结)）本节课主要学习的是：推导了两角和与差的正切公式；研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对“转化"数学思想方法的理解，通过例题我们对公式不仅要会正用，还要会逆用,有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业))课本本节习题3—1A组1~3B组1～3。eq\o(\s\up7(),\s\do5（设计感想））1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续，也注意了复习巩固两角和差公式．设计意图在于深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．2．对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角．在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思考、探究解法，然后教师再进行必要的点评．重在理清思路，纠正错误，点拨解法,争取一题多解,拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型．eq\o(\s\up7(）,\s\do5（备课资料）)备用习题1．若tanα＝2,tan(β－α）＝3，则tan(β－2α)的值为（)A．－1B．－eq\f（1，2）C。eq\f(5,7）D.eq\f(1,7）2．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于（)A。eq\f(1,2)B。eq\f（\r（2），2)C。eq\r（2）D．13.eq\f(tan55°－tan385°,1－tan－305°tan－25°)＝________.4．已知tan110°＝a，则tan50°的值为________．5．若tanx＝eq\f（1－tan20°,1＋tan20°），则x＝________。6．已知sinα＝－eq\f（3，5），cosβ＝eq\f（5,13），且α，β的终边在同一象限,求tan(α＋β)的值．7．若3sinx＋eq\r（3)cosx＝2eq\r(3）sin(x＋φ）且φ∈（0，eq\f（π，2）),求tan(φ＋eq\f(π，4）)的值．8．在平面直角坐标系中，点P在以原点O为圆心、6为半径的圆上运动,线段OP与以O为圆心、2为半径的圆交于R点，过P作x轴的垂线，垂足为M,过R作PM的垂线，垂足为Q，求∠POQ的最大值．参考答案：1．D2。D3。eq\f（\r（3）,3)4。eq\f（a－\r（3),1＋\r（3）a）5。25°＋k·180°（k∈Z)6.eq\f(63,16).7．分析：如何求φ是本题的关键．解：∵3sin