数学基础知识-平面向量（矢量）

平面向量（矢量）

I教学要求

1.理解向量的相关概念.

2.掌握向量的加法、减法与数乘向量的运算.

3.理解与一个非零向量共线的向量的条件.

4.理解平面向量的直角坐标的概念.

5.掌握用坐标进行向量的加法、减法与数乘运算.掌握向量的坐标与点的坐标之间的

关系.

6.理解向量的内积的概念及其基本性质.

7.掌握用直角坐标计算向量的内积的公式.会利用向量的内积判断两个向量是否垂直.

II教材分析

本章内容介绍

向量是中学数学里新增加的内容.为什么在中学数学里要学习向量？首先，客观世界

中存在既有大小又有方向的量，例如，速度，加速度，力，位移等.因此需要有研究这种

量的统一的数学模型一一向量.其次，由于向量兼有直观性强，又易于计算这两方面的优

点，因此在许多数学分支的研究中都可以利用向量这一模型，或者借助向量的语言.例如,

平移是平面上（或空间里）每一个点都按照同一个方向移动相同的距离，这完全可以由一

个向量。来决定：。的方向表示移动方向，。的大小表示移动的距离.又如，一条直线可以

看成是由一个点和一个方向决定的，向量正好可以用来描述直线的方向，从而可以利用向

量的工具来研究解析几何里有关直线和平面的问题.再如，研究线性方程组的解的情况和

解的结构时，借助向量的语言，把一个〃元有序数组3”出，…，%）称为〃维向量，这样

就可以把研究线性方程组的解的情况和解的结构问题，归纳为研究〃维向量空间的子空间

-12-

的结构问题，使本来是代数的问题“几何化”，使之直观、易懂.

本章主要讲向量的概念，向量的运算，向量的表示以及向量的内积.

向量是既有大小又有方向的量.

向量有两种表示方式：（1）几何表示.用有向线段赢表示一个向量G，长度相等并且

方向相同的有向线段表示相等的向量.（2）坐标表示.在讲了向量的加法与数乘运算后，

可以得到平面向量分解定理，进而引进向量的坐标的概念.向量的这两种表示使得向量兼

有直观性强，又易于计算两方面的优点，从而使向量非常有用.例如，求线段的中点，求

直线的方程以及两条直线平行的条件等方面发挥着很大的作用.

向量有加法、减法以及数乘运算.它们统称为向量的线性运算.有两种方式进行向量

的线性运算.（1）用有向线段进行运算.向量的加法有三角形法则，对于不共线的两个向

量的加法还有平行四边形法则.向量的减法通过加法来定义：。一。里。+（―b）.数乘向

量分别对其长度，方向作出规定.（2）用坐标进行运算.两个向量的和（差）的坐标等于

它们的坐标的和（差）.实数Z与向量。的乘积的坐标等于攵乘以。的坐标.向量的加法

与数乘运算满足8条运算法则.这8条运算法则使得在向量的线性运算中可以使用实数运

算的去括号，合并同类项，移项等法则.

向量的内积使得可以利用向量统一地研究有关长度，角度，垂直等度量问题.向量的

内积的定义是

a9bdef\a\|^|cos<a,b>.

利用直角坐标可以很容易计算两个向量“（4,生），b回打）的内积：

a•b=ayb}+a2b2.

利用向量的内积可以计算向量的长度、两点间的距离、两个非零向量的夹角，判断两

个向量是否垂直，从而可以利用向量的内积研究两条直线垂直的条件、两条直线的夹角、

点到直线的距离等.

本章教学重点

1.向量的几何表示（用有向线段表示向量）.

2.向量的加法、减法、数乘运算.

3.平面向量的直角坐标：用坐标作向量的线性运算；平面向量的坐标与点的坐标的关系.

4.向量的内积的概念；用直角坐标计算向量的内积；两个向量是否垂直的判定.

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本章教学难点

1.向量的减法运算.

2.与一个非零向量共线的向量的条件.

3.向量的内积的概念.

本章学时安排如下（仅供参考）

7.1平面向量的概念约1学时

7.2平面向量的运算约3学时

7.3平面向量的坐标表示约3学时

7.4平面向量的内积约2学时

本章小结与复习约1学时

III教学建议和习题答案

7.1平面向量的概念

1.教材中通过猫追老鼠的例子，让学生体会现实生活中存在既有大小又有方向的量，

由比引出向量的概念.这使学生初步认识到学习向量的必要性.

