2.2 基本不等式（第1课时）（教学课件）-人教A版2019必修第一册高一数学（人教A版2019必修第一册）

人教版2019高一数学（必修一）第一章一元二次函数、方程和不等式第一课时基本不等式2.2

基本不等式目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析学习目标1.掌握基本不等式及其结构特点.2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.情景导入某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑．所以你知道这串金项链的真实重量是多少吗？这样称店家到底是亏了还是赚了呢？本节课我们就来学习基本不等式的知识解决这个问题吧！1.基本不等式的概念新知探究我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab当且仅当a=b时，等号成立.左式为上节课所得结论

当且仅当a=b时，等号成立.通常把上式称为基本不等式.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.概念归纳上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.

如右图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？AEDCBba∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD，又CD⊥AB，∴△ACD∽△DCB，∴CD2=AC·BC，

又∵|DE|≤|AB|，显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.思考探究

课本例题口诀简记一正、二定、三相等1.利用基本不等式求最值的步骤概念归纳1.A、B必须为正数2.（1）在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值2.（2）在A·B为定值时，便可以知道A+B的最大值3.当且仅当A、B相等时，等式成立.即

解：练一练

解：练一练

课本例题

2.基本不等式的使用条件和定积最大，积定和最小.【例1】若0<a<1,0<b<1,且a≠b.试比较出a+b,a2+b2,,2ab中的最大者.解:∵0<a<1,0<b<1,a≠b,∴a+b>,a2+b2>2ab,∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大.典例剖析探究一

利用基本不等式比较代数式的大小1.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.2.本题在比较a+b与a2+b2的大小时使用了作差法.概念归纳1.设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是(

)∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.练一练B典例剖析探究二用基本不等式求简单的最值练一练练一练当a>0,b>0时,概念归纳典例剖析探究三利用基本不等式证明不等式练一练练一练1.此题多次使用,要注意等号能否成立,最后利用不等式性质累加的应用,此时也要注意等号成立的条件.2.在解决不能直接利用基本不等式证明的问题时,要重新组合,构造运用基本不等式的条件.若条件中有一个多项式的和为1,要注意“1”的代换.3.培养逻辑推理素养与数学运算素养.概念归纳随堂练D2.设a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是(

)A.ab≤1 B.ab≥1C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4随堂练A3.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值为

.

20随堂练4.已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为

;如果a+b=1,那么ab的最大值为

.

随堂练2随堂练课本练习课本练习课本练习课本练习5.已知直角三角形的面积等于50cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小?最小值是多少?课本练习忽视基本不等式成立的条件致错提示:上述解答中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应都大于零,因而导致错误.错因分析∴函数值的取值范围为y≥2.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?错因分析1.由于

中x的取值范围为x>0或x<0,故要对x的符号加以讨论,否则不能用基本不等式.2.培养逻辑推理素养和数学运算素养.错因分析下列各式能用基本不等式直接求得最值的是(

)解析:选项A,B,D都不一定满足是正数,只有C满足基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”.C错因分析分层练习-基础AB分层练习-基础ABD分层练习-基础C分层练习-基础C分层练习-基础BBC分层练习-基础5

10分层练习-基础分层练习-基础分层练习-基础分层练习-基础分层练习-巩固DA分层练习-巩固BC分层练习-巩固AC分层练习-巩固D16分层练习-巩固①②分层练习-巩固①②③C分层练习-拓展分层练习-拓展分层练习-拓展课堂小结核心知识重要不等式基本不等式

方法总结配凑法:根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件构造法:通过不等式的