小学数学浅奥知识点小结

--PAGE10TOC\o"1-2"\h\z\u 一.和差倍问 二.年龄问 三.植树问 四.平均数问 五.因数（约数）与倍 六.数的整 七.余数与同 八.行程问 九.时钟问题（快慢表问题 十.归一问 十一.鸡兔同笼问 十二.盈亏问 十三.牛吃草问 十四.周期循环与数表规 十五.抽屉原 十六.定义新运 十七.完全平方 十八.数列数 十九.加法乘法原 二十.排列组 二十一.分数与百分数的应 二十二.分数大小的比 二十三.分数拆分与裂 二十四.比和比 二十五.工程问 二十六.逻辑推理基本方 二十七.几何面 二十八.几何面积五大模 二十九.立体图 三十.其他零散知识 一.和差倍问题二.年龄问题三.植树问题四.平均数问题五.因数（约数）【基本概念】若整数𝑎𝑎能够被𝑏𝑏整除，𝑎𝑎叫做𝑏𝑏的倍数，𝑏𝑏就叫做𝑎𝑎的因数。𝑎𝑎和𝑏𝑏的最大的公因数记作(𝑎𝑎𝑏𝑏)；𝑎𝑎b的最小的公倍数记作[𝑎𝑎𝑏𝑏]。几个数都乘以一个自然数𝑚𝑚，所得积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以𝑚𝑚如果一个数𝑁𝑁=𝑎𝑎𝑥𝑥𝑏𝑏𝑦𝑦…𝑐𝑐𝑧𝑧，其中𝑎𝑎、𝑏𝑏、…、𝑐𝑐是𝑁𝑁的质因数，𝑥𝑥、𝑦𝑦、…、𝑧𝑧1）𝑁𝑁的因数的个数𝑥𝑥1)𝑦𝑦1)𝑧𝑧2）𝑁𝑁=(𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑎𝑎𝑥𝑥−1+𝑎𝑎+1)×(𝑏𝑏𝑦𝑦+𝑏𝑏𝑦𝑦−1+𝑏𝑏+1)×(𝑐𝑐𝑧𝑧+𝑐𝑐𝑧𝑧−1+𝑐𝑐+六.数的整除𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏能𝑎𝑎𝑏𝑏|𝑎𝑎。248391）如果𝑎𝑎、𝑏𝑏能被𝑐𝑐整除，那么(𝑎𝑎+𝑏𝑏)与(𝑎𝑎−𝑏𝑏)也能被𝑐𝑐2）如果𝑎𝑎能被𝑏𝑏整除，𝑐𝑐是整数，那么𝑎𝑎乘以𝑐𝑐也能被b如果𝑎𝑎能被𝑏𝑏、𝑐𝑐整除，那么𝑎𝑎也能被𝑏𝑏和𝑐𝑐七.余数与同余【余数的定义】对任意自然数𝑎𝑎、𝑏𝑏、𝑞𝑞、𝑟𝑟，如果使得𝑎𝑎÷𝑏𝑏=𝑞𝑞.𝑟𝑟，且0<𝑟𝑟<𝑏𝑏，那么𝑟𝑟叫做𝑎𝑎b的余数，q叫做𝑎𝑎b的不完全商。若𝑎𝑎、𝑏𝑏除以𝑐𝑐的余数相同，则𝑐𝑐|(𝑎𝑎−𝑏𝑏)或𝑐𝑐|(𝑏𝑏−𝑎𝑎)𝑎𝑎与𝑏𝑏的和除以𝑐𝑐的余数等于𝑎𝑎除以𝑐𝑐的余数加上𝑏𝑏除以𝑐𝑐的余数的和除以𝑐𝑐𝑎𝑎与𝑏𝑏的积除以𝑐𝑐的余数等于𝑎𝑎除以𝑐𝑐的余数与𝑏𝑏除以𝑐𝑐的余数的积除以𝑐𝑐1）若两个整数𝑎𝑎、𝑏𝑏除以𝑚𝑚的余数相同，则称𝑎𝑎、𝑏𝑏对于模𝑚𝑚2）三个整数𝑎𝑎、𝑏𝑏、𝑚𝑚，如果m|(a-b)，就称𝑎𝑎、𝑏𝑏对于模𝑚𝑚同余，记作𝑎𝑎≡𝑏𝑏(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，读作𝑎𝑎同余于𝑏𝑏模𝑚𝑚1）自身性：𝑎𝑎≡𝑎𝑎(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚2）对称性：若𝑎𝑎≡𝑏𝑏(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，则𝑏𝑏≡𝑎𝑎(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚传递性：若𝑎𝑎≡𝑏𝑏(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，𝑏𝑏≡𝑐𝑐(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，则𝑎𝑎≡𝑐𝑐(