2.我们用带有一个箭头的线段（称为有向线段）来直观地表示向量，其中线段的长度

表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.这是向量的几何表示.我们把有向线段AB

记作赢，其中端点A叫做起点，端点3叫做终点，起点A往终点3的方向就是赢的方

向.我们把有向线段标就叫做向量而.

由于向量只有大小和方向两个要素，因此很自然地把大小相等且方向相同的向量叫做相

等的向量.从而长度相等并且方向相同的有向线段表示的向量是相等的向量.例如，把有向

线段而平行移动得到而，由于它们的长度相等且方向相同，因此向量标与向量而相等.

注意，作为向量，Q=诙.但是作为有向线段，布与丽显然是不同的有向线段.因此本

书是注意区分向量与有向线段这两个不同概念的，不要混为一谈.每一条有向线段是一个向

量（因为有向线段也是既有大小又有方向的量）.一个向量〃可以用一条有向线段而来表

示，并且与Q长度相等并且方向相同的有向线段都可以表示向量。因此一个向量。在几

-14-

何上对应于由长度相等(都等于。的大小)且方向相同(都表示。的方向)的所有有向线段

组成的一个集合.这个集合里的任何一条有向线段都可以作为向量Q的一个代表.

3.一组向量如果用同一起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上.则称

这组向量是共线的，也称这组向量是平行的.

4.教材中“回忆时刻”答案：只有大小没有方向的量叫做数量.

5.教材中例2,向量方与无不相等，向量五与赤也不相等.

课堂练习答案

1.圆.

2.与向量而相等的非零向量为瓦、FC;

与向量而相反的非零向量为由、CF.~FB\

与向量而共线的非零向量为前、正、ED.CF.而和W.

习题7.1答案

1.与向量赢相等的向量为反；

向量AB的负向量为成，CD.

2.与向量而共线的非零向量为前和方.

3.(1)不正确，向量有大小和方向，大小相等，方向不同，向量也不同.

(2)正确，向量［与％的大小方向都相同.

(3)不正确，向量。与％的大小相同，但是方向相反，向量也不同.

(4)正确，|AB|=|DC|且方向相同.

4.相同

5.与向量而相等的向量为瓦，DC：

与向量55共线的非零向量为而，DC,而，04,CD；

向量为的负向量为CD,B0.

7.2平面向量的运算

1.从飞机在天空中飞行的位移的实际例子，自然地引出向量的加法运算.这使学生感

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到向量的加法运算不是生硬规定的，而是从实际问题中抽象出来的，从而使学生受到数学

的思维方式的熏陶.

2.向量的加法运算的定义要点是：以第二条有向线段的孥点作为第三条有向线段的举

点•，则从第•一••条有向线段的起・点到•第••二•条有向线段的终•点•的有向线段就表示和•向•量•.

3.不难证明，向量。与b的却，与初始起点的选择无关.如图7-1所示，如果任选

点、P,作有向线段而表示向量心接着作有向线段而表示向量"则有向线段而必

然与教材中图7-10的有向线段恁表示同一个向量，把这个向量称为〃和b的和.

证明的思路是：由于有向线段而与Q都表示向量因此可以把有向线段而平行

移动到这时点P移到了点4处，点。移到了点8处，由于西与丽表示同一个向

量人因此，点M移到了点。处.从而有向线段而移到了尼，因此向量丽二技.

4.从向量加法的三角形法则得出的向量等式

AC=AB+BC

很有用.从右到左地使用，可以求出和向量；从左到右地使用，可以把一个向量分解成两

个向量的和.在使用此公式时，要注意第一个向量的终点与第二个向量的起点是同一个点,

才能用这个公式.

5.向量的加法满足4条运算法则，其证明如下：

1°情形1。与力不共线.

从同一起点。作3、丽分别表示。、从然后以OA、OB为边作平行四边形OACB,

如图7・2所示.据平行四边形法则，得

a+b=OC.

由于正二海二m因此据三角形法则，得

b+a=OB+BC=OC.

从而得出a+b=b+a.

-16-

BC

OaA

图7-2

情形2。与b共线.这时分为三种情况：。与力中有一个是0;〃与〃的方向相同;

与b的方向相反.对于每一种情况都容易证明。+万讶+。

2°作有向线段3、OB.就分别表示a、b、c,如图7・3所示.则

(a+b)+c=OB+BC=OC,

〃+(b+c)=OA+AC=OC.

