第三章-平面力系

工程力学为了研究方便，我们将力系按其作用线的分布情况进行分类：平面力系：各力的作用线处在同一平面内的一群力。空间力系：力系中各力的作用线不处在同一平面的一群力。平面汇交力系：各力作用线相交于一点的平面力系。平面平行力系：作用线相互平行的平面力系。平面任意力系：作用线即不平行又不相交于一点的平面力系。第一节平面汇交力系合成与平衡的解析法讨论力系的合成和平衡条件的方法可分为：解析法：计算规范﹑程式化，适合于计算机编程。几何法：直观明了，物理意义明确。

一、几何法设作用于刚体上的四个力F1、F2、F3、F4，构成平面汇交力系，根据力的可传性原理，首先将各力沿其作用线移到

O

点，再将各力依次合成，求出合力FR。

abcdeabcde用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为汇交力系合成的几何法。合成中需要注意以下两点：合力的作用线必通过汇交点。改变力系合成的顺序，只改变力多边形的形状，并不影响最后的结果。即不论如何合成，合力是唯一确定的。：平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边代表，作用线通过力系中各力作用线的汇交点。合力的表达式为：结论平面汇交力系平衡的充分必要条件平面汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力等于零。也即各分力

﹑

﹑…﹑

所构成的力多边形自行封闭。因为力是矢量，其包括大小和方向二个元素。所以用封闭力多边形可以求出二个未知元素，即可以有一个力大小和方向都未知，或者有二个力各有一个未知元素（大小或方向）。注意解（1）选比例尺。（2）将

、

、

首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合力矢。

例2-1如图所示，在圆环上作用有三个力，大小分别为：F1=300N，F2=600N，F3=1500N，其作用线相交于O点。试用几何作图法求力系的合力。量得：合力FR

=

1650N，与x

轴夹角

=16º21'。abcd二、解析法

对于平面汇交力系（），各力在平面直角坐标系中，可写成：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和：力在平面直角坐标系中的解析式合力投影定理合力投影定理：平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。大小和方向平面汇交力系平衡的充要条件解析式平面汇交力系平衡的充分必要的解析条件是：力系中各力在x、y坐标轴上的投影的代数和都等于零。平面汇交力系的平衡方程

说明用解析法求解未知力时，约束力的指向要事先假定。在平衡方程中解出未知力若为正值，说明预先假定的指向是正确的；若为负值，说明实际指向与假定的方向相反。解（1）取左半拱AB（包括销钉B）为研究对象。

例2-3如图所示三铰拱，不计拱重。已知结构尺寸a和作用在D点的水平作用力F

=

141.4N，求支座A﹑C约束反力和。

AB只受到右半拱BC的作用力和铰链支座A的约束反力，属于二力构件。（2）再取右半拱BC为研究对象。作用在BC上的三个力应满足三力平衡汇交定理。从而可确定作用线的方位。取坐标系Bxy，列出平面汇交力系的平衡方程：法一取坐标系Bx'y'，列出平面汇交力系的平衡方程法二：y'x'解得更简便!“–”表示的指向与受力图中假定的指向相反。解[例]已知P=2kN求SCD,RA

①研究AB杆②画出受力图③选坐标系④列平衡方程由EB=BC=0.4m，⑤求解：静力学1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。即力求每列一方程求得一未知数。

解题技巧及说明：静力学4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值,说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。6、应用时，几何法与解析法联合使用。解题技巧及说明：=已知：二.平面力偶系的合成和平衡条件==任选一段距离d===平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.平面力偶系平衡的充要条件，有如下平衡方程思考：在刚体的A、B、C、D四点作用有四个大小相等的力，此四力沿四边恰好组成封闭的力多边形。此刚体是否平衡？若力和都改变方向，此刚体是否平衡？解得解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为求：光滑螺柱

所受水平力.已知：解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.解得已知求：平衡时的及铰链

处的约束力.解得

取杆

，画受力图.思考：如图所示两种机构处于平衡状态，A，C处约束力和杆CD上作用的力偶是否相同？三.平面任意力系的简化平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。[例]力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）1.力的平移定理可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。[证]力力系①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。说明：一个力向另一点平移，得到一个力(等于原力矢)和一个力偶(力偶矩等于原力对该点的矩)；反之，若某点有一个力和一力偶作用，则可按相反的程序，把它简化至某一点(只有一点)，可得到一个力。2.平面任意力系的简化一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系

（未知力系）

（已知力系）

汇交力系力，

R‘(主矢)，(作用在简化中心)力偶系力偶，MO(主矩)，(作用在该平面上)