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚和差性：若𝑎𝑎≡𝑏𝑏(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，𝑐𝑐≡𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，则𝑎𝑎+𝑐𝑐≡𝑏𝑏+𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，𝑎𝑎−𝑐𝑐≡𝑏𝑏−𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚相乘性：若𝑎𝑎≡𝑏𝑏(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，𝑐𝑐≡𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，则𝑎𝑎×𝑐𝑐≡𝑏𝑏×𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚乘方性：若𝑎𝑎≡𝑏𝑏(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，则𝑎𝑎𝑎𝑎≡𝑏𝑏𝑎𝑎(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚同倍性：若𝑎𝑎≡𝑏𝑏(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，整数𝑐𝑐，则𝑎𝑎×𝑐𝑐≡𝑏𝑏×𝑐𝑐(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚×𝑐𝑐)如果两个数𝑎𝑎、𝑏𝑏除以一个数𝑚𝑚得到的余数相同，那么𝑎𝑎、𝑏𝑏的差一定能被𝑚𝑚3、9、111）一个自然数𝑀𝑀，𝑎𝑎表示𝑀𝑀的各个数位上数字的和，则𝑀𝑀≡𝑎𝑎(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚9)或(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚2）一个自然数𝑀𝑀，𝑋𝑋表示𝑀𝑀的各个奇数位上数字的和，𝑌𝑌表示𝑀𝑀𝑀𝑀≡𝑌𝑌−𝑋𝑋(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚11)或𝑀𝑀≡11−(𝑋𝑋−𝑌𝑌)(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚八.行程问题 九.时钟问题（快慢表问题十.归一问题十一.鸡兔同笼问题十二.盈亏问题十三.牛吃草问题十四.周期循环与数表规律十五.抽屉原理【抽屉原则一】如果把(𝑎𝑎+1)个物体放在𝑎𝑎个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2【抽屉原则二】如果把𝑎𝑎个物体放在𝑚𝑚个抽屉里，其中𝑎𝑎>𝑚𝑚1）𝑘𝑘=[𝑎𝑎/𝑚𝑚]+1个物体（当𝑎𝑎不能被𝑚𝑚整除时2）𝑘𝑘=𝑎𝑎/𝑚𝑚个物体（当𝑎𝑎能被𝑚𝑚整除时（理解知识点：[𝑋𝑋]表示不超过𝑋𝑋的最大整数。例：[0.31]=0；[5.999]=十六.定义新运算十七.完全平方数3014011）平方差公式：𝑋𝑋2−𝑌𝑌2=(𝑋𝑋−𝑌𝑌)(𝑋𝑋+2）完全平方和公式：(𝑋𝑋+𝑌𝑌)2=𝑋𝑋2+2𝑋𝑋𝑌𝑌+完全平方差公式：(𝑋𝑋−𝑌𝑌)2=𝑋𝑋2−2𝑋𝑋𝑌𝑌+十八.数列数组1）通项公式：𝑎𝑎𝑛𝑛=𝑎𝑎1+(𝑎𝑎−1)×