图7-3

因此(a+b)+c=a+(b+c).

3°作有向线段48表示m

a+O=AB+BB=AB=a.

据交换律，得

0+。=。+0=a.

4。作有向线段48表示用则一°二一AB=BA.

从而

a+(―。)=AB+8A=AA=0.

据交换律，得

(­。)+a=a+(-a)=0.

6.向量的减法运算的定义是

a-bdeffl+(—b).

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特别要注意：起点相同的两个向量的差等于减向量的终点到被减向量的终点形成的向量.

在画图时不要画错.

7.例4是用不共线的两个向量表示图形中的其他向量，这是重要的基本功.这为平面

向量分解定理（平面上每一个向量都可表示成给定的不共线的两个向量的线性组合，并且

表示方法惟一）作了铺垫.

8,数乘向量的定义分别从长度、方向来规定.注意，在规定方向时，有一个前提条件:

|2d|^0.至于|施|=0时，从/U的长度的定义中知道，此时必有人二0或匹0.对于这两种

特殊情形.从长度的定义和零向量的定义立即得出

0a=0,20=0.

9.数乘向量满足的4条运算法则，其证明思路是：先证等号两边的向量的长度相等，

然后当它们的长度不为0时，去证它们的方向相同.现在写出证明过程，但是不用给学生

讲，仅供教师参考.

5°\a=a.

证明若aWO.因为|1。|二|1||。|二|。|,且与♦同向,所以la=a.若。=0,则10=0.

6°力（〃。尸（4〃）a

证明|乂〃。）|二|4||1=11II〃||。|二|4〃11。1=1（4〃）a|.

当A>0且〃>0时，A〃>0,容易看出，久（与（4〃）4都与a同向，从而它们

的方向相同.

其余三种情况也可证明4（与（H。的方向相同.

综上所述，得几（〃。）二（幺〃）a.

7°（4+〃）。=入。+"a

证明若。二0或者心〃中有一个为零时，结论显然成立.下面设心〃都不为零，

且aWO.

情形1若4，〃同号，则入。与〃。方向相同.且九。+〃。与（4+〃）。方向相同，

此时有

|人。+Pa\=\久a|+|Pa|=|川⑷+|P\\a\

=（14+1〃1）⑷，

又有

|(4+〃)a\=\A+u\\a\=(|川+|〃|)⑷,

-18-

所以

（4+〃）a-^a+

情形2若大,〃异号，由于人和〃的地位对称，因此不妨设4>0,〃<0.又分以下

三种情形：

2.1）若4+〃=0,则（A+ju）a=0a=0,

^a+Pa=^a+（-4）a-（-1）（4。）

二（―4。）=0.

从而（4+〃）Q=

2.2）若4+〃>0,则4+〃与一〃同号，从而由情形1得

［（4+〃）+（——〃）］a=（久+〃）a+（―〃）。，

即40=（久+〃）。+（一〃。）.

从而（H+〃）。=

2.3）若4+"<0,此时4+〃与一4同号，由情形1得

［（4+〃）+（-4）］a=（4+〃）。+（一4）a.

从而（4+〃）。=

8°4（。+方）=4。+^b.

证明若a二0,或者。、》中有一个为0,则结论显然成立.下面设；IW0且。、方都

不为0.

若。与b平行，则容易看出，有实数〃，使公〃a.从而

4（。+方）=4（1。+〃〃）=4［（1+〃）。］

=（4+4〃）a-^a+（4〃）a

=Aa+（Pa）=Aa+^b.

若〃与b不平行，那么当H>0时，作OA、45分别表示a、b.于是08表示〃+b.再

作反、而分别表示40、Ab.则△0A8S/\0CD从而。必在直线。8上，于是而表

示4（a+A）.又0。表示久a+4力，所以有

久（。+））=1。+月）.

4<0时可以作类似讨论.

10.向量的加法与数乘向量满足8条运算法则，它们在形式上很像实数加法与乘法满

足的运算法则（但是数乘向量与实数乘法在本质上不同），于是自然可以猜想实数运算中

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的去括号、合并同类项、移项等法则，在形式上可以搬到向量的加法与数乘向量中来.这

是可以证明的.例如，去括号法则，以下述为例：

一(3a-b)=­3a+b.

