数学物理方法-第9章-本征值问题

第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题球坐标系和柱坐标系中分离变量法9.1特殊函数的常微分方程

圆球形和圆柱形是两种常见的边界，本章考察拉普拉斯方程在球坐标系和柱坐标系中分离变量法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程正交曲线座标系中的拉普拉斯方程直角坐标：柱坐标：球坐标：拉普拉斯算子：3球域内Laplace方程的边值问题坐标变换隐含着的周期边值条件和球内约束条件zxy直角坐标：柱坐标：球坐标：（1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量令拉普拉斯算子：5欧拉形式方程球函数方程6常数对欧拉形式方程作变量代换因式分解解为：式中：C和D为积分常数.球函数方程，令自然的周期边界条件：l-阶缔合(连带）勒让德(Legendre)方程8l-阶勒让德方程u是轴对称的，对φ的转动不改变

u

。9令（2）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量101.2.3.m阶-贝塞尔(Bessel)方程虚宗量贝塞尔方程侧面的齐次边界条件的可能数值上下低面的齐次边界条件的可能数值11m阶-贝塞尔(Bessel)方程虚宗量贝塞尔方程12x-ix（二）高维波动方程的分离变量令振动方程亥姆霍兹(Helmholtz)方程（三）高维输运方程的分离变量令亥姆霍兹方程增长（t<0）或衰变(t>0)的方程13（四）亥姆霍兹方程1.球坐标l阶球贝塞尔方程球函数方程14阶贝塞尔方程15m阶贝塞尔方程

2.柱坐标齐次边界条件，本征值问题1617分离变量法的结果18三类高维数学物理方程欧拉方程连带Legendre方程（球坐标）、Bessel方程（柱坐标）分离时间空间变量分离空间坐标变量Helmholtz方程振动方程一阶微分方程高维二阶线性PDE的分离变量的求解框架常系数线性微分方程9.2欧拉方程19欧拉方程的算子解法:

20则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:21例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①22①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得①23例2.解:

将方程化为(欧拉方程)

则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为24例3.解:

由题设得定解问题③则③化为特征根:设特解:④⑤代入⑤得A＝125得通解为利用初始条件④得故所求特解为③④26思考:

如何解下述微分方程提示:原方程直接令为常数27289.3常点处的级数解法29阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Adrien-MarieLegendre

1752-1833法国数学家，约1770毕业于马扎兰学院。1775任巴黎军事学院数学教授。1782以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当选为巴黎科学院院士。1787为伦敦皇家学会会员。主要研究领域是分析学（尤其是椭圆积分理论，椭圆函数论的奠基人）、数论、初等几何（《几何学原理》，第一版出版于1792年，是将近一个世纪中初等几何的权威教科书

）与天体力学。在关于行星形状和球体引力的研究中，勒让德引进了著名的“勒让德多项式”，发现了它的许多性质。他还研究了β函数（Βeta函数）和Γ函数（他把这两个函数分别称为第一和第二类欧拉积分）。

3L”：法国18世纪后期到19世纪初数学界著名的三人：勒让德（Adrien-marie

Legendre，1752-1833)拉格朗日（JosephLouisLagrange，1736-1813)拉普拉斯（Pierre-simon

Laplace，1749-1827)。30因为勒让德十分低调，因此他没有留下什么画像，2005法国斯特拉斯堡大学的两个学生发现是错误的（一个图像两个不同的人），直到2008年才发现了一副他真正的画像。

法国画家路易斯·利奥波德·布瓦伊

（Julien-LeopoldBoilly,1796-1874）(左(A.Lagrange)

右(Fourier)肖像专辑73幅中的第29,30个法国政治家LouisLegendre（1755-1797）

误认为是数学家勒让德的图像100多年。PeterDüren,

“ChangingFaces（变脸）:TheMistakenPortraitofLegendre".NoticesoftheAMS.56(2009):144031贝塞尔（Bessel，FriedrichWilhelm，1784～1846）德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人之一。贝塞尔在天文学上有较多贡献，在天体测量方面，他重新订正《巴拉德雷星表》，并把位置归算到1760年春分点，1810年，奉普鲁士国王之命，任新建的柯尼斯堡天文台台长。1812年当选为柏林科学院院士。

他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点

323334这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任意点Z0的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数．幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论．求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题.

尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中．几点说明（1）勒让德方程的级数解法化为标准形式：是方程的奇点在

常点的邻域：1.级数解代入方程或35递推公式系数的两个序列3637这样l阶Legendre方程的解是：3839这样l阶Legendre方程的解是：

所以

l阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散。（Gauss判别法）幂级数解的收敛半径

a_k/a_{k+2}4041429.4正则奇点级数解法：43（三）贝塞尔方程(1)v阶贝塞尔方程在x0=0的邻域上求解v

整数或半奇数(1/2,3/2,5/2,…)44判定条件：最低幂次4546474849505152535455565758596061629.5施图姆-刘维尔本征值问题636364656667686869697070717172739.6勒让德多项式约定级数中最高次幂的系数是反用系数递推公式勒让德多项式74微分表示展开再求导L次可得75积分表示(高阶柯西积分公式)也称为施列夫利积分76具体形式代数表达式77图像7879二.勒让德多项式的性质奇偶性零点定理：L阶勒让德多项式为L次，有L个零点。正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数80

一.连带勒让德函数2连带勒让德函数设