=3）项数公式：𝑎𝑎=(𝑎𝑎1+𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚+4）公差公式：𝑚𝑚=(𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑎𝑎1)×(𝑎𝑎−𝑆𝑆=𝑎𝑎𝑞𝑞0+𝑎𝑎𝑞𝑞1+⋯+𝑎𝑎𝑞𝑞𝑛𝑛−1=𝑎𝑎1(𝑞𝑞

(𝑞𝑞≠

【平方和公式】122232𝑎𝑎2=【立方和公式】132333𝑎𝑎3=(123𝑎𝑎)2=十九.加法乘法原理在第𝑎𝑎类方法中有𝑚𝑚𝑛𝑛种不同方法，那么完成这件任务共有：𝑚𝑚1+𝑚𝑚2+…+𝑚𝑚𝑛𝑛种不同的方法。【乘法原理】如果完成一件任务需要分成𝑎𝑎1步有𝑚𝑚1种方法，不管第12步二十.排列组合 𝐴𝐴𝑚𝑚

𝐶𝐶𝑚𝑚=𝐴𝐴𝑚𝑚

（规定：𝐶𝐶𝑛𝑛=1，𝐶𝐶0=

二十二.分数大小的比较二十三.分数拆分与裂项1）1=1

(𝑎𝑎为非0自然数 2）1=

(𝑘𝑘为自然数

3）1=

(𝑎𝑎、𝑏𝑏为𝑎𝑎的任意两个因数

二十四.比和比例【比例的性质】两个外项积等于两个内项积（交叉相乘。𝑎𝑎:𝑏𝑏=𝑐𝑐:𝑚𝑚，𝑎𝑎𝑚𝑚=𝑏𝑏𝑐𝑐【正比例】若𝐴𝐴扩大或缩小几倍，𝐵𝐵也扩大或缩小几倍（𝐴𝐴𝐵𝐵的商不变时，则𝐴𝐴与𝐵𝐵【反比例】若𝐴𝐴扩大或缩小几倍，𝐵𝐵也缩小或扩大几倍（𝐴𝐴𝐵𝐵的积不变时，则𝐴𝐴与𝐵𝐵二十五.工程问题二十六.逻辑推理基本方法aa一定是奇数。有”A和B二十七.几何面积二十八.几何面积五大模型①两翅膀面积相等（𝑆𝑆3=𝑆𝑆4；②头×尾=翅膀×翅膀（𝑆𝑆1𝑆𝑆2=𝑆𝑆3×𝑆𝑆4③𝑆𝑆1:𝑆𝑆2:𝑆𝑆3:𝑆𝑆4=𝐴𝐴𝐴𝐴2:𝐵𝐵𝐶𝐶2:(𝐴𝐴𝐴𝐴×𝐵𝐵𝐶𝐶):(𝐴𝐴𝐴𝐴×【鸟头模型（共角定理】𝑆𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴:𝑆𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=(𝐴𝐴𝐴𝐴×𝐴𝐴𝐴𝐴):(𝐴𝐴𝐵𝐵×【燕尾定理】𝑆𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴:𝑆𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐵𝐵𝐴𝐴:二十九.立体图形；122）𝑆𝑆=2(𝑎𝑎𝑏𝑏+𝑎𝑎ℎ+3）𝑉𝑉=𝑎𝑎𝑏𝑏ℎ=；122）𝑆𝑆=3）𝑉𝑉=2）𝑆𝑆=𝑆𝑆+2𝑆𝑆3）𝑆𝑆=4）𝑉𝑉=下底是圆；只有一个顶点；母线𝑙𝑙2）𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆3）𝑆𝑆侧=4）𝑉𝑉=12）𝑆𝑆=3）𝑉𝑉=4×【长方体的染色问题】对于一个𝑎𝑎×𝑏𝑏×𝑐𝑐三面涂色的：8一面涂色的：[(𝑎𝑎−2)×(𝑏𝑏−2)+(𝑎𝑎−2)×(𝑐𝑐−2)+(𝑏𝑏−2)×(𝑐𝑐−2)]×没有涂色的：(𝑎𝑎−2)×(𝑏𝑏−2)×(𝑐𝑐−三十.其他零散知识点1）两个集合的容斥关系公式：𝐴𝐴∪𝐵𝐵=|𝐴𝐴∪𝐵𝐵|=|𝐴𝐴|+|𝐵𝐵|−