理由如下：从数乘向量的定义容易得出，(-1)a=—a.于是

一(3°—6)=(-1)[3。+(-b)]=(-1)(3a)+(—1)(―b)

=[(-1)X3]a+(-1)[(-1)b]

=(-3)a+[(-1)(—1)]b

=-3a+16

=-3a+b.

今后我们可以在向量运算中直接使用去括号、合并同类项、移项等法则，不必像刚才

那样写出详细推导过程.

课堂练习7.2.1答案

\.a+b=-2,方向水平向左.

2.AC.

3.略

4.(1)AD；(2)AB.

5.60°

课堂练习7.2.2答案

1.(1)CB,图略；(2)MP,图略.

2.C4=-ZB-AD;

课堂练习723答案

1.

-20-

2.(1)5(a+b)—7(«-3b)=5a+5h—la+21b=—2a+26Z＞；

(2)12(a—2b+c)~2(6a+b~3c)=\2a~24b+\2c~\2a~2b+6c

=—26〃+18c.

3.Ad=-(AB^BC),OD=-(BC-AB).

22

■，•I，，•'・・•:9I，”•・・

4.AB=-(AC+DB\AD=-{AC^BD).

22

习题7.2答案

1.MN+NL=MLPM+MQ=PQ,

AO+OB=AB,AC+CB=AB.

2.略

3.~OP-~OM=~MP,~AB-'AC=CB.~EF-~FD=~DE.

4.~BC=~AC-~AB,CB=7B-7C.

5.⑴6a+4/?+2;(2)6t-7b-l1c.

~1~~

6.DE=-(AC-AB)

2

7.AD=-(AC+AB),~BE=-AC-ABCF=-AB-AC,而+而+而=0

2292

8.略

7.3平面向量的坐标表示

1.用有向线段表示向量（称为向量的几何表示）具有直观性强的优点，但是用有向线

段进行向量的加法、减法和数乘运算比较麻烦.为了简化运算需要引进向量的坐标表示，

利用向量的坐标进行向量的线性运算要简便得多.

2.平面上取定一个直角坐标系［。；勺、021后，两个向量相等当且仅当它们的坐标相

等.于是平面上所有向量组成的集合与所有有序实数对组成的集合之间有一个一一对应：

每个向量对应于它的坐标.用坐标来表示向量，是向量的代数表示.用有向线段表示向量

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是向量的几何表示.

3.向量的坐标表示使得向量的加法、减法、数乘运算归结为数的运算，从而容易进行.

4.在讲两个向量的和(差)的坐标，数乘向量的坐标之前，应当先在所有有序实数对

组成的集合中规定加法、减法以及数乘运算.这样就可以得出：

(1)两个向量的和(差)的坐标等于它们的坐标的和(差)；

(2)数乘向量的坐标等于这个数乘以该向量的坐标.

向量的坐标求出后，这个向量就确定了.因此上述结论使我们可以利用向量的坐标进

行向量的运算.

5.同一个向量在不同的坐标系中的坐标是不相等的，向量的坐标依赖于坐标系的选取.

即使取定一个坐标系，虽然平面向量的集合与有序实数对的集合之间存在一一对应，并且

这个对应保持加法和数乘运算，从而这两个集合作为向量空间是同构的，但由于这个同构

对应依赖于坐标系的选择，因此不是自然同构，从而向量。与它的坐标(x,y)不能等同.

6.利用向量的坐标判断两向量是否平行，是教学重点，应要求学生熟练掌握.

教材由平行向量基本定理，将其用直角坐标表示得到两个向量平行的充要条件是，相

应坐标成比例.从而将向量平行的条件数量化.有了用坐标表示的两个向量平行的充要条

件，可以使相应的几何问题转化为数量的运算；判断向量平行(共线)的问题转化成看数

量关系.对于学生普遍感到比较大的难题一一几何证明题，又有了一种新的证题工具.

7.用向量平行的充要条件可以证明几何中的三点共线和两直线平行的问题.教学时，

要注意到向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合的情况，向量平行包括共线.

8.本小节应用向量平行的充要条件的习题有以下几个类型：

(1)已知两向量的坐标(或向量的起点、终点坐标)，证明(或判断)它们平行(或不

平行)，如7.3.3课堂练习第2题.

(2)证明三点共线，如7.3.3节中例6.

(3)已知两向量平行，求其中一个向量的某一个坐标.如7.3.3节中例5和7.3.3课堂

练习第1题.

课堂练习7.3.1答案

1.(1)(-1,3)；(2)(2,-4)；(3)(3,0)；(4)(0,-2).