主矢与简化中心位置无关[因主矢等于各力的矢量和]大小： 作用点：方向：

大小：主矩MO

转向：

作用点(矩心)：（转动效应）与简化中心有关（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）方向规定

+-力系简化的结论：平面任意力系向其作用面内任一点简化，一般可得到一力和一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于平面力系的主矢，该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。固定端（插入端）约束在工程中常见的雨搭车刀固定端（插入端）约束说明①认为Fi这群力在同一平面内;②将Fi向A点简化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA为固定端约束反力;⑤YA,XA限制物体平动,MA为限制转动。3.平面任意力系简化结果讨论②=0,MO≠0，即简化结果为一合力偶,MO=M。此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故此时，主矩与简化中心O无关。①

=0，M0=0，则力系平衡,下节专门讨论。

简化结果：主矢，主矩MO

，下面分别讨论。③≠0,MO=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） ④≠0,MO≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简化为一个合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置四、平面任意力系的平衡方程及应用所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢和主矩MO都等于零，即：②二矩式条件：x轴不AB

连线③三矩式条件：A,B,C不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。①一矩式（投影式基本式）

[例]已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：①选AB梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得： 设有F1,F2…Fn

各平行力系，向O点简化得： 合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为主矢=0

主矩MO

=0平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。平面平行力系的平衡方程实质上是各力在x轴上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。二矩式条件：AB连线不能平行于力的作用线一矩式所以平面平行力系的平衡方程为：[例]已知：塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ 限制条件：解：本题属翻倒问题②空载时，W=0限制条件：解得因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：解得①满载时，1）临界平衡状态（限制条件）2）矩心的选择⑴①满载时，起重机向右翻倒；②空载时，起重机向左翻倒；⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少？由平面平行力系的平衡方程可得：解得：5、物体系统的平衡问题物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG1.内力和外力外力：系统以外的物体给所研究系统的力。内力：因外力作用,在系统内部，各个物体之间，或一个物体的这一部分与另一部分之间，相互作用的力。2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCECD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mGAB20kNFAxFAyFBCFCyFCx2.物体系平衡问题物系平衡的特点：①物系静止②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）解物系问题的一般方法：由整体局部（常用），由局部整体（用较少）平衡的传递性：物系平衡，物系内任一构件（或若干构件的组合）都平衡。反之未必成立。注意：(1)在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而就不独立了。(2)在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。例求图示多跨静定梁的支座约束力。梁重及摩擦均不计。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCE分析：未知量9个，5个支座约束力，C、E处铰链反力各2个，共9个未知量。考虑3个梁的平衡，共有9个独立的平衡方程。所以系统是静定的。AB20kNFAxFAyFBCFCyFCxCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mGxy由对称关系得：2kN/mEGFEyFExFG(2)研究CE梁10kNFCyFCxFDFEyFExCE解：(1)研究EG梁10kNFCyFCxFDFEyFExCExy(3)研究AC梁AB20kNFAxFAyFBCFCyFCxxyAB20kNFAxFAyFBCFCyFCx六、平面简单桁架的内力计算由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架桁架是有若干直杆在两端按一定的方式连接所得的工程结构。节点杆件1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；4、各杆件自重不计或均分布在节点上在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆关于平面桁架的几点假设：桁架静力分析的两种方法1、节点法以节点为研究对象，逐个考察其受力与平衡，从而求得全部杆件的受力的方法。为平面汇交力系（两个独立的方程，可求解两个未知数）2、截面法用假想截面将桁架截开，考察其中任一部分平衡，应用平衡方程，可以求出被截杆件的内力的方法。可看成平面任意力系（三个独立的方程，可求解三个未知数）已知:P=10kN,尺寸如图；求:桁架各杆件受力.解:取整体，画受力图.取节点A，画受力图.解得(压)解得(拉)取节点C,画受力图.解得(压)解得(拉)取节点D,画受力图.解得(拉)已知:各杆长度均为1m;求:1,2,3杆受力.解:取整体,求支座约束力.解得解得用截面法,取桁架左边部分.解得(压)解得(拉)解得(拉)说明：节点法：用于设计，计算全部杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,与所设方向相反。前面我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。平衡必计摩擦

[例]七、考虑摩擦时的平衡问题1）、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。（就是接触面对物体作用的切向约束反力）

2、状态：滑动摩擦1、静滑动摩擦力所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N,②加大摩擦系数f

（f—静滑动摩擦系数）（f'—动摩擦系数）②临界：（将滑未滑）

③滑动：

①静止：2、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）2）特征： 大小：（平衡范围）满足静摩擦力特征方向：与物体相对滑动趋势方向相反定律： （f只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）

动摩擦力特征方向：与物体运动方向相反大小：