数学课前导引：两角和与差的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§1两角和与差的三角函数课前导引问题导入【问题1】对于tan（α±β）公式的使用应注意什么？思路分析:（1）使用此公式的前提条件是α、β、α±β都不等于kπ+(k∈Z）,否则不能使用，处理此类问题可使用诱导公式转化。（2）当α=β即tan2α应保证α、2α都不等于kπ+(k∈Z)时才能使用.如当α=kπ+时，tan2α=tan2（kπ+）=tan（2kπ+π）=tanπ=0.【问题2】对于asinx+bcosx=sin（x+φ）,应如何理解？思路分析:这种变形是引入辅助角的一种重要变换，基本思想是逆用和角的正弦公式化成Asin（x+φ)的形式,关键是如何确定A和φ。现就a、b作一般讨论如下：设a=Acosφ,b=Asinφ,则有asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ）=Asin(x+φ），由sin2φ+cos2φ=1得(）2+()2=1，∴A2=a2+b2。这样得到A=±。不妨取A=，于是cosφ=,sinφ=，从而tanφ=.由于a、b已知，所以φ可确定.归纳上述有asinx+bcosx=（sinx+cosx）。令cosφ=，sinφ=，则asinx+bcosx=sin（x+φ）。知识预览一、公式C（α±β)，S（α±β），T(α±β）的推导及应用1。（1）在C（α—β）公式中,令-β=β，则有：cos（α+β）=cosαcos(-β）+sinαsinα（—β）=cosαcosβ-sinαsinβ（即C(α+β)).(2)运用C（α+β）和诱导公式有：sin（α+β)=cos[-（α+β)］=cos［（—α）-β］=cos（-α）cosα+sin(-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.（3）在S（α+β)中令—β=β，可得：sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ（即S(α—β））。（4）将S（α±β），C(α±β)两边分别相除可得：tan(α±β)=（即T(α±β））。2。对于两角和与差的公式的异同要进行对比与分析，便于理解记忆和应用（1）明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号;(2）要牢记公式,并能熟练地进行左右互相转化；(3)和、差角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是和、差角公式的特例。3。公式的逆向、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，这是灵活使用公式所必需的，特别是三角函数公式.如：计算sin20°cos50°—sin70°cos40°，能逆用两角差的正弦化为sin（20°—50°)=sin(—30°）=.计算:=tan30°=。以下几种变换要熟练掌握tanα±tanβ=tan(α±β）(1tanαtanβ);1tanαtanβ=。二、关于asinx+bcosx形式的化简教材上仅以一个例题的方式给出了这种变形，它的实质是逆用了两角和与差的正余弦公式将数值看成了特殊角的三角函数值得来的.在三角函数的化简、求周期、最值、单调区间等方面起着重要的作用，对于以下式子要熟练掌握：sinx+cosx=sin(x+)=cos（x—）；sinx—cosx=sin(