《等差数列的最值》解题方法

《等差数列的最值》解题方法等差数列前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2(1)Sn=na1+n(n-1)d/2(2)对于公式（2）可整理为

Sn=(n2d/2)+[a1-(d/2)]n这说明Sn是关于n的一元二次函数。等差数列前n项和最值的求法本节要求：掌握等差数列前n项和最值的求法。例1已知等差数列{an}中，a1=-2,d=4/9。求前n项和的最值。解：依求前n项和的公式有

Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9=（2/9）n2-20/9×n=（2/9）×(n2-10n)=（2/9）(n-5)2-50/9所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。

小结：例1说明，当已知等差数列的首项和公差时，可采用函数最值法求等差数列的前n项和的最值。例2已知等差数列{an}中，a1=-2,并且S3=S7，试求Sn的最小值及此时的n的值。

解：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2)×d，得d=4/9。Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9=2/9×n2-20/9n=2/9(n2-10n)=2/9(n-5)2-50/9所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。解法二：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2)×d，得d=4/9。

所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9由首项及公差知：该数列为递增等差数列。由方程an=0得-2+(n-1)4/9=0

解得n=5.5取n=5根据数列递增性可知a1,a2,

a3,a4,a5均为负数，从第六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2)×d，得d=4/9。由首项及公差知：该数列为递增等差数列。等差数列前n项和Sn

是n的二次函数，而S3=S7正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，且二次函数开口向上，所以当n=5时Sn有最小值。将n=5代入前n项和公式，有

Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2)×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9由首项及公差知：该数列为递增等差数列。解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2)×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9由首项及公差知：该数列为递增等差数列。

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2)×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9由首项及公差知：该数列为递增等差数列。解得4.5≤n≤5.5所以n=5即前5项的和最小，将n=5代入前n项和公式，有Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9

an≤0an+1≥0即-2+(n-1)×4/9≤0-2+(n+1-1)×4/9≥0欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，从第n+1项起以后各项均为零或正数，即小结：等差数列前n项和最值的求法有

注：（1）当数列是首项为正，公差为负的递减等差数列时，才有前n项和最大。（2）当数列是首项为负，公差为正的递增等差数列时，前n项和才有最小值。

（1）函数最值法（解法一）（2）解方程法（解法二）（3）对称轴法（解法三）（4）不等式法（解法四）练习：

1在等差数列{an}中，a1+a2=91,a2+a3=85,求此数列的最值及取得最值时的n.2在首项是31，公差为-4的等差数列中，与零最靠近的项是第几项？作业：

1一个首项为a(a>0)的等差数列,前3项和与前10项和相等,问此数列的前几项和最大，并求出最大值。2设等差数列{an}的前n项和Sn,已知a13=12,S12>0,S13<0(1)求公差d的取值范围(2)指出S1,S2……S12中哪一个值最大，并说出理由1解：由a1+a2=91,a2+a3=85可得

4a2=176,则a2=44,所以a1=47,d=-3.

接下来即可用求最值的方法