2.(1)(5,1)；(2)(-1,-7)；(3)(3,-13)；(4)(5,18).

-22-

课堂练习7.3.2答案

1.AB=(-5,7),^4=(5,-7)

2.(5,-6)

3.AB=(-5,2),=C4=(6,-1).

课堂练习733答案

1.-12

2.证明:因为点A(O,1),B(1,O),C(1,2),0(2,1)

所以而=(1,-1),CD=(1,-1)

又因为1x(-1)-(-l)xl=0

所以而与而平行

所以AB〃CD

习题7.3答案

1.m=5，n=0

2.*(4,-6)+(-7,g)=(-3,-3，

a~b=(4—6)—(-7,!)=(11,-二)，

22

2a—3b=2(4,—6)—3(—7,f1=(29,-?97)，

22

11L1i/、1/r1、/525、

-a--^=-(4,-6)--(-7,—)=(—,一--).

2424248

3.〃+》+c=(2,3)+(—1,0)+(—7,8)=(-6,11),

a~b+c-(2,3)一(—1,0)+(—7,8)=(-4,11),

2a+5b—6c=2(2,3)+5(-1,0)-6(-7,8)=(41,-42).

4.因为册;(5a),所以。的坐标为4(20,—5)=(4,-1).

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5.(1)AB=(-4,7)—(—1,2)=(—3,5)；

BA=-AB=(3,-5).

—►11

⑵AB=(19-)-(6,^)=(1,0);

~BA=-AB=(-1,0).

■1111

(3)AB=(--,0)-(0,-)；

2222

BA=-AB=(—,--).

22

(4)AB=(-1,-1)-(1,1)=(-2,-2)；

BA=-AB=(2,2).

6.设点B的坐标为(x,y),则由

AB=(x,y)—(—1,3)=(2,-5).

得「+1=)

y-3=-5.

解得x=l,y=-2.即8点坐标为(1,-2).

7,设M,N的坐标分别为(石,乃)、(巧，为)，则由

而二1而，(X,,必)一(一9,3)=1[(3,12)-(-9,3)]=(4,3),

*=><

—•2—►2

AN=-AB.(%,%)—(一9,3)=-[(3,12)-(-9,3)]=(8,6).

u‘I0

所以(和凶)=<4,3)+(-9,3)=(-5,6),

(巧，为)二(8，6)+(-9,3)=(-1,9).

即M、N的坐标分别为(-5,6)、(-1,9).

8.设8的坐标为(x,y),依题设有

OB=OA+^B=OA+OC=(4y-2)+(2,5)=(6,3).

即(x,y)=(6,3).

9.当2x(-6)-3x=0W,。与方共线，即x=-4时，。与b共线.

10.(1)由于荏=(-3-1,-4-2)=(-4,-6),

AC=(2-1,3.5-2)=(1,1.5).

-24-

乂(-4)xl.5-(-6)xl=0,

所以AB//AC.

又直线A3、直线AC有公共点A.

所以A、B、C三点共线.

(2)由于而=(0.5-(一1),0—2)=(1.5,—2),

方=(5-(-1),-6-2)=(6,-8).

又(-8)xl.5-6x(-2)=0,

所以PQ//PR.

又直线PQ、直线PR有公共点P.

所以P、Q、R三点共线.

7.4平面向量的内积

1.向量的加法、减法与数乘运算不能解决有关长度、角度、垂直等度量问题，为此需

要引进向量的内积的概念.

2.我们从一个人拉小车做的功出发，自然地引出了向量的内积的定义：

abdef|a||51cosva,b>,

其中<4b>表示向量。与〃的夹角.当。#0,时，作有向线段次，加分别表示

a,b，射线QA与08组成的不大于兀的那个角叫做。与力的夹隹.0与每一个向量。的夹

角可以是任意一个角.

3.由于向量的内积的概念中涉及长度、角度的概念，因此可以利用向量的内积来计算

向量的长度、两个非零向量的夹角，以及判定两个向量是否垂直：

\a|=a,

ab

cos(«,b)=

HIMI

a±b<^>ab=0.

向量的内积的概念可以统一处理长度、角度、垂直等问题，这表明向量的内积是非常有用

的概念.

4.计算向量。在方向占上的分量，可以取。的起点O,方向白上的单位向量勺，建立

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一个直角坐标系[O；q,e2],。在方向力上的分量就是。在勺方向上的分量，而这等于a

的横坐标，这又等于|a|cos〈a,〃〉.因此，。与非零向量〃的内积等于a在方向b上的分量

与b的长度的乘积.利用这个结论可以证明内积的线性性质.

5.向量的内积有4条基本性质：

（1）对称性ah=ba

（2）线性性之一（a0/=4（,小）

（3）线性性之二（a+c）•力=G»+C小

（4）正定性aa20,等号成立当且仅当。二0

性质（1）和（4）的证明都是容易的；而性质（2）和（3）的证明需要利用向量的内积等于

Q在方向〃上的分量与|臼的乘积，而。在方向6上的分量实质上是。的横坐标，再利用坐

标作向量的运算，便可证出性质（2）和（3）.

由于向量的内积不是向量的代数运算，因此我们在教材中没有把向量的内积的对称性

说成交换律，等等.

6.已知向量。二（4，出），6二色，为），利用向量的内积的性质，可以很容易推导出用向

量的直角坐标计算它们的内积的公式：

ab=6rlZ?1+a2b2.

7.有了用向量的直角坐标计篁内积的公式，就可以很容易解决有关长度，距离，角度,

垂直等度量问题.教材中分别讲了用向量的直角坐标计算向量的长度公式，两点间距离公

式，两个非零向量的夹角的余弦公式，判断两个向量垂直的充分必要条件.这些在以后学

习平面解析几何的内容时都要用上，应当让学生掌握.

课堂练习7.4.1答案

1.(1)a•b=\a\\ZF|COS<a,b>=3X2Xcos60°=3;

2兀

⑵a•b=\a\\b|cos<a,/,>=4X7Xcos—=-14;

3

(3)a•b=\a\\Z>|cos<a,b>=1X10Xcos7c=-10.

所以；

2.（1）因为。・a二|a|lal=:

-26-

(2)由二|。||例cos<a,b>,得⑷=---------==2.

网8s<4〃>3xcos-

4

课堂练习742答案

1.(1)a-Z>=2x(-4)+3xl=-5;

(2)c-J=(-5)x21+-1x8=2.

2.(1)|0|=病=J32+42=5;

(2)例=后=J(@2+(_痂2=7.

3.(1)|AB|=7(V2-2V2)2+(-l-5)2=738;

(2)|CD|=J(-l-1)2+(7-5)2=2A/5.

力」人、abJ3x(-3)+(-l)xJ3

4.cos<a,b>=-----=i——/=-l1,

㈤例7(V3)2+(-1)2X7(-3)2+(V3)2

又由于OW<a,b>Wit,因此v%b>=n.

习题7.4答案

\.a*b=\a\\ZF|COS<a,b>=3X1Xcos—=-^^;

(2a+b)b=2ab+bb=2ab+\b^=2x—^l2=3y/3+\\

2

\a+b^=(a-\-by(a+b)=aa+ab-\-ba+bb

=|a|2+2ab+\b^

T+2x至+12

2

=10+3百

数学（基础模块）下册数学参考书

所以|a+〃|=J10+道

2.b•a=\b\\a|cos<b,a>=2X6Xcos—=-6>/2;

4

(3b-2a)a=3ba-2aa=3ba-21M?

=3x(-6>/2)-2x62

=-18行-72;

\a-b\2=(a-b)(a-b)=aa-ab-ba+bb

=\af-2ab+\bf

=62-2X(-6A/2)+22

=40+1272

所以|.一川二)40+12亚=24/+3VL

3.(1)cos<a,b>=0"=-2®=一^^_因此<0,,3n

b>=——;

|a||b|2x224

(2)cos<a,h>=—..=—~~7==—,因止匕<a,b>=—.

"ISI5xV323

4.(1)Q]=(—1)X(—3)+3X(_1)=0,因此。与b垂直；

(2)cJ=0x(-28)+7x2=14^0,因此c与d不垂直；

(3)e/=(2+V2)x(-l)+lx(2+V2)=0,因此e与曲直.

5.|AB|=丁(1-6)2+(4-6)2=阿.

解得tn=-5或zn=13.

6.因为|施|二|a|>0,\AC\=\b\>0.

(l)cos<a,b>=-^-<0y所以<4b»-f此时△ABC为钝角三角形.

l«\\b\2

(2)cos<a,力>=/心=0,所以<a,b>=-,此时△ABC是以26AC为直角的直角三角

I。II加2

形